82. Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho BM = BA. Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN = CA.
83. Hãy so sánh các góc AMB và ANC. b. Hãy so sánh các độ dài AM và AN.

Giải a. Trong A ABC, ta có AB < AC Suy ra: ABC > ACB (đối diện với anh lớn hơn là góc lớn hơn) (1) Ta có: AB = BM (gt) = AABM cân tại B Suy ra: AMB = Âu (tính chất tam giác cân) Trong AABM, ta có ABC là góc ngoài tại đỉnh B Suy ra: ABC = AMB + Â. Suy ra: AMB = + ABC

. (2) Lại có: AC = CN (gt) = AACN cân tại C Suy ra: ANC = Âu (tính chất tam giác cân) Trong AACN, ta có ACB là góc ngoài tại đỉnh C Suy ra: ACB = ANC + Âu Suy ra: ANC = ACB Từ (1), (2) và (3) suy ra: AMB > ANC.

2

1. Trong A AMN, ta có: AMB > ANC Suy ra: AN > AM (đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).

83. Cho tam giác ABC có AB < AC, đường cao AH. Chứng minh rằng: HB < HC, HAB < HẠC (xét hai trường hợp: B nhọn và B tù).

Giải Ta có: AB < AC (gt) Suy ra: HB < HC (đường xiên lớn hơn thì hình chiếu lớn hơn)

:

.

A

1|

2

Ko—–

H

H

B

Hình 83a

Hình 836

Suv

* Trường hợp B nhọn (hình 83a) Trong AABC, ta có: AB < AC

i diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn) Trong AAHB, ta có AHB = 90° Suy ra: B + HAB = 90° (tính chất tam giác vuông) Trong A AHC, ta có AHC = 90° Suy ra: C + HAC = 90° (tính chất tam giác vuông) Từ (1) và (2) suy ra: B + HAB = C + HẠC Mà B > C nên HAB < HAC. * Trường hợp B tù (hình 836) Vì điểm B nằm giữa H và C nên HAC = HAB + BAC Vậy HAB < HẠC.

84. Có thể vẽ được mấy tam giác (phân biệt) với ba cạnh là ba trong năm đoạn thẳng có độ dài 1cm, 2cm, 3cm, 4cm, 5cm.

Giải

Ta có: 1 = 3 – 2 = 4 – 3 = 5 – 4 Suy ra: trong 3 cạnh của tam giác không có cạnh nào có độ dài 1cm.

A.

* Nếu cạnh nhỏ nhất là 2cm

A – I ai”: 8 Ta có: 4 – 3 < 2 3 4 + 3; 5 – 4 <2<5+ 4 M ahsumé | Suy ra: hai cạnh kia là 3cm và 4cm hoặc 4cm và 5cm * Nếu cạnh nhỏ nhất là 3cm

Ta có: 5 – 4 < 3 < 5 + 4; 3 = 5 = 2; 3 – 4 – 2 C 3 C

Như vậy hai cạnh kia là 5cm và 4cm * Không có trường hợp cạnh nhỏ nhất là 4 cm Vậy có thể vẽ được ba tam giác với độ dài các cạnh là:

2 cm; 3 cm; 4 cm 2 cm; 4 cm; 5 cm 3 cm; 4 cm; 5 cm

B 85. Cho bốn điểm A, B, C, D như hình bên. Hãy tìm một điểm M sao cho

/ T * tổng MA + MB + MC + MD là nhỏ nhất. i :)) / STT LH: Giải

nộp/

c * Nếu M không trùng với giao điểm : TH YOGA của AC và BD

Trong AAMC, ta có: MA + MC > AC (bất đẳng thức tạm giác) . Trong AMBD, ta có: MB + MD > BD (bất đẳng thức tam giác). * Nếu M trùng với giao điểm AC và BD

