Với A và B là các biểu thức tùy ý, ta có : * Lập phương của một tổng: (A + B)’ = A’ + 3A&B + 3AB^ + B°

• Lập phương của một hiệu: (A – B)° = A – 3A^B + 3AB – B 1 • Tổng hai lập phương: A* + B° = (A + B) (A” – AB + B^)

* Hiệu hai lập phương: Ao – B° = (A – B) (A? + AB + B^) Lưu ý Ta qui ước gọi A^ AB + Bo là bình phương thiếu của tổng A + B

và gọi A – AB + Bo là bình phương thiếu của hiệu A – B.

a

)

| BÀI TẬP Bài 26. Tính a) (2x^ + 3y) ; b) (2x – 3

GIẢI a) Áp dụng công thức (A + B) = A + 3A^B + 3AB^ + Bo, ta có : (2x + 3y)= (2×2)3 + 3. (2x?j?. 3y + 3. (2x”), (3y ? + (3y)?

= 8x® + 36x*y + 54x”y2 + 27y3 b) Áp dụng công thức (A – B)* = A – 3A^B + 3AB? – Bo, ta có

11 12

1 3

12 11 13 = x

(2

9

31X

1-X-3

2

27 x -27

*. 27

= –

– X 8

– — X

4

– —- X – 27

2

Bài 27. Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu a) – X3 + 3×2 – 3x + 1

1. b) 8 – 12x + 6×2 – x3

GIẢI a) Ta có – x + 3x – 3x + 1 = (- x) + 3(- ). 1 + 3 (- x). 1 + 1 +

= (- x + 1)’ = (1 – x) * Cách khác – x + 3x – 3x + 1 = 1 – 3x + 3×2 – x

= 11 – 3.1. x + 3. 1. x – x = (1 – x)? Vậy – x + 3×2 – 3x + 1 = (1 – x) b) Ta có 8 – 12x + 6×2 – x = 2 – 3. 2. X + 3. 2. xo – x = (2 – x)

Vậy 8 – 12x + 6x – x = (2 – x) Bài 28. Tính giá trị của các biểu thức A = x^ + 12x^ + 48x + 64 tại x = 6

B = x^ – 6x^ + 12x – 8 tại x = 22

GIẢI Rút gọn A = x + 12x^ + 48x + 64 = x + 3. A. 4 + 3. A. 4 + 4 = (x + 4) Giá trị của A tại x = 6 A = (x + 4) = (6 + 4) = 10 = 1000

Rút gọn B = x – 6x^ + 12x – 8 = x – 3. x 2 + 3. . 4 – 2 = (x – 2) Giá trị của B tại x = 22 B = (x – 2) = (22 – 2) = 203 = 8000

Vậy A = 1000 tại x = 6; B = 8000 tại x = 22 Bài 29. Đố. Đức tính đáng quí.

Hãy viết mỗi biểu thức sau dưới dạng bình phương hoặc lập phương của một tổng hoặc một hiệu, rồi điền chữ cùng dòng với biểu thức đó vào bảng cho thích hợp. Sau khi thêm dấu, em sẽ tìm ra một trong những đức tính quí báu của con người.

x3 – 3×2 + 3x + 1 16 + 8x + x2 3×2 + 3x + 1 + x3

1 – 2y + y2 (x – 1)3 | (x + 1)3 | (y – 1)2 (x – 1)3 (1 + x) (1 – y)2 (x + 4)2

—

–

I-

GIẢI * x3 – 3x + 3x + 1 = x – 3. x. 1 + 3. x. 1 + 1 = (x – 1)’ = N * 16 + 8x + x = 4 + 2. 4. x + x = (4 + x) = (x + 4) = U 3x + 3x + 1 + x = x + 3x + 3x + 1

= x + 3. xč. 1 + 3. x. 1 + 1 = (x + 1)2 = H * 1 – 2y + y2 = 12 – 2. 1. y + yż = (1 – y) = (y – 1) = Â (x – 1)3 (x + 1)3 | (y – 1)2 | (x – 1)3 (1 + x) 3 (1 – y)2 (x + 4) N 1 H

30. LH DÅ I U Vậy một trong những đức tính quí báu của con người là NHÂN HẬU Bài 30. Rút gọn các biểu thức sau

A = (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3) B = (2x + y)(4×2 – 2xy + y2) – (2x – y)(4×2 + 2xy + y2)

GIẢI A = (x + 3) (x2 – 3x + 9) – (54 + x°) = x + 33 – 54 – X = – 27

Vậy A = – 27 . • B = (2x + y) (4×2 – 2xy + y ) – (2x – y) (4×2 + 2xy + y)

= (2x)+ y3 – (2x)– y*1 = 8x + y 3 – 8x® + y2 = 2y3

Vậy B = 2y^ . Bài 31. Chứng minh rằng

1. a) a’ + b} = (a + b)3 – 3ab (a + b) b) ao – bo = (a – b)” + 3ab (a – b) Áp dụng Tính ao + bo, biết a, b = 6 và a + b = – 5

GIẢI a) Chứng minh a + b^ = (a + b)ỷ – 3ab (a + b) Ta có VP = (a + b) – 3ab (a + b)

= a3 + b3 + 3a’b + 3ab2 – 3a’b – 3ab2 = a3 + b3 = VT Vậy ao + b^ = (a + b)* – 3ab (a + b) (đpcm)

1. b) Chứng minh ao – b = (a – b) + 3ab (a – b). Ta có VP = (a – b) + 3ab (a – b)

