9. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi I là

điểm trên cung nhỏ AB (I không trùng với A và B). Gọi M, N, P theo thứ tự là hình chiếu của I trên các đường thẳng BC, CA và AB. a) Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng. b) Xác định vị trí của I để đoạn MN có độ lớn nhất.

166

Chỉ dẫn a) Tứ giác PMBI nội tiếp = BPM = BIM (1)

Tứ giác APIN nội tiếp có APN = NIA (2) Tứ giác IMCN nội tiếp có: NIM + ACB = 180° Tứ giác ACBI nội tiếp có AIB + ACB = 180° → AIN = MIB (3) Kết hợp (1), (2) và (3) có APN = BPM – M, N, P thẳng hàng.

JA AB b) Ta có VIAB OS AINM = ANN

> 1 (vì NINA có cạnh huyền IA —

IM MNAB > MN. Vậy MN có độ dài lớn nhất bằng AB khi M = B, N = A tức

IBC = AC = 90° tức IC là đường kính của đường tròn 0. 10. Cho tam giác ABC có đường phân giác trong của góc A cắt đường tròn

ngoại tiếp tại điểm N. Đường phân giác của góc ANB cắt cạnh AB tại điểm R. Đường phân giác của góc ANC cắt cạnh AC tại điển S. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh ba điểm R, I, S thẳng hàng.

Chỉ dẫn BÎN = AP + BN = F(Â + B)

IỆN IB + A = BIN

2

= NBỊ cân đỉnh N. NM tia phân giác của góc BNI nên NM là trung trực của BI Suy ra \RBI cân đỉnh R. Do do RIB = RBI = IBC Suy ra IR // BC. Chứng minh tương tự ta có IS // BC. Theo tiên đề Solid từ một điểm ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thắng đã cho. R, I, S nằm trên một đường thẳng.

167

von

M

11. Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm

0 và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O), ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D. a) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh tứ giác CHOD nội

tiếp được đường tròn. b) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). Chứng minh A, B, K thẳng hàng.

Chỉ dẫn a).\MAC OS AMDA = MA’ = MC.MD (1)

IMAC vuông tại A, đường cao MH Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông thì MA = MH.MO Từ (1) và (2) có MC.MD = MH,MO

MC – MO AMCO OS AMHD

MH MD 3 COH = HDC – CHOD nội tiếp. b) Tứ giác OKD nội tiếp (vì OCK = ODK = 90°)

=> OKC = ODC = MD) mà MD0 = MHC (vì CHOD nội tiếp) – OKC = MHC = OKCH nội tiếp > KHO = KCo = 90° – KHI MO tại H mà ABI MO tại H

– HK trùng AB = K, A, B thẳng hàng. 12. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm (O).

Cho H là trực tâm của AABC. Đường thẳng qua B song song với CH cắt đường tròn (O) tại điểm K khác B. Chứng minh các điểm A, D, K thẳng hàng.

Chỉ dẫn Ta có CH 1 AB tại F BK // CH = BK 1 AB tai B ABL = 90° suy ra AK là đường kính của đường tròn (O), do đó A, 0, K thẳng hàng.

A

FKH

168

VID

13. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) các đường cao BD, CE cắt nhau ở H,

I là trung điểm của BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BEI cắt đường tròn ngoại tiếp ACDI tại K. Gọi M là giao điểm của DE và BC. Chứng minh rằng a) BDK – CEK

1. b) Ba điểm M, H, K thẳng hàng c) Tứ giác BKDM nội tiếp

Chỉ dẫn a) Gọi giao điểm của AI với các đường tròn ngoại tiếp ABEI và CDI là

K và Kg ta có: AE.AB = AK .AI; AD.AC = AK).AI Do BCDE nội tiếp nên AE.AB = AD.AC >>AK.AI = AK7.AI >Ki = K, = K. Do ICDK nội tiếp nên t = DKA

Μ Β Α Ν Do IBEK nội tiếp nên B = EKA Â + EKD = Â + EKA + DKA = Â + B + C = 180° Suy ra AEKD nội tiếp trong đường tròn đường kính AH.

Suy ra EHKD nội tiếp, do đó ta có GDK = CEK. b) Gọi N là giao điểm của MA với đường tròn ngoại tiếp ABC có MN.MA = MB.MC. Lại có MB.MC = ME.MD = MN.MA = ME.MD

–> A, N, E, D nằm trên đường tròn đường kính AH, suy ra ANH = 90°.

Tia NH cắt đường tròn (O) ngoại tiếp xABC tại P. Vì ANH = 90° nên AP là đường kính của (O). Tia HI cắt đường thẳng AC tại P ta có PO OI 1

+ PA là đường kính đường tròn (O) hay P – P và N, P’A AH 2 H, I thẳng hàng và H là trực tâm của NAIM. Suy ra MHI AI. Lại HKI AI (K thuộc đường tròn đường kính AH)

suy ra, M, H, K thẳng hàng. c) Tứ giác HADK nội tiếp, do đó KDB = KAH = KMB suy ra BKDM nội

tiếp.

169