Ví dụ 3: Cho các hàm số y = 3x và y = -2x.

a) Vẽ trên cùng một mặt phẳng Oxy đồ thị của các hàm số đã cho ;

b) Đường thẳng d song song với trục Oy cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 2, cắt các đường thẳng y= 3x và y = -2x lần lượt ở A và B. Tìm toạ độ các điểm A và B

c) Tính chu vi và diện tích của tam giác AOB.

Giải:

a) Vẽ đồ thị (1.4).

– Vẽ đồ thị y = 3x : Cho x =1, ta được y=3. Vẽ đường thẳng đi qua điểm O(0 : 0) và điểm (1 ; 3) ta được đồ thị hàm số y = 3x.

– Vẽ đồ thị y = -2x . Cho x = 1, ta được y=-2. Vẽ đường thẳng đi qua điểm O(0 ; 0) và điểm (1 ; -2) ta được đồ thị hàm số y = -2x.

b) Điểm A thuộc đồ thị hàm số y= 3x, có hoành độ 71: x = 2 nên tung độ y = 2.3 = 6.

Vậy toạ độ của điểm -24 %. A(2,6). Điểm B thuộc đồ thị y = -2x , có hoành độ x = 2 nên tung độ y = -2.2 = -4.

Vậy toạ độ của điểm B là B(2;-4).

c) Gọi H là giao điểm của đường thẳng d với trục Ox, ta có :

OH = 2, AH = 6, BH = 4.

AB = AH + HB = 16/+|-4 = 10. Tam giác AHC vuông ở H, theo định lí Pi-ta-go, ta có :

OA=OH + AH = 2? +6 = 40, suy ra OA = 40 = 2/10, Tam giác OHB vuông ở H, theo định lí Pi-ta-go, ta có :

OBP = OH2 + HB2 = 22 +42 = 20, suy ra OB = V20 = 275. Chu vi tam giác AOI

OA +OB+ AB = 2/10 + 2/5 +10 (đơn vị độ dài). Diện tích tam giác AOB :

Shop = AB.OH = .10.2 = 10 (đơn vị diện tích).

II- BÀI TẬP

11. Cho hàm số y = -2,5x.

a) Xác định vị trí của điểm A(1;-2,5) trên mặt phẳng toạ độ và vẽ đồ thị của hàm số ;

b) Xét xem trong các điểm sau, điểm nào thuộc đồ thị hàm số ?

B(2,-5) ; C(3;7) ; D(1;2,5) ; E(0:4).

12. Cho hàm số y = 3x.

a) Vẽ đồ thị hàm số ;

b) Điểm A thuộc đồ thị hàm số có khoảng cách tới gốc toạ độ là 2/10 .Xác định toạ độ của điểm A.

13. Cho các hàm số y = -2x và y = x.

a) Vẽ trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy đồ thị của hai hàm số trên ;

b) Qua điểm H(0 ; 4) vẽ đường thẳng d song song với trục Ox, cắt các đường thẳng y = -2x và y = x lần lượt ở A và B. Tim toạ độ của các điểm A và B ;

c) Tính chu vi và diện tích của tam giác AOB.

14. a) Trên mặt phẳng toạ độ, vẽ đường thẳng (d) qua O(0 ; 0) và điểm

b) Hỏi rằng đường thẳng (d) là đồ thị của hàm số nào ?

15. Cho các hàm số y= -2x và y= x.

a) Vẽ trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy đồ thị của hai hàm số trên ;

b) Qua điểm (0 ; 2) vẽ đường thẳng song song với Ox cắt hai đường thẳng y = x và y = -2x lần lượt ở A và B.

Chứng minh tam giác AOB là tam giác vuông.

16. Tìm giá trị của m để hàm số y=(3- m+2)x :

a) Đồng biến ; b) Nghịch biến.

III. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ

y = -2,5x

..

2,5

11. a) Từ điểm 1 trên trục Ox, điểm 2,5

trên trục Oy dựng các đường 1 lượt vuông góc với Ox, Oy chúng cắt nhau ở A(1;-2,5). Đường thẳng đi qua điểm O(0 : 0) và điểm A(1;-2,5) là đồ thị của hàm số y=-2,5x (h.5).

Ź ON

12 s b) Thay toạ độ từng điểm đã cho vào phương trình y=-2,5x , ta được : -5 = -2,5.2 ; 7#-2,5.3 ; 2,5= -2,5.(-1); 4# -2,5.0 Ta thấy chỉ có điểm B và D có toạ độ nghiệm đúng phương trình y=-2,5x nên B và D thuộc đường thẳng y=-2,5x . Hai điểm C và E không thuộc đường thẳng y=-2,5x .

