Kiến thức cần nhớ 0 Định lí đảo của định lí Talet

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên các cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác

Tam giác ABC, (BE AB, C < AC) Gia thiết

AB’ AC

AB AC Kết

B’C’ // BC luận 2 Hệ quả của định lí Ta-let

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác đã cho.

Giả | Tam giác ABC, BC // BC, thiết | (BAB, C < AC) Kết | AB’ AC’ B’C’ luận | AB AC BC Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng a song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại.

a C’_ B’

Bài 6, Tìm các cặp đường thẳng song song trong các hình 13 và giải thích vì sao chúng song song.

BA” b) o

A

a)

a)

PL

15

– 45 B

BL7M 21c

Hình 13

A

Ta có NB

7

—

GIẢI • Hình 13a) Tam giác ABC (M + AC, N + BC, P < AB) CN 21

CN CM CM 15

NB MA MA Theo định lí đảo của định lí Ta-let thì MN || AB

AP 3 AM 5 1 Cũng từ tam giác ABC, ta có

= —

15 3 3 1 AP AM

đó PM không song song với BC 8 3 . PB МС

MO 1

nào 1

–

*-

–

—-

–

Do

OA_2=0,4

• Hình 135) Từ tam giác OAB ta có

OA OB’

5 3

> OA’ OB

OAOB

OBE = 0,4

(1)

(2)

Theo định lí đảo của định lí Ta-let thì A’B’ || AB Ta còn có OA’B’ = OA”B” (giả thiết) – A”B” // A’B’

Từ (1) và (2) ta có A”B” || A’B’ || AB Bài 7. Tính các độ dài x, y trong hình 14.

B’ 4,2 A

9,5 MIN

EL XF

a)

AbxJB

Hình 14

GIẢI

Hình 14a) Tam giác DEF có MN // EF (giả thiết). Theo hệ quả của

, MN DM định lí Ta-let ta có :

8 9,5 9,5 EF DE

X 9,5 + 28 37,5 8.37,5 ~31,58.

Vậy x = 31,58 9,5

X

=

Hình 14b) Ta có AB’ || AB (vì cùng vuông góc với AA’). Theo hệ quả

OA’ A’B’ của định lí Ta-let ta có

3 4,2

OA

6

X

6.4,

>>

X =

= 8,4.

Vậy x = 8,4

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác OAB vuông tại A ta có : OB? – AB? + OA’ hay y2 = x2 +62 = (8,4)2 + 62 = 70,56 + 36 = 106.56

> y = 106,56 = 10,32 . Vậy y = 10,32 Bài 8. a) Để chia đoạn thẳng AB thành ba đoạn

P E F Q thăng bằng nhau, người ta đã làm như hình 15. Hãy mô tả cách làm trên và giải thích vì sao các đoạn thẳng AC,

CD, DB bằng nhau ? b) Bằng cách làm tương tự, hãy chia đoạn

thẳng AB cho trước thành 5 đoạn bằng nhau.

Hình 15 Hỏi có cách nào khác với cách như trên mà vẫn có thể chia đoạn thẳng AB cho trước thành 5 đoạn thẳng bằng nhau ?

GIẢI a) Chia đoạn thẳng AB thành ba đoạn thẳng bằng nhau AC = CD = DB.

Mô tả: Kẻ đường thẳng a // AB. Trên đường thẳng a đặt 3 đoạn thẳng bằng nhau và liên tiếp nhau : PE = EF = FQ = 1 (đvđd). Hai đoạn thẳng PB và QA cắt nhau tại O. Kẻ tia EO cắt AB tại D và kẻ tia FO cắt AB tại C. Do đường thẳng a song song với AB nên theo hệ quả của định lý Ta-let

ta có : • B = B = 8 (suy từ hai tam giác OEF và OCD) (1)

CD

(2)

(suy từ hai tam giác OPE và OBD) DB OD lou • Fe = 0 (suy từ hai tam giác OFQ và OAC) Từ (1), (2) và (3) suy ra EF PE FQ ( OE OF )

CD DB AC ODOC) Mà EF = PE = FQ (theo cách dựng)

Vậy AC = CD = DB (đpcm). b) Chia đoạn thẳng AB thành 5 đoạn thẳng bằng nhau :

