Nguồn website giaibai5s.com
- Cho hình dưới. Điền vào chỗ trống: GK = … CK; AG = … GM; GK = … CG; AM = … AG; AM = … GM
Giải
GK = {CK; AG = 2 GM; GK = CG; AM = AG; AM = 3 GM
- Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Giải
n
.
.
.
В
Giả sử AABC có hai đường trung tuyến BD và CE bằng nhau. Gọi I là giao điểm BD và CE, ta có:
BI = BD (tính chất đường trung tuyến) (1)
IN WIN
(2)
CI = 3CE (tính chất đường trung tuyến) Từ (1), (2) và giả thiết BD = CE suy ra: BI = CI Suy ra: BI + ID = CI + IE – ID = IE
Xét A BIE và ACID, ta có:
BI = CI (chứng minh trên)
BIE = CID (đối đỉnh)
| IE = ID (chứng minh trên) Suy ra: ABIE = ACID (c.g.c) . Suy ra: BE = CD (hai cạnh tương ứng) Lại có: BE = AB (vì E trung điểm AB)
(3) (4)
| CD = AC (vì D trung điểm AB)
(5)
:
A
.
Từ (3), (4) và (5) suy ra: AB = CD. Vậy tam giác ABC cân tại A.
- Tam giác ABC cân tại A có AB = CD = 34cm, BC = 32cm. Kẻ đường trung tuyến AM.
- Chứng minh rằng AMIBC. b. Tính độ dài AM
Giải a. Xét AAMB và AAMC, ta có:
AM = AC (gt) BM = CM (gt)
AM cạnh chung Suy ra: A AMB = A AMC (c.c.c) Suy ra: AMB = AMC (1) .BM Lại có: AMB + AMC = 180° (hai góc kề bù) (2) Từ (1) và (2) suy ra: AMB = AMC = 90° Vậy AM 1 BC. b. Tam giác AMB có AMB = 90°. Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông AMB, ta có: ABP = AM2 + BMP = AM = AB? – BM” = 342 – 162
= 1156 – 256 = 900 Suy ra: AM = 30 (cm).
- Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Vẽ điểm D sao cho G là trung điểm của AD. Chứng minh rằng:
- Các cạnh của tam giác BGD bằng ở các đường trung tuyến của tam giác ABC.
| b. Các đường trung tuyến của tam giác BGD bằng một nửa các. cạnh của tam giác ABC.
Giải a. Gọi AM, BN, CP lần lượt là các đường trung tuyến của AABC. Các đường trung tuyến cắt nhau tại G. Ta có: AG = GD (gt)
AG = 2GM (tính chất đường trung tuyến) Suy ra: GD = 2GM Mà GD = GM + MD = GM = MD Xét ABMD và ACMG, ta có:
BM = CM (gt) BMD = CMG (đối đỉnh)
MD = GM (chứng minh trên) = Suy ra: ABMD = ACMG (c.g.c).
BD = CG (hai cạnh tương ứng) Mặt khác: CG = CP (tính chất đường trung tuyến) Suy ra: BD = CP
(1) . . .
Ε
.——
……….
!
.
WIN WIN
Lại có: BG = BN (tính chất đường trung tuyến) (2) Và AG = AM (tính chất đường trung tuyến) Suy ra: GD = AM
a:
.
: (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra các cạnh của tam giác BGD bằng 4 = các
ra
đường trung tuyến của tam giác ABC.
- Ta có: GM = MD (chứng minh trên) Suy ra BM là đường trung tuyến của tam giác BGD.
Suy ra: BM = BC
(4) . Kẻ đường trung tuyến GE và DF của tam giác BGD, ta có:
FG = BG (tính chất đường trung tuyến)
GN = BG (tính chất đường trung tuyến) Suy ra: FG = GN Xét ADFG và AANG, ta có:
AG = GD (gt) DGF = AGN (đối đỉnh)
GF = GN (chứng minh trên) Suy ra: ADFG = AANG (c.g.c) – DF = AN Mà AN = – AC (gt)
Suy ra: DF = AC • Mặt khác: BD = CG (chứng minh trên)
ED = BD (vì E là trung điểm BD)
…–
–
(5).