Hình 5 12. a) Cho x =1, ta có y=3.

Vẽ đường thẳng đi qua điểm O(0 : 0) và điểm M(1; 3) ta được đồ thị hàm số y=3x (1.6). b) Gọi x, y, là hoành độ và tung độ của điểm A. Diểm A(x +y) thuộc đường thẳng y = 3x nên y = 3x .

Gọi H là hình chiếu của điểm A trên Ox, ta có :

OH = X , AH = y. = 3x:

Tam giác AOH vuông ở H, theo định lí Pi-ta-go, ta có :

-2

–

-1 –

1

2

X

OA’ = OH + AH’, suy ra (2010) = x} +(3x,)? hay 40 = 10x, Do do x, = +2. Ta có hai điểm : A(2;6) và A(-2;-6)

thoả mãn đề bài. 13. a) Dụng các điểm A(-1;2) và diểm

AM(1;1). Dựng các đường thẳng (A, và (OA, ta được đồ thị các hàm số y = -2x và y= x (h.7). b) Điểm A thuộc đồ thị hàm số y =−2x, có tung độ y=4 nên –2x = 4 suy ra x =–2Vậy toạ độ của điểm A và A(-2;4). Tương tự toạ độ của điểm B là B(4;4). c) H là giao điểm của đường thẳng d với trục Oy. Tam giác AOH vuông ở H, ta có: OA? = AH? +HO2 = 22 +42 = 20, suy ra (A = V20 = 2/5 Tương tự OB = 4/5. AB = AH+HB = -2+14) = 6.

đi

Hình 6

Chu vi tam giác AOB bằng :

| OA + AB + BC = 25 +42 +6 (đo độ dài) Diện tích tam giác AOB :

Suou – ABOK – 6.4 = 12 (ây diện tích). 14. a) Trên mặt phẳng Oxy, dụng

rờng thẳng đi qua điểm Q10 : 0) và điểm A(-) ta được 1

(d) đường thẳng (d), (h.8). b) Đường thẳng (d) đi qua gốc toạ độ nên A 1.5 phương trình có dạng y=ax. Vì điểm A thuộc đường thẳng (d) nên toạ độ của nó thoả mãn phươ11g trình y = ax. Ta có: a =, suy ra a=-3. Vậy đường thẳng (d) là đồ thị của hàm số

y=-3x. 15. a) Vẽ đồ thị y = -2x. Cho

x = 1, ta có y=-2.1=-2. Đường thẳng y = -2x đi qua \В gốc toạ độ O(0;0) và điểm A, (1;-2). – Vẽ đồ thị y= x. Cho x = -2, ta có y=-=-(-2) = -1. Đường thẳng y = x đi qua điểm O(0 : 0) và điểm A,(-2;-1), (h.9). b) Điểm A là giao điểm của đường thẳng y = x và đường thẳng (d),

– x = 2, suy ra x =4.

Vr

Vậy toạ độ của điểm A là A(4 ; 2). Tương tự B(-1;2). Gọi H là hình chiếu của điểm A trên Ox, K là giao điểm của đường thẳng (d) với Oy. Ta có : OA? =OH + AH = 4 + 2 = 20

OB? = BK? + OK? = 12 + 2? = 5 AB = AK+KB= 4 +-1=5, suy ra AB = 25. Suy ra OA^ + OB^ = AB. Vậy AAOB vuông ở O. Cách khác : ABOK – AOAK vì có OKB = OKA = 90° và O = 5

YAK OK (vì cùng bằng ), suy ra BOK = OAK mà OAK + AOK = 90°, do đó

BOK + KOA = 90°. Vậy AAOB vuông ở O. 16. Điều kiện để /m+2 có nghĩa là m+220 hay m>-2. (1)

7. a) Hàm số y = (3-4m + 2)x đồng biến khi hệ số a của x dương, nghĩa là : 3- Vm-2 >0e (m +2 <3 Vì hai vế của bất phương trình đều dương, nên bình phương hai vế của bất phương trình ta có : m +2 <9 m <7.

(2) Kết hợp (1) và (2), ta có : -25 m < 7. Trả lời : Khi -2 <m <7 thì hàm số y=(3-4m + 2)x đồng biến. b) Hàm số y= (3 – 4m+2)x nghịch biến khi hệ số a của x âm, nghĩa là : 3-/m-2<0 o/m+2 >3 Vì hai vế của bất phương trình đều dương, nên bình phương hai vế của bất phương trình ta có :

m+2>9@ m> 7. Kết hợp (1) và (3), ta có : m >7. Trả lời : Khi m >7 thì hàm số y=(3- m + 2)x nghịch biến.