Cách 1: Kẻ đường thẳng a || AB và trên a ta đặt liên tiếp 5 đoạn thẳng bằng nhau HI = IK = KL = LM = MN

H I KLMN a

RTA

Hai đoạn HB và AN cắt nhau tại 0. Kẻ các tia IO, KO, LO, MD cắt AB theo thứ tự tại F, E, D, C. Chứng minh tương tự a) ta có năm đoạn thẳng bằng nhau đó là AC = CD = DE = EF = FB (hình a)

A

C

F

B

D E Hình a

Cách 2: Kẻ tia Ax, trên tia Ax đặt năm đoạn thẳng có độ dài bằng nhau AL = LM = MN = NP = PQ Nối QB. Qua các điểm L, M, N, P ta kẻ các đường thẳng song song với QB. Các đường thẳng này sẽ chia AB thành nh m đoạn thẳng bằng nhau (hình b) (học sinh tự chứng minh).

| X/ Hình b Bài 9. Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh AB

sao cho AD = 13,5cm, DB = 4,5cm. Tính tỉ số các khoảng cách từ điểm D và B đến cạnh AC.

GIẢI Kẻ BH và DK vuông góc với AC (H, K & AC) thì BH và CK là khoảng cách từ B và D đến cạnh AC. Tam giác ABH có DK / BH (vì cùng vuông góc với AC).

DK AD 13,5 3 Theo hệ quả của định lí Tablet ta có :

BH AB 13,5+4,5 4

de

OK

_

AC)

D

АН

en

в

—

–

=

18

DK

3

Vậy tỉ số các khoảng cách từ D và B đến cạnh AC là

BH = a

| LUYỆN TẬP

Bài 10. Tam giác ABC có đường cao AH. Đường thẳng d song song

với BC cắt các cạnh AB, AC và đường cao AH theo thứ tự tại các điểm B, C và H’ (hình 16). a) Chứng minh rằng AI C.

Hình 16

1. b) Áp dụng: Cho biết AH = AH

và diện tích tam giác ABC là 67,5cm”. Tính diện tích tam giác ABC.

GIẢI a) Xét tam giác AHB, có BH // BC (giả thiết).

, AH’ AB Theo hệ quả của định lí Tablet, ta có –

АН АВ Tam giác ABC có BC // BC (giả thiết),

B’C’ AB’ Theo hệ quả định lí Tablet, ta có

í Ta-let, ta có BC – AB

(1)

ra –

Từ (1) và (2) suy ra AH KE ( AB (đpcm) b) Áp dụng Ta có AH = AH = AH BC = BC = BC

Saxc = AIT:B’O – AH, BC = 🙁 AH.BC) Mà ] AH.BC = SABC = SABC = 2 67,5cm” = 7,5cm

B’C’

B’C’

Н

Vậy SAB’C’ = 7,5cm”. Bài 11. Tam giác ABC có BC = 15cm. Trên đường cao AH lấy các điểm K, I sao cho

MKA! AK = KI = IH. Qua I và K vẽ các đường EF // BC, MN // BC (hình 17) a) Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF. b) Tính diện tích tứ giác MNFE. biết rằng B

Hình 17 diện tích của tam giác ABC là 270cm*.

GIẢI a) Tương tự bài bập 10, tam giác ABC có MN // BC (gt) suy ra MN AK 1 hoy MN 1 M

hay = = MN = 5cm BC AH 3 Tam giác AEF có MN // EF (gt) suy ra MN AK 1

5 1

. > EF = 10cm EF AL 2 “ay EF 2 * Cách khác: Ta dễ dàng chứng minh được MN là đường trung bình của tam giác AEF

=

15

= EF = 2MN = 2.5 = 10 (cm) hoặc ta có thể chứng minh EF là đường

trung bình của hình thang MNCB để tính EF. b) Ta có SABC = AH.BC = 270 (cm*)

C

2

2.270 AH = =

BC

=

540 15

= 36 (cm)

KI =

براحت

– AH = 12 (cm)

Do MN // EF nên MNFE là hình thang – SMNFE = CKI(MN + EF)

.12(5 + 10) = 90 (cm*). Vậy SMNFE = 90cm.

Bài 12. Có thể đo được chiều rộng của một

khúc sông mà không cần phải sang bờ . bên kia hay không ? Người ta tiến hành đo đạc các yếu tố hình học cần thiết để – A tính chiều rộng của khúc sông mà không cần phải sang bờ bên kia. Nhìn

Bha hình 18 đã cho, hãy mô tả những công

Bibh a’ việc cần làm và tính khoảng cách

Hình 18 AB = x theo BC = a, B’C’ = a’, BB’ = h.

