KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Vẽ tam giác biết một cạnh và hai góc kề Bài toán Vẽ tam giác ABC biết BC = 4cm, B = 60°, C = 40°. GIẢI – Vẽ đoạn thẳng BC = 4cm. – Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ

BC, vẽ các tia Bx và Cy sao cho CBX = 60°, BCy = 40°. Hai tia này cắt nhau tại A, ta được tam giác ABC thỏa mãn bài toán. B

4cm 2 | Trường hợp bằng nhau góc – cạnh góc

Ta thừa nhận tính chất cơ bản sau:

600

Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng nột cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

C

B

| B = ß GT BC = B’C’

Ĉ – o KL | JABC = JA’B’C’ BA 3. Hệ quả

Hệ quả 1: Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

GT

Tam giác ABC có A = 90) Tam giác ABC có A = 90° AB = A’B’ B = B’

KL

JABC = JA’B’C’

Hệ quả 2: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Tam giác ABC có A = 90° Tam giác ABC có A’ = 90°

BC = BC và AC = A’C KL | AABC – JA’B’C’

BÀI TẬP

tu

Bài 33/123. Vẽ tam giác ABC biết AC = 2cm, A = 90°, C = 60°.

GIẢI

В. – Vẽ góc vuông xay, trên tia Ay lấy AC = 2cm.

Vẽ tia Ct hợp với tia CA một góc 60° cắt tia | Ax tại B. ABC là tam giác phải vẽ thỏa mãn bài toán. b

A

60 X 2cm C

y

Bài 34/123. Trên mỗi hình 98, 99 có các tam giác nào bằng nhau ? Vì sao ?

mm B

Hình 98

Hình 99

GIẢI Hình 98. AABC = 2ABD (g.c.g), do có :

BAC = BAD = n , AB chung, ABC = ABD = m Hình 99. Ta có ABC = ACB (gt)

= ABD = ACE (cùng bù với hai góc bằng nhau) * 4ABD = AACE do có ABD = ACE (cmt)

DB = CE (gt)

Ô = Ê (gt) * AACD = AABE do có ACD = ABE (gt)

DC = BE (vì DB + BC = CE + BC) Ô = Ê (gt)

Bài 3/123. Cho góc xOy khác góc bẹt, Ot là tia phân giác của góc đó. Qua

điểm H thuộc tia Ot, kẻ đường vuông góc với Ot, nó cắt Ox và Oy

theo thứ tự ở A và B. a) Chứng minh rằng OA = OB. b) Lấy điểm C thuộc tia Ot, chứng minh rằng CA = CB và OAC = OBC.

GIẢI a) Chứng minh OA = OB (H.a) Vì ABI Ot tại H nên OHA = OHB = 90°

06 Hai tam giác vuông OHA và OHB có BAOH = BOH (do Ot là tia phân giác) OH cạnh chung

Hình a > AOHA = AOHB (g.c.g)

>> OA = OB (dpcm) b) Chứng minh CA = CB (H.b) Hai tam giác OAC và OBC có : OA = OB (cmt)

Hình b 124

–

А

AOC = BỌC (Ot là tia phân giác)

OC cạnh chung Do đó AOAC = AOBC (c.g.c) – CA = CB và OAC = OBC (đpcm)

LUYỆN TẬP 1

Bài 36/123. Trên hình 100 ta có OA = OB, OAC = OBD.

B Chứng minh rằng AC = BD.

Hình 100

GIẢI Tam giác OAC và OBD có :

ô chung (gt) OA = OB (gt)} = AOAC = AOBD (g.c.g)

 = Ê (gt)) Suy ra AC = BD (dpcm)

Bài 37/123. Trên mỗi hình 101, 102, 103 có các tam giác nào bằng nhau ? Vì sao ?

G_30°

800

400

380°

3

3

800

400

600

3 309

Ooo

Hình 101 Hình 102

Hình 103 Lưu ý. Trong một bài toán, khi không ghi đơn vị độ dài, ta qui định rằng các độ dài có cùng đơn vị.

GIẢI • Hình 101. Hai tam giác ABC và FDE có :

B = b = 80° BC = DF = 3

Ĉ = Ê = 40° Ê = 180° – (80° + 60°) = 4007

Do đó AABC = AFDE (g.c.g) • Hình 102. Hai tam giác HGI và KLM có :

Ĝ = M GI = LM = 3

I + Î [vì Î = 80° ; Î = 180° – (80° + 30°) = 70°]

Do đó AHGI = AKLM • Hình 103. Hai tam giác NRP và RNQ có :

PNR = QRN = 40° NR cạnh chung PRN = QNR

[vì cùng bằng 180° – (60° + 40°) = 80°1

Do đó CNRP = ARNQ (g.c.g) Bài 38/124. Trên hình 104 ta có AB // CD,

AC / BD. Hãy chứng minh rằng AB = CD, AC = BD.

Hình 104

GIẢI Hai tam giác ABD và DCA có :

A = D (so le trong) AD cạnh chung | D2 = A2 (so le trong) Do đó AABD = ADCA (g.c.g) Suy ra AB = CD và AC = BD (đpcm)

CW

LUYỆN TẬP 2

Bài 39/124. Trên mỗi hình 105, 106, 107, 108 có các tam giác vuông nào bằng

nhau ? Vì sao ?

