Với A và B là hai biểu thức tùy ý, ta có :

1. i) Bình phương của một tổng: (A + B) = A^ + 2AB + B^ ii) Bình phương của một hiệu: (A – B)^ = A^ – 2AB + Bo iii) Hiệu hai bình phương : A? – Bo = (A + B) (A – B)

| BÀI TẬP Bài 16. Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc

một hiệu a) x2 + 2x + 1

1. b) 9×2 + y2 + 6xy c) 25a + 4bo – 20ab d) x – x +

GIẢI a) x2 + 2x + 1 = x2 + 2. X. 1 + 12 = (x + 1)? b) 9×2 + y2 + 6xy = (3x)+ y2 + 2. 3x. y = (3x + y)2 c) 25a + 4b? – 20ab = (5a) + (2b) – 2. 5a. 2b = (5a – 2b)

1

d)

x

– x +

–

= X“ – 2. x. –

2 – 2. X.

+

–

=

| X – —

12

Bài 17. Chứng minh (10a + 5)^ = 100a (a + 1) + 25

Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số có tận cùng bằng chữ số 5. Áp dụng để tính 25°; 35”; 65”; 75”.

GIẢI

Ap dung (A + B)’ = A’ + 2AB + B’ Ta có (10a + 5)^ = (1)a)? + 2. 10a. 5 + 5 = 100a” + 100 + 25

= 100a (a + 1) + 25 Vậy (10a + 5) = 100a (a + 1) + 25 (đpcm) (1) Biết rằng a5 = 10a + 5

(2) Từ kết quả (1) và (2) suy ra Muốn tìm bình phương một số có hai chữ số và chữ số tận cùng bằng 5, ta lấy 100 lần chữ số hàng chục nhân với số hàng chục cộng 1 rồi lấy kết quả công với 25.

Áp dụng a) 252 = (10.2 + 5)2 = 100. 2 (2 + 1) + 25 = 200. 3 + 25 = 625 b) 353 = (10.3 + 5)2 = 100. 3 (3 + 1) + 25 = 1225 c) 652 = (10.6 + 5) = 100. 6 (6 + 1) + 25 = 4225 d) 752 = (10.7 + 5)= 100. 7 (7 + 1) + 25 = 5625

Bài 18. Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẳng thức bị

mực làm nhòe đi một số chỗ a) x2 + 6xy + … =( … + 3y)? ; b) … – 10xy + 25y2 = ( … – …)? Hãy nêu một đề bài tương tự.

GIẢI a) Dùng công thức A + 2AB + B^ = (A + B) để khôi phục chỗ bị mờ.

Ta có x? + 6xy + … = ( … + 3y)? hay (x)? + 2. x. 3y + (3y)2 = (x + 3yj? b) Dùng công thức Ao – 2AB + B = (A – Bo để khôi phục chỗ bị mờ.

Ta có … – 10xy + 25y2 = ( … – …)? hay x? – 2. x. 5y + 15y) = (x – 5y)? • Một đề bài tương tự a) … + 24, X. y + 16y = (… + … )

1. b) 4x= – … + 9m” = ( … – 3mi)

Bài 19. Đố. (Tính diện tích phần hình còn lại mà không cần đo.) Từ một

miếng tôn hình vuông có cạnh bằng a + b, bác thợ cắt đi một miếng cũng hình vuông có cạnh bằng a − b (cho a > b). Diện tích phần hình còn lại là bao nhiêu ? Diện tích phần hình còn lại có phụ thuộc vào vị trí cắt không ?

GIẢI Diện tích miếng tên là (a + b) | Diện tích miếng tôn bị cắt đi là (a – b)? Phần diện tích còn lại là S = (a + b)2 – (a – b) = a + b + 2ab – (a + b2 – 2ab)

= a? + b3 + 2ab – a – b? + 2ab Vậy S = 4ab Theo đề bài ta có a, b là các số cho trước nên tích a, b có giá trị không đổi. Do đó phần diện tích còn lại của miếng tôn S = 4ab cũng có giá trị không đổi, hay nói cách khác phần diện tích còn lại không phụ thuộc vào vị trí cắt.

| LUYỆN TẬP

Bài 20. Nhận xét tính đúng, sai của kết quả sau x2 + 2xy + 4y2 = (x + 2y)2

| GIẢI Áp dụng công thức (A + B)^ = A^ + 2AB + B^, ta có : | (x + 2y^ = x^ + 4xy + 4y” như vậy 2AB = 4xy Vậy kết quả xo + 2xy + 4y^ = (x + 2y)” là sai tại 2AB = 2xy

Bài 21. Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một đồng hoặc một hiệu

1. a) 9×2 – 6x + 1 b) (2x + 3y)2 + 2 (2x + 3y) + 1 | Hãy nêu một đề bài tương tự.

GIẢI

2. a) 9×2 – 6x + 1 = (3x)? – 2. 3x + 12 = (3x – 1)2 b) (2x + 3y)2 + 2 (2x + 3y) + 1 = [(2x + 3y) + 11 = (2x + 3y + 10°

* Đề bài tương tự a) 25x^ – 10x + 1 b) (n + 1) + 6 (m + 11) + 9 Bài 22. Tính nhanh a) 101” b) 199° C) 47. 53

GIẢI . a) Ta có 101^ = (100 + 1)^ = 10000 + 200 + 1 = 10201

1. b) 1992 = (200 – 1)2 = 40000 – 400 + 1 = 39601
2. c) 47. 53 = (50 – 3) (50 + 3) = 502 – 3 = 2500 – 9 = 2491 Bài 23. Chứng minh rằng: a) (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab . b) (a – b) = (a + b)2 – jab

GIẢI a) VT = (a + b)= a + 2ab + b2

(1) VP = (a – b)+ 4ab = a’ – 2ala + b2 + 4ab = a + 2ab + b (2)

Từ (1) và (2) suy ra VT = VP. Vậy (a + b)^ = (a – b)* + 4ab (dpcm) b) VT = (a – b) = a – 2ab + b2

VP = (a + b)2 – 4ab = a + 2ab + b2 — 4ab = a — 2ab + b2 2)

Từ (1) và (2) suy ra VT = VIP. Vậy (a – b)^ = (a + b)” – 4ab (đpcm) Bài 24. Tính giá trị của biểu thức 49x? – 70x + 25 trong môi trường hợp sau: a) x = 5

1. b) x = =

GIẢI Đặt A = 49x – 70x + 25. Rút gọn A = (3x)? – 2, 7x. 5 – 5° = (7x – 5) a) Với x = 5, ta được A = (7x – 5) = (7.5 – 5) = 30° = 900.

Vậy A = 900 khi x = 5 b) Với x = 1, ta được A = (7x – 5 = 7.- 5 = – 4 = 16.

Vậy A = 16 khi x = 3 Bài 25. Tính : a) (a + b + c)?

b)(a + b – c)2

1. c) (a -b – c)

GIẢI a) (a + b + c) * = [(a+b) +c]” = (a + b)? + 2(a + b)c+e?

= a + b2 + 2ab + 2ac + 2bc + c = a + b3 + e + 2ab + 2ac + 2be (a + b — coʻ = [(a+b) – cj = (a + b)2 – 2(a + b) c + c?

= a + b2 + 2ab – 2ac – 2bc + e* = a + b’ + 6 + 2ab – 2ac – 26 c) (a -b – c)? = {(a – b) – cf = (a – b)? – 2(a – b) c +

= a + b2 – 2ab – 2ac + 2bc + c = a + b + c2 – 2ab – 2ac + 2be