….. B WP Ta có: MA + MC = AC

MB + MD = BD Suy ra: MA + MC 2 AC

MB + MD > BD (dấu bằng xảy ra khi M trùng với giao điểm của AC và BD)

Suy ra: MA + MB + MC + MD > AC + BD

Vậy MA + MB + MC + MD = AC + BD bé nhất khi đó M là giao

điểm của AC và BD. 182

86. Cho hình sau trong đó G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
87. Sagc = 2SGMC b. SGMB = SGMC c. SAGB = Sage = SBGC

Giải a. Vì G là trung điểm của ABC nên GA = 2GM (tính chất đường trung tuyến) – Ta có AAGC và AGMC có chung đường cao kẻ từ đỉnh C đến AM, đồng thời cạnh đáy GA= 2GM. . . | Suy ra: SAGC = 2SGMC : ” b. Ta có AGMB và AGMC có cạnh đáy MB = MC, chung đường cao kẻ từ đỉnh G đến cạnh BC + Suy ra: SGMB = SGMC . . . . . (2) : ..

1. Ta có AAGB và 4GMB có chung đường cao kẻ từ đỉnh B đến cạnh AM, đồng thời AG = 2GM (chứng minh trên)

| Suy ra: SAGB = 2SGMB | Mà SBGc = SGMB + SGMC = 2SGMB

(4) Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra: SAGB = SAGC = SBGc.

87. Cho góc xOy khác góc bẹt, điểm A thuộc cạnh Ox, điểm B thuộc cạnh Oy. …… .

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . a. Hãy tìm điểm M nằm trong góc xOy, cách đều Ox, Oy và cách đều A, B b. Nếu OA = OB thì có bao nhiêu điểm M thỏa mãn các điều kiện

. . . . trong câu a?

. . . . . . .

(3)

.

.

.

.

1. Vì điểm M nằm trong góc xOy và cách đều hai cạnh Ox và Oy nên M thuộc tia phân giác Oz của xOy… ” Vì điểm M cách đều 2 điểm A và B nên M thuộc đường trung trực của AB. – Vậy M là giao điểm của đường trung trực của đoạn thẳng AB và tia phân giác Oz của xOy.

1. Nếu OA = OB thì AOAB cân tại 0 Khi đó tia phân giác của xOy cũng là đường trung trực của AB.

Vậy bất kỳ điểm M nào nằm trên tia phân giác của xOy đều thỏa mãn điều kiện trong câu a).

88. Cho góc xOy khác góc bẹt. Dùng một chiếc thước thẳng có chia khoảng, hãy nêu cách vẽ tia phân giác của góc xOy.

Giải – Dùng thước chia khoảng, trên Ox lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho OA = OB.

– Nối AB.

– Dùng thước chia khoảng để đo đoạn AB, o – lấy trung điểm M của AB.

– Kẻ tia OM.

vì tam giác OAB cân tại 0 và OM là đường trung tuyến nên OM cũng là đường phân giác của AOB.

Vậy OM là tia phân giác của xOy. | 89. Cho hình dưới trong đó giao điểm 0 của hai đường thẳng a và b nằm ngoài phạm vi tờ giấy. Chỉ vẽ hình trong phạm vi tờ giấy, hãy vẽ đường thẳng d đi qua A sao cho đường thẳng d cũng đi qua O nếu kéo dài đường thẳng d ra ngoài phạm vi tờ giấy.

M

.

la

1

.

10

:

Giải – Kẻ AH I a kéo dài, HA cắt b tại B. .

harip – Kẻ AH IB kéo dài KA cắt a tại C. – Kẻ AI 1 BC, đường thẳng AI đi qua 0.

Vì tam giác ABC có hai đường cao AH và CK cắt nhau tại A nên A là trực tâm của tam giác OBC.

Khi đó OA là đường cao thứ ba nên OA 1 BC.

Vì AI 1 BC nên đường thẳng OA và đường thẳng AI trùng nhau hay đường thẳng AI đi qua O.