E

K Hình 106

Hình 105

SH

Hình 107

Hình 108

GIẢI

Hình 105. Hai tam giác vuông AHB và AHC có :

AH cạnh chung – AAHB = AAHC (c.g.c) HB = HC (gt) ]

Hình 106. Hai tam giác vuông DKE và DKF có :

EDK = FDK (gt) DK cạnh chung } = ADKE = ADKF (g.c.g) DKE = DKF = 90°)

Hình 107. Hai tam giác vuông ABD và ACD có : AD cạnh huyền chung

} = AABD = AACD (ch.gn) BAD – CAD (gt) Hai tam giác vuông ABD và ACD có AD cạnh huyền chung

→ 44BD = AACD (ch.gn) BAD = CAD (gt)

* Hai tam giác vuông ABH và ACE có :

BAC góc chung AB = AC (do AABD = AACD)

B = @ = 90° > SABH = AACE (g.c.g) * Hai tam giác vuông DBE và DCH có :

B = Ĉ = 90° DB = DC (do AABD = AACD)

BD = CDH (hai góc đối chính) > ADBE = ADCH (g.c.g)

Bài 40/124. Cho tam giác ABC (AB +AC), tia Ax đi qua trung điểm M của BC. Kẻ BE và CF vuông góc với Ax (E, FE Ax). So sánh các độ dài BE và CF.

GIẢI Hai tam giác vuông MEB và MFC có :

MB = MC (gt)

EMB = FMC (hai góc đối đỉnh) Do đó AMEB = AMFC (ch-gn) > BE = CF (dpcm)

L

Bài 41/124. Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt

nhau tại I. Vẽ ID 1 AB (D E AB), IE 1 BC (E + BC), IFI AC (F < AC). Chứng minh rằng ID = IE = IF.

GIẢI Hai tam giác vuông BDI (D = 90° ) và BEI (P = 90° ) có :

BI cạnh huyền chung

Bi = B2 (gt) Do đó ABDI = ABEI (ch-gn) = ID = IE (1) Tương tự ta có ACEI = ACFI (ch-gn) > IE = IF

(2) BE Từ (1) và (2) ta có ID = IE = IF (đpcm)

H

Bài 42/124. Cho tam giác ABC có A = 90°

(1.109). Kẻ AH vuông góc với BC (H & BC). Các tam giác AHC và BẠC có AC là cạnh chung, C là góc chung, AHC = BAC = 90°, nhưng hai tam giác đó không bằng nhau.

B

Hình 109 Tại sao ở đây không thể áp dụng trường hợp góc – cạnh – góc để kết luận AAHC = ABAC ?

GIẢI Xét tam giác AHC có AHC = 90° và C kề với cạnh HC (g.c.g) Xét tam giác BAC có BAC = 90° và C kề với cạnh AC (g.c.g) Trong tam giác AHC có HC không bằng AC Do đó ta không thể áp dụng trường hợp góc – cạnh – góc để kết luận AAHC = ABAC.

LUYỆN TẬP VỀ BA TRƯỜNG HỢP

BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC

Bài 43/125. Cho góc xOy khác góc bẹt. Lấy các điểm A, B thuộc tia Ox sao

cho OA = OB. Lấy các điểm C, D thuộc tia Oy sao cho OC = OA,

OD = OB. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: a) AD = BC ; b) SEAB = AECD; c) OE là tia phân giác của góc xOy.

Ꭹ

GIẢI a) Chứng minh AD = BC Hai tam giác OAD và OCB có :

OA = OC (gt)

ô chung OD = OB (gt)

Ꭰ Do đó AOAD = AOCB (c.g.c)

Suy ra AD = CB (đpcm) b) Chứng minh AEAB = AECD

AOAD = AOCB (cmt) = B = D (1) Ta có Ê = R2 (đối đỉnh) B + = + z = 180° -(B + R) = 180° (D + Ê2) (2)

Ã

Č Cina OB = ODL Còn có ) 0} = OB – OA = OD -OC

(3) OA = OC AB co Tóm lại hai tam giác EAB và ECD có : B = D (1) AB = CD (3)} = AEAB = AECD (g.c.g) (dpcm)

Âu = Ĉi (2) c) OE là tia phân giác của góc xOy Hai tam giác OAE và OCE có ( OA = OC (gt)

EA = EC (do AEAB = AECD)

( OE cạnh chung Do đó AOAE = AOCE (c.c.c)

Suy ra AOE = COE. Mà OE nằm giữa OA và OC

Vậy OE là tia phân giác của góc xOy. Bài 44/125. Cho tam giác ABC có B = C. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D.

Chứng minh rằng: a) ΔADB = ΔΑDC b) AB = AC

GIẢI a) Chứng minh AADB = AADC

Ta có AD là phân giác của BAC nên đi = A2 (1) – Â1 +ß = Â2 + Ĉ (vì B = Ĉ). = 180° – Â1 + B) = 180° – (A2 + Ĉ)

tdoo

Âu = A2 (1) Tóm lại ta có AD cạnh chung

| DI = Da (2)

AADB = AADC (g.c.g) (dpcm) b) Chứng minh AB = AC

Ta có AADB = AADC (cmt) = AB = AC (đpcm)

Hình 110

Bài 45/125. Đô. Cho bốn đoạn

thẳng AB, BC, CD, DA trên giấy kẻ ô vuông như hình 110. Hãy dùng lập luận để giải thích: a) AB = CD, BC = AD. b) AB // CD.

GIẢI a) Chứng minh AB = CD

Hai tam giác vuông AMB và CPD có AM = CP = 3) M = P = 90° F = AAMB = ACPD (c.g.c) MB = PD = 11

MB

= AB = CD (dpcm) (1) Tương tự ABNC = ADQA (c.g.c)

BC = AD (dpcm) (2) b) Chứng minh AB // CD

Hai tam giác ABD và CDB có BD cạnh chung AB = CD (1) } = AABD = ACDB (C.C.C) = ABD = CDB AD = BC (2)

Hai góc này ở vị trí so le trong và bằng nhau nên AB // CD (đpcm)