GIẢI Mô tả : Trên bờ sông chọn điểm B sao cho A, B, B’ thẳng hàng rồi chọn điểm C sao cho BC l BB’. Tiếp tục chọn điểm C trên bờ sao cho BC 1 BBvà A, C, C thẳng hàng. Tam giác ABC có BC // BC, theo hệ quả của định lý Ta-let, ta có : ABBC , ха

-A =4 = ax = a(x + h) = ax + ah AB’ B’C’ x+h a’

=a’x – ax = ah = x(a’ – a) = ah

ah Ta có a > a nên a” – a > 0 = x = 4

a’ – a

hay

ah

Vậy chiều rộng khúc sông đo được theo a, ao, h là x = –

a’ – a

Ghi chú: Khi đã chọn được các điểm B, C, C thì ta đo được độ dài l, a, a. Từ đó ta tính được x là chiều rộng khúc sông.

Bài 13. Có thể đo gián tiếp chiều cao của một bức tường khá cao

bằng dụng cụ đơn giản được không ? Hình 19 thể hiện cách đo chiều cao AB của một bức tường bằng các dụng cụ đơn giản gồm : Hai cọc thẳng đứng (cọc (1) cố định, cọc (2) có thể di động được) và sợi dây FC. Cọc (1) có chiều cao EF = h. Các khoảng cách BC = a, EC = b đo được bằng thước dây thông dụng. a) Em hãy cho biết người ta tiến hành đo đạc như thế nào ? b) Tính chiều cao AB theo h, a, b.

A

NK

B EDOC

Hình 19

a

b

GIẢI a) Mô tả: • Dựng cọc EF cố định và vuông góc với mặt đất.

Dựng cọc thứ hai DK, điều chỉnh sao cho ba điểm A, F, K thẳng hàng. Căng thẳng sợi dây FC sao cho dây đi qua ( tức là F, K, C thẳng hàng (điểm C nằm trên mặt đất), lúc đó ta có bốn điểm A, E, K, C

thẳng hàng và bốn điểm B, E, D, C cũng phải thẳng hàng. b) Sau đó ta áp dụng hệ quả của định lí Ta-let vào tam giác ABC có

EF // AB để tính độ dài AB như sau : EF CE, h b

=- =AB = – AB CB nay AB a Cuối cùng ta dùng thước để đo độ dài của h, a, b thì sẽ tính được

chiều cao của bức tường. Bài 14. Cho ba đoạn thẳng có độ dài m, n, p (cùng đơn vị đo) Dựng đoạn thẳng có độ dài x sao cho :

Inn a) * = 2 b) * – 2

— –

1. ah ab

GIẢI a) Dựng đoạn thẳng x sao cho X = 2

m

m

Hình by

Hình a

* Cách dựng

Dựng tia Ax • Trên tia Ax dựng hai đoạn thẳng liên tiếp AB = BC = m. Đoạn thẳng

AC là đoạn thẳng cần dựng. * Chứng minh: B nằm giữa A và C. Ta có AC = AB + BC = m + m = 2m

= AC = X = 2 (thỏa mãn bài toán)

mm b) Dựng đoạn thẳng x sao cho * ,

X

11

Cách dựng Dựng góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy hai điểm A, B sao cho OA = 2 (đvCd), OB = 3 (đvđd). Trên tia Oy lấy điểm N sao cho ON = n. Qua A kẻ đường thẳng song

song với BN cắt Oy tại M thì OM là đoạn thẳng cần dựng (hình a) | Chứng minh: Tam giác OBN có AM || BN OM OA

X 2

– == (thỏa mãn bài toán) ON OB c) Dựng đoạn thẳng d = 1

х р

n

3

* Cách dựng

Dựng góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy ON = n và OP = p (p > ). Trên tia Oy lấy OM = m. Nối M với N và qua P kẻ đường thẳng song

song với MN cắt Oy tại Q thì QQ là đoạn thẳng cần dựng hình b) | Chứng minh: Tam giác OPQ có MN // PQ OM ON , mnih

= ” (thỏa mãn bài toán) >> OQ OP hay xp