Nguồn website giaibai5s.com
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q..
Số 1 được gọi là công bội của cấp số nhân. . Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: un-su-q với nc N*
|
- Số hạng tổng quát
Định lí 1: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u, và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức: u, =uq…-‘với n22. . 3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân
| Định lí 2: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:
u =u-u- với k22 hay u = up-tu4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân Định lí 3: Cho cấp số nhân un với công bội q+ 1. Đặt S =u +up+ … +u.
Khi đó: S = u(1-q”)
1-9
+1
5
b)
- (NEN)
u
1
)
1
+1
1
+1
Bu, 2″.2
n+
“
- HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK) Bài 1 (Trang 103, SGK) a) Ta cóu, = 2″, U. = 2200+) = … =2.4, (Wne.N) Vậy, dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội là q= 2. b) Ta có: 0, – , , , , , .. . (= N) Vậy, dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội là: q=; o) Ta és u.-{(99)–(()-(
=U.. =( .. (vne N’) Vậy, dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội là: q Bài 2 (Trang 103, SGK) | a) Ta áp dụng công thức u, suy-go-. Thay các đại lượng đã biết vào ta có:
486 = 2.96-1 = 2.q’ =q? = 243=q=3
n
+1
11+1
- b) Ta áp dụng công thức un = u1.4″-. Thay các đại lượng đã biết vào ta có:
“
4
- = 4,944 = 0,
L (1),
3
- c) Ta áp dụng công thức u = u1 q”>’. | Thay các đại lượng đã biết vào ta có:
- = 3.(-2)^-1 =192=(-2)”-1 = 192 = 64
(-2)” = 64.(-2)=-128=n=7 Vậy số 192 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân. Bài 3 (Trang 103, SGK). a) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát: u = u(“-“, ta có: u, = 3 = u,qo và u, = 27 = u, *. Mặt khác vì 27 = u,q =(u,vỏ qỏ = 3.g” Nên q =9. Vậy q=t3. Thay q =9 vào u, su,qo, ta có u =. – Nếu q= 3, ta có cấp số nhân là: -1, 3, 9, 27. – Nếu q= -3, ta có cấp số nhân là: ,, -1, 3, -9, 27.
- b) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát và từ điều kiện đề bài, | ta có:
fu, -u, = 25 fuq-u,9= 25 (4,9(q’-1) = 25 (1) lu, -u, = 50 %u,q?-u, = 50 |u, (q?-1)=50 (2) Thay (2) vào (1) ta có: 50q = Vậy từ (2) ta có: u, = 50 x 50 200 “q’-1 (11-
1 3 Ta có cấp số nhân: 200 100 50 25 25
nhân 3′ 3′ 3′ 3 6 Bài 4 (Trang 104, SGK) Giả sử cấp số nhân là: uh, u, uy, u4, 45, 46 có công bội q.
q = 25, vây q=-
50
=
Vậy, ta có:
fu,+u, +43 +4 +us = 31. (a)
lu, +4, +4, +4, +u, =62
Nhân cả hai vế (a) với q, ta có: uq+u,q+u,qểu,q+u,q=31q hay U2 + Uz + 04 + Us + U6 = 319.
Vậy ta có: fu,q+u,q+u,q+u4q+u;q=314 Ju, +uz +44 +45 +ug = 3 lq | u, +u, +44 +uş +46 = 62 luz +uz+u4 + us +u6 = 62 Suy ra 31q = 62 # q= 2. Theo bài ta có:
Pa
SE = 31 = 0,(1 – 2′)
Su = 1
1-27 Vậy, ta có cấp số nhân là: 1, 2, 4, 8, 16, 32. Bài 5 (Trang 104, SGK)
Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là 1,4%. Gọi số dân của tỉnh đó hiện nay là M nên sau một năm, dân số tăng thêm 1,4%M.
Vậy dân số của tỉnh đó năm sau là: M + 1,4%M = 101,4%M = ” &M Vậy số dân của tỉnh đó sau mỗi năm thành lập một cấp số nhân. 101,4 n (101,4 N.
N,… N: 100″ ( 100 và số hạng đầu N = 1,8 triệu người. Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân thì sau 5 năm số dân của tỉnh sẽ là:
100
–
N.
4)S
1,8 = 1,9 triệu người)
( 100 )
101 A110
Và sau 10 năm số dân của tỉnh sẽ là:
2,1 triệu người).
Bài 6 (Trang 104, SGK)
Ta hãy xét dãy (an) với a = 4. Giả sử hình vuông Cn độ dài cạnh là an. Vậy suy ra hình vuông Cn+1 có độ dài cạnh là an+1..
Áp dụng định lí Pi-ta-go ta có:
n
+1
n+!
— +65.) – Yo.com zbation yo.comzi) Vậy dãy số 4, là cấp số nhân với a = 4 và công bội q= 0\