90. Đường trung trực d của đoạn thẳng AB chia mặt phẳng thành hai M phần (không kể đường thẳng d): phần chứa điểm A ký hiệu là PA, phần chứa điểm B ký hiệu là PB (hình bên).
91. Gọi M là một điểm của PA. Chứng minh rằng MA < MB
92. Gọi N là một điểm của Pa. Chứng minh rằng NB < NA
93. Gọi K là một điểm sao cho KA – KB. Hỏi rằng K nằm ở đâu: trong PA, PB hay trên d?

. Gizi

3.

IPB

t:

PAT

NP

WANAUAPL –

—

2

1. Nối MA, MB. Gọi C là giao điểm của MB với đường thẳng d, nối CA. Ta có: MB = MC + CB mà CA = CB (tính chất đường trung trực) – Suy ra: MB = MC + CA (1)

– Trong AMAC ta có: MA < MC + CA (bất đẳng thức tam giác) (2) Từ (1) và (2) suy ra: MA = MB b. Nối NA, NB. Gọi D là giao điểm của NA với đường thẳng d, nối DB. Ta có: NA = ND + DA . . . . . . . . . . – mà DA = DB (tính chất đường trung trực) / C# . . . Suy ra: NA = ND + DB (3) ik og mob :000 osig stiv i Trong ANDB ta có: NB1 ND + DB (bất đẳng thức tam giác) (4) gia si Ky th . Từ (3) và (4) suy ra: N = NB. 31 Th 737 0 đ

) : – 3.0 ( c. Theo câu a), ta có: MA, MB Mà M là một điểm của PA nên K là một điểm của PA: . ..

91. Cho tam giác ABC, các đường phân giác của các góc ngoài tại B và C cắt nhau ở E. Gọi G, H, K theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ E đến các đường thẳng BC, AB, AC. hiii. ….. i c tím..
92. Có nhận xét gì về các độ dài EH, EG, EK? * 15 : b. Chứng minh AE là tia phân giác của góc BAC. Vì ? if filflĩ
93. Đường phân giác của góc ngoài tại A của tam giác ABC cắt các đường thẳng BE, CE tại D, F. Chứng minh rằng EA vuông góc với DF.
94. Các đường thẳng AE, BF, CD là các đường gì trong tam giác ABC? e. Các đường thẳng EA, FB, DC là các đường gì trong tam giác DEF?

Giải a. Ta có: E thuộc tia phân giác của CBH 1 Suy ra: EG = EH (tính chất tia phân giác)

. E thuộc tia phân giác của BCK Suy ra: EG = EK (tính chất tia phân giác) .: (2) Từ (1) và (2) suy ra: EH = EG = EK.

—

X

NY

HA….

.

294)

– lv.

:..

| b. Ta có: EH = EK (chứng minh trên) .

3 . – Suy ra: E thuộc tia phân giác của BAC, ty ren I ở , 68 – Mà E khác A nên AE là tia phân giác của BAC. i i3 3 58 = c. Ta có: AE là tia phân giác góc trong tại đỉnh A

AF là tia phân giác góc trong tại đỉnh A Suy ra: AEI AF (tính chất hai góc kề bù) Ả R Yiginri 2 3 Vậy AE 1 DF. d. Tương tự câu a, ta có:

BF là tia phân giác của ABC Aủi BH MAU i5 3MDUH

CD là tia phân giác của ACB 3 2 ff3 C + 7 – Vậy AE, BF, CD là các đường phân giác của tam giác ABC. | e. Ta có: BF là phân giác góc trong tại đỉnh B

BE là phân giác góc trong tại đỉnh B . Suy ra: BFT BE (tính chất hai góc kề bù) . Vậy BFI ED. Lại có: CD là đường phân giác góc trong tại C

. CE là đường phân giác góc trong tại C : 1 : Suy ra: CD 1 CE (tính chất hai góc kề bù) Vậy CDLEF.