.
–
-.
GP = 9cG (tính chất đường trung tuyến) Suy ra: ED = GP Lại có: ABMD = ACMG (chứng minh trên) > BDM = CGM hay EDG = CGM
CGM = PGA (đối đỉnh) Suy ra: EDG = PGA
AG = GD (gt) Suy ra: APGA = AEDG (c.g.c) = GE = AP mà AP
(6)
Do đó: GE = AB
Từ (4), (5) và (6) suy ra các đường trung tuyến của ABGD bằng một nửa cạnh của AABC.
A
D
- Tam giác ABC có BC = 10cm, các đường trung tuyến BD và CE. Chứng minh rằng BD + CE> 15cm.
Giải Gọi G là giao điểm của BD và CE. Trong 4GBC, ta có: GB + GC > BC (bất đẳng thức tam giác). GB = ^BD (tính chất đường trung tuyến)
А
GC = = CE (tính chất đường trung tuyến) Mà BC = 10 cm (gt) Suy ra: ?(BD + CE) > 10 hay BD + CE > 10: 7 = 10.3 = 15 Vậy BD + CE > 15 (cm).
- Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BA. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE C. Gọi K là giao điểm của AB và CD. Chứng minh rằng DK = KC.
Giải Trong AACD ta có:
CB là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh C Mặt khác:
E = BC và BE = BC (gt) Nên: CE = ^CB Suy ra: E là trọng tâm của AACD. D . Vì AK đi qua E nên AK là đường trung tuyến của AACD Suy ra K là trung điểm của CD. Vậy KD = KC.
- Theo kết quả của bài 64 chương II, sách Bài tập Toán 7 tập một ta có: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của một tam giác thì | song song với canh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Vận dụng kết quả trên để giải bài toán sau: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD. Kẻ đường trung tuyến BE cắt AD ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GA, GB. Chứng minh rằng:
- IK // DE, IK = DE : : b. AG –
Giải . a. Áp dụng kết quả bài 64 chương II sách Bài tập toán 7 vào AABC và AAGB, ta có:
DE || AB và DE = AB (1) /
A
IK II AB và IK = + ABS
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
: B DE // IK và DE = IK. b. Vì AD và BE là 2 đường trung tuyến của AABC cắt nhau tại G nên theo tính chất đường trung tuyến, ta có: AG = AD.
- Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.
- Tính số đo góc ABD. b. Chứng minh: A ABC = ABAD. c. So sánh độ dài AM và BC.
Giải a. Xét CAMC và ABMD, ta có:
BM = MC (gt) AMB = BMC (đối đỉnh)
AM = MD (gt) Suy ra: AAMC = ADMB (cg.c) = MAC = D (2 góc tương ứng Suy ra: AC // BD (vì có 2 góc ở vị trí so le trong bằng nhau) Mà AB + AC (gt) nên AB 1 BD. Vậy ABD = 90°.
- Xét AABC và ABAD, ta có:
AB cạnh chung BAC = ABD = 90°
AC = BD (vì AAMC = AD Suy ra: AABC = ABAD (c.g.c) c. Ta có: AABC = ABAD = BC = AD (2 cạnh tương ứng) Mặt khác: AM = AD.
Vậy AM = BC. | 39. Tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC. Chứng minh rằng BAC = 90°
Giải
BLt\M + Sc
Vì AM là đường trung tuyến của AABC nên BM = MC
Mà AM = BC (gt) nên: AM = BM = MC. Tam giác AMB có AM = MB nên AAMB cân tại M. Suy ra: B = Âu (tính chất tam giác cân)
. (1) Tam giác AMC có AM = MC nên AAMC cân tại M. Suy ra: C = A2 (tính chất tam giác cân) Từ (1) và (2) suy ra: B + C = A + A = BAC .: (3) Trong AABC ta có: LB + C + BAC = 180° (tổng ba góc trong tam giác) (4) Từ (3) và (4) suy ra: BAC + BAC = 180° 8 2 BAC = 180° Hay BAC = 90°. Vậy AABC vuông tại A.