Câu 1. Rút gọn các biểu thức sau:

1. a) P = 148 – V3

b)Q-

1

+

1 . 1.

:

– với x > 0, x + 1. X-1

VX+1

VX-1

Câu 2.

1. a) Cho đường thẳng (d): y = mx + m – 2 và đường thẳng (d): y = 2x – 1.

Tìm giá trị m để đường thẳng (d) và (d) song song với nhau. b) Cho phương trình x? – 2(m + 1)x + m^ = 0 (m là tham số). Tìm giá trị

m để phương trình đã cho có hai nghiệm X1, X2 thỏa mãn

(2x + 1)(2x + 1) = 13. Câu 3. Một người đi xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 9km với

vận tốc dự định trước. Sau khi đi được 1 quãng đường, do điều kiện thời

tiết không thuận lợi nên trên quãng đường còn lại người đó phải đi với vận tốc ít hơn so với vận tốc dự định ban đầu 10km/h. Tính vận tốc dự định và thời gian người đó đã đi từ A đến B, biết người đó đến muộn hơn

dự định 18 phút. Câu 4. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB cố định I là điểm cố định thuộc

đoạn OA (I không trùng 0 và A). Qua I vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn tâm O tại M và N. Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN (C không trùng các điểm M, N và B). Gọi E là giao điểm của AC và MN. a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh AE.AC = AI.AB. c) Chứng minh khi điểm C thay đổi trên cung lớn MN của đường tròn

tâm O thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME luôn thuộc một đường thẳng cố định.

24

Câu 5. Cho x, y, z là ba số thực không âm thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh x + 2y + z > 4(1 – x)(1 – y)(1 – z).

Chỉ dẫn

Câu 1.

1. a) P = /48 – V3 = V16x 3 – V3 = 4/3 – V3 = 3/3

1

1. b) Q =

Vx+1

Vx-1)

X – 1

– (VX – 1 + Vx + 1)(x – 1) = 2Vx

VX +

V

X-1

Câu 2.

1. a) Đường thẳng (d) y = mx + m – 2 song song với đường thẳng (d1):

y = 2x – 1 nếu m = 2. b) Phương trình x? – 2(m + 1)x + m2 = 0 (1)

Có hai nghiệm phân biệt x1, X, nếu

‘ = (m + 1)2 – m2 = 2m + 1 > (

m> —

Khi đó X + X2 = 2(m + 1) và XIX) = mở

(2×1 + 1)(2xy + 1) = 13

4x1X2 + 2(x1 + x2) + 1 = 13 54m2 + 4(m + 1) + 1 = 13

m2 + m – 2 = 0

m

>

=

m

= 1

m2 + m – 2 – 0

Câu 3. Gọi x (km/h) là vận tốc định trước của người đi xe máy thì trong 60km đường còn lại vận tốc xe máy là (x – 100 km/h. Khi đó ta có:

60 60 3

X – 10

x

10 BY – 10x – 600 – 0

= X = 30 (loại x = -20) Vận tốc dự định là 30km/h. Thời gian thực đi là 3 giờ 18 phút.

25

Câu 4.

A

B

N

1. a) Ta có: EIB + ECB = 90° + 90″ = 180°

Do đó IECB là tứ giác nội tiếp. b) Các tam giác ACI và ABE đồng dạng vì CAI = BAE, AC = ABÈ

AC AI nen —

== AB AE

AE.AC = AI.AB

CU

1. c) Khi C chạy trên cung lớn MN ta luôn có góc ACM sảAM

ACM = sở. Khi đó tâm K của đường tròn ngoại tiếp tam giác MCE

nằm trên cung của đường tròn, nhìn AM sao cho AKM = sảAM của

đường tròn (O). Câu 5. Với các số thực không âm a, b ta luôn có (a + b)? > 4ab Do đó 12 = (x + 1 – x)?> 4x.(1 – x)

>> x + 2y + 2 = (x + 2y + 2)(2 + 1 – x)? > 4x(1 – x)(x + 2y + z) (*)

Không giảm tính tổng quát ta có thể giả sử: 1 > x > z. Khi đó ta có:

x(x + 2y – z) = x + xy + x2 + xy = x + xy + x2 + yz = (x + y)(x + 2) Thay vào (*) ta có: x + 2y + z 4(1 – x)(x + y)(x + z)

B x + 2y + 2? 4(1 – x)(1 – y/(1 – 2)

Dấu “=” xảy ra chẳng hạn x = z = 3, y = 0.

x

=

2

26