Kiến thức cần nhớ Định lí: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

Giả | Tam giác ABC thiết | AD là tia phân giác của BAC Kết | DB AB luận | DC AC Ghi chú: Nếu AD’ là đường phân giác ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC thì D’B AB

D_D’C AC

Bài 15. Tính độ dài x trong các hình 24 và làm tròn kết quả đến chữ

số thập phân thứ nhất.

Р

a)

AM

8,7

4,5/

Q 12,5

DCA

***D 3,5

Hình 24

GIẢI Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có : Hình 24a) AD là phân giác của BAC trong tam giác ABC : DB AB x 4.5

_3,5 4,5

– ~2,19 (dudd) 3.5 7.2

7,2 Hình 24b) PQ là phân giác của MPN trong tam giác MPN : QM PM 12,5 – X 6,2 hay —

= 6,2x = 8,7(12,5 – x) ON PN

8,7 6,2x = 8,7.12,5 – 8,7x

6,2x + 8,7x = 108,75 = 14,9x = 108,75 > * ~7,3 (dudd). Bài 16. Tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = m, AC = n và AD là

đường phân giác trong của tam giác tại đỉnh A. Chứng minh rằng

1 số diện tích của tam giác ABD và diện tích của tam giác ACD bằng

GIẢI

BD AB m AD là phân giác của BAC suy ra PR =

AC n Kẻ đường cao AH của tam giác ABC (H BC) ta có :

CD

1 AH.BD BD ABm SABD = ?

H

D

11

SacD AH.CD CD AQ Vậy SABD = m

** SACD n Bài 17. Cho tam giác ABC với trung tuyến AM. Tia phân giác của AMB cắt cạnh AB

D, tia phân giác của AMC cắt cạnh AC E. Chứng minh rằng DE // BC (hình 25).

BI, NA , Sc

M

Hình 25

GIẢI

Áp dụng tính chất đường phân giác vào hai tam giác AMB và AMC ta có :

DA MA) DB MB EA MA ECMC (vì MB = MC (giả thiết) nên Ma Máy

MB Theo định lí đảo của định lí Tablet từ (*) suy ra DE // BC (đudd).

–

—

–

| LUYỆN TẬP

Bài 18. Tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm và BC = 7cm. Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại E. Tính các đoạn EB, EC.

GIẢI Do AE là phân giác của BAC (giả thiết) MEB AB SEBAB O EC” AC – EB+ EC AB + AC

BC EB 5 5

5.7 = > EB = = = 3.18 (cm) B 7 5 + 6 11 => EC = BC – EB = 7 – 3,18 = 3,82 (cm). Vậy EB = 3,18cm; BC = 3,82cm

hay tro

hay

5 = EB = 5 3,18 (cm) B

=

4c

11

Bài 19. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng a song song

với DC cắt cạnh AD và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng :

DE CF b) An – BC a) ED – FC

, DA

1. a) AE BF

AE BF

GIẢI

ra

ED

ED

na

—

—

–

–

–

—

1. a) Đường chéo AC cắt EF tại M. Do EF // CD (giả thiết), áp dụng định lí Ta-let đối với tam giác ACD và tam giác CAB, ta có : AE AM AM BF

AB

(2) E EDMC

MC FC

AE BF Từ (1) và (2) suy ra = 0 (dpcm) (3) DJ

FC AE BF AF BF “AE b) Tử (3) cu

BF

(dpcm) (4) FC AE + ED BF + FC AD BC

AE BF AD) – AE BC – BF c) Từ (4) có

(dpcm). AD BC AD

BC Bài 20. Cho hình thang ABCD (AB // CD).

Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại 0, Đường thẳng qua 0 và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng OE = OF.

GIẢI Do EF : CD (gia thiet ).

ОЕ

OF BO Từ hai tialil giác ACD và BCD suy ra = =

CD AC

CD BD Flai tai11 giác OAB và OCD có AB // CD (giả thiết) suy ra : AO BO

AO

BO OC ODAO + OC BO+OD

BD

OE OF Từ (1), (2) và (3) suy ra P = 03 = OF (đpcm).

21. CD) CD Bài 21. a) Cho tam giác ABC với đường trung tuyển AM và đường phân

giác trong AID. Tính diện tích tam giác ADM, biết AB = m, AC = n

(n + m) và diện tích của tam giác ABC là s. b) Kii cho 1 = 7;n, Al = 3cm. Hỏi rằng diện tích tam giác ADN chiến bao nhiêu phần trăn, diện tích tam giác ABC ?

GIẢI a) Kẻ đường ao All cua tan giác ABC (H = BC),

A0

và

–>

AC

S

ta có :

ta có : SADA JAHBD

Sapc IAH.DC DC (1)

Oui

Do AD là phân giác của BAC DB AB m

H D M suy ra ở

(2) DC ACn Do n > m (giả thiết) = DC > DB nên D nằm giữa B và M Từ (1) và (2) suy ra SADB = m hay _ SADB = m

SADC n SadB + SADC m+n

SABC

ms

> SADB =

. Do D nằm giữa B và M nên SADM + SADB = SAMB (3)

m

+n

AIVIN

C

=

mà SAMB = SABC = 3s (vì có chung đường cao AH và BM = BC) Từ (3) suy ra

mS

ADM =

S(m + n) – 2Sm

2(m + n)

S(n-m) 2(m+n)

m

+

n

Vậy SADM =

(n – m) S 2(m+n)

1. b) Thay n = 7cm, m = 3cm vào (4) ta có SADM =

S

S

=

–

ALX

GIẢI

Vậy SADM = 20%SABC: Bài 22. Đố. Hình 27 cho biết có sáu góc bằng nhau :

Ô = (x = OA = OA = OB = Ô8 . Kích thước các đoạn thẳng đã được ghi trên hình. Hãy thiết lập những tỉ lệ thức

y /z / t u v đúng từ các số đã cho.

C D E F

Hình 27 Trong tam giác OAC có OB là đường phân giác suy ra * = 4

у с

y b 2 ct du e Tương tự ta có các tỉ lệ thức sau X = ? ;

z d t eu fv g Xét các tam giác AOE có OC là phân giác; tam giác B0F có OD là phân giác; tam giác COG có OE là phân giác; tam giác AOG có OD là phân giác. Ta có các tỉ lệ thức sau:

y + 2 b 2 + t C x + y + 2 a 2 + t e tuu f u +V g t + U + V g