Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui có thể a) Chỉ có một đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thằng kia. | b) Chỉ có chung là ba đường cao hơn ba đường trung tuyến hay ba đường

| phân giác, hay ba đường trung trực của tam giác. 14. Cho tam giác ABC nhọn có hai đường cao BE và CF. Ke FI và EJ cùng

vuông góc với BC (I, J thuộc BC). Các điểm K, L lần lượt thuộc AB, AC sao cho K1 / AC, LJ | AB. Chứng minh rằng ba đường thẳng EI, FJ và KL đồng qui.

Chỉ dẫn

Trong tam giác vuông FBC

Ta có

KFI = FCB = 90″ — ABC = EJL Lại có FK = 180° – BÁC

K

180° – CLJ = ELJ suy ra.

B I AKFI (S ALJE = =

LJ JE Gọi () là giao điểm của EI và FJ ta có \FOI O JOE

for FO FI FO KF (vì IFO – EJO,FỐI = EOJ ) suy ra :

– BOJ) suy ra OJ JE > OJ LG Mặt khác KF) = LJO (so le trong) nên SKFO oo JL).

Suy ra KOF LJ) » K, M, L thẳng hàng, nghĩa là EI, FJ và KL đồng qui. 15. Cho hai đường tròn tâm O, bán kính R và tâm 0 bán kính r với R > r,

tiếp xúc ngoài nhau tại điểm A. Một đường thẳng 1 qua A cắt đường tròn (O) tại B và cắt đường tròn (O) tại C. Ke qua A đường thẳng d vuông góc với A. Đường thẳng d cắt đường tròn 0 tại D và cắt đường tròn (0) tại E. Chứng minh a) Ba điểm B, 0, D thẳng hàng và C, D, E thẳng hàng. b) Ba đường thẳng (00, BE và DC đồng qui.

170

Chỉ dẫn a) Nối OB ta có tam giác cân OAB đỉnh 0

B

và AOB = 180° – ( OAB + OBA ) = 180° – 20AB Tương tự trong tam giác cân (OAD ta có AOD = 180 – 2ÓAD → AOB + AOD = 360″ – 210AB+OAD) = 360° – 2.90o = 180° + B, 0, D thẳng hàng.

Tương tự như cách làm trên ta có E, 0, C thẳng hàng. b) Gia sư E là giao điểm của BE và DC. Gọi O là giao điểm của đường

thẳng 10 với DB. Bởi vì A nằm trên đoạn thẳng 01 nên ta có: ODA = DAO = EAO* = AEO – DB // CE Điểm O nằm trên DB mà DB // CE theo định lí Talet ta có:

EO’ 10′ 0’C IO’ EO’ O’C BO, 10,’0,0 10, BO, OD

DB

Bởi vì EO’ = 0

= r, từ (*) suy ra BO = )) = 2.

וזמ

Suy ra 0, trùng với 0, nghĩa là 00, BE, DC đồng qui. 16. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) có ACB = 45°. Các

đường cao AA’, BB cắt nhau ở H. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của AB và CH. a) Chứng minh rằng AMBN là hình vuông. b) Chứng minh rằng A’B’, MN, OH đồng qui.

Chỉ dẫn a) AAC vuông cân tại A’ suy ra AHC = AA’BC = AM = AN (các đường trung tuyến tương ứng của hai tam giác bằng nhau). Tương tự AB’AB = BHC = BM = BN. Vì AM = B’M = AB suy ra AMBN là hình thoi KAMA = XANC – MA’A = NAT.

171

Do đó MAN = 90° (vì AAC = 90°)

Và AMBN là hình vuông. b) Do AMBN là hình vuông nên các

đường chéo A’B’ và MN giao nhau tại trung điểm I của MN. Ta có: CH || OM (cùng vuông góc với AB). Theo tính chất của trực tâm tam giác nội tiếp ta có: OM = CH = MN.

1

B

Suy ra OMHN là hình bình hành có các đường chéo OH và MN giao nhau tại trung điểm I của MN. Vậy A’B’, MN, OH đồng qui.