= a – b } – 3a’b + 3ab2 + 3a’b – 3ab2 = a – b = VT Vậy ao – bo = (a – b)* + 3ab (a – b) (đpcm) * Áp dụng Tính ao + bo, biết a. b = 6 và a + b = – 5 Ta có a? + b3 = (a + b)” — 3ab (a + b) (cmt)

= (-5) – 3. 6 (-5) = – 125 + 90 = – 35 Vậy a + b^ = – 35 Bài 32. Điền các đơn thức thích hợp vào ô trống

1. a) (3x + y)O-]+]) = 27x* + y3 b) (2x – (O+ 10x + [ ]) = 8×3 – 125

GIẢI a) Ta có 27x” + y) = (3x)? + y” = (3x + y) (9×2 – 3xy + y)

Vậy (3x + y)( 9x – 3xy + y = 27x + y b) Ta có 8x – 125 = (2x – 5* = (2x – 5) (4x + 10x + 25)

Vậy (2x – 5 ( 4x + 10x + 25 ) = 8x – 125

| LUYỆN TẬP

–

X

Bài 33, Tính a) (2 + xy)?

1. b) (5 – 3x)? c) (5 – X°)(5 + x)
2. d) (5x – 1)3 e) (2x – y)(4×2 + 2xy + y2) g) (x + 3)(x2 – 3x + 9)

GIẢI a) (2 + xy)2 = 22 + 2. 2xy + (xy)2 = 4 + 4xy + x^y? b) (5 — 3x)2 = 52 – 2. 5. 3x + (3x)= 25 – 30x + 9x? e) (5 — x)(5 + xo) = (5)2 – (x2)2 = 25 – x? d) (5x – 1)3 = (5x): – 3(5x)? 1 + 3. 5x. 12 – 13 – 125X13 – 75x + 15x – e) (2x – y) (4×2 + 2xy + y ) = (2x)? – yo = 8x® – y3

34. g) (x + 3)(x2 – 3x + 9) = (x + 3) (x2 – x. 3 + 32) = x + 38 = x’ + 27 Bài 34. Rút gọn các biểu thức sau

A = (a + b)2 – (a – b) 2 B = (a + b)3 – (a – b)3 – 263 C = (x + y + z)2 – 2 (x + y + z)(x + y) + (x + y)2

GIẢI A = (a + b)2 – (a – b) = (a + b + a – b)(a + b – a + b) = 2a. 2b = 4ab Cách khác A = (a + b)2 – (a – b) = a2 + 2ab + b2 – (a? – 2ab + b?)

= a + 2ab + b2 – a2 + 2ab-b2 = 4ab Vậy A = 4ab

• B = (a + b)2 – (a – b)3 – 263

= a + 3a’b + 3ab2 + b3 – (a? – 3a’b + 3ab2 – bo) — 253

= a + 3a’b + 3ab2 + b3 – a2 + 3a*b – 3ab2 + b3 – 2b3 = 6a’b Vậy B = 6abc C = (x + y + z)2 – 2 (x + y + z) (x + y) + (x + y)2

72 2 y + 2) – (x y1 = Z Vậy C = 2? Bài 35. Tính nhanh a) 34° + 66? + 68. 66

48. b) 74° + 24 – 48. 74

GIÁI a) 34° + 66° + 68. 66 = 342 + 662 + 2. 34. 66 = (34 + 66 = 10) = 100000

48. b) 74 + 24 – 48. 74 = 742 + 242 – 2. 24. 74 = (74 – 24 = 50 = 2500 Bài 36. Tính giá trị các biểu thức M = x^ + 4x + 4 tại x = 98 ; N = x + 3x^ + 3x + 1 tại x = 99

GIẢI • Ta có M = x + 4x + 4 = (x + 2)2 = (98 + 2) = 100$ = 10000

Vậy M = 10000 Ta có N = x + 3x + 3x + 1 = (x + 1) = (99 + 1) = 100 = 1000000

Vậy N = 1000000 Bài 37. Dùng bút chì nối các biểu thức sao cho chúng tạo thành hai vế của

một đẳng thức (theo mẫu)

–

–

——

—

(x – y) (x2 + xy + y2)

(x + y) (x – y) x? – 2xy + y?

(x + y)2 (x + y) (x’ – xy + y2) y+ 3xy* + 3x*y + **

(x yje

_x- y x2 + 2xy + y2

x’ – y

(y – x)? 3x+y + 3xy? – y*

(x + y)?

GIẢI

Nối

ta có (x – y) (x + xy + y = x – y ta có (x + y) (x – y) = x – y ta có xỏ – 2xy + y = (y – x)* ta có (x + y^ = x + 2xy + y^ ta có (x + y) (x – xy + y) = x + y ta có y + 3xy” + 3xẻy + x^ = (x + y) ta có (x – y = x – 3xy + 3xy – y

Bài 38. Chứng minh các đẳng thức sau : a) (a – b)P = – (b – a)

1. b) (- a – b)2 = (a + b)2

GIẢI a) Ta có (a – b) = a* – 3a’b + 3ab– b3

– (b – a)3 = – (b3 – 3ab2 + 3a’b – a”) = a* – 3a ́b + 3ab? – 1,3 Từ (1) và (2) suy ra (a – b)^ = – (6 – a)” (đpcm) b) Ta có VT = (- a – b) = [- (a + b) = (a + b) = VP

Vậy (- a – b)? = (a + b)” (đpcm)

(1) (2)