51. Cho tam giác ABC. a. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho

AM -=á, tìm trên AC điểm N

2 AN _2

.

AHM

MB

sao cho NC 3

1. Vẽ đoạn thẳng MN. Hỏi rằng hai đường thẳng MN và BC có song song với nhau không? Vì sao?
2. Cho biết chu vi và diện tích của tam giác ABC thứ tự là P và S. Tính chu vi và diện tích tam giác AMN.

Giải a. * Cách vẽ: – Kẻ tia Ax bất kì khác tia AB, AC. – Trên tia Ax, lấy hai điểm E và F sao cho AE = 2 (đvd), EF = 3 (đvd)

– Kẻ đường thẳng FB.

– Từ E kẻ đường thẳng song song với FB cắt AB tại M. – Kẻ đường thẳng FC. – Từ E kẻ đường thẳng song song với FC cắt AC tại N. Ta có M, N là hai điểm cần vẽ. * Chứng minh: Trong AAFB, ta có: EM | FB. Theo định lí Ta-lét, ta có:

AM AE 2

MB EF = 3 Trong AAFC, ta có: EN || FC. Theo định lí Ta-lét, ta có:

AN AE 2

NC EF = 3 Vậy M, N là hai điểm cần tìm. b. Trong AABC, ta có: AM – AN 2

** MB NC 3 Suy ra: MN // BC (Theo định lí đảo của định lí Ta-lét). c. Gọi A và B là chu vi và diện tích của AAMN. Trong AABC, ta có: MN // BC Suy ra: AAMN đồng dạng AABC. Theo tính chất hai tam giác đồng dạng ta có:

p’ 2

to wory

2

*

p

=

P

52. Tứ giác ABCD có hai góc vuông tại đỉnh A và C, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại 0, BAO= BDC. Chứng minh:
53. AABO đồng dạng ADCO b. ABOC đồng dạng AADO.

Giải a. Xét AABO và ADC0, ta có: BAO = BDC (gt).

B hay BAO = ODC

ÁOB = DOC (đối đỉnh). Vậy AABO đồng dạng ADCO (g.g)

(1)

..

1. Vì AABO đồng dạng ADCO nên: … Ŝi = Ĉi

Mà Ĉu +Ć, = BCD = 90° (2) Trong AABD, ta có: A = 90° Suy ra: BI +D = 90° (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: C = D

. Xét ABCO và AADO, ta có:

ứng minh trên) | BOC = AOD (đối đỉnh) Vậy ABỌC đồng dạng AADO (g.g).

53. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a = 12cm, BC = b = 9cm. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD.
54. Chứng minh AAHB đồng dạng ABCD b. Tính độ dài đoạn thẳng AH c. Tính diện tích tam giác AHB.

Giải a. Xét AAHB và ABCD, ta có: AHB = BCD = 90°

12 AB // CD (gt)

ABH = BDC (so le trong) Vậy A AHB đồng dạng ABCD (g.g) b. Vì A AHB đồng dạng ABCD nên: . АН АВ

BC BD

Suy ra: AH = AB.BC

BD

ụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BCD, ta có: BD? = BC? + CD? = BC? + AB2

= 122 + 92 = 225 Suy ra: BD = 15 (cm)

.

.

.

.

cm).

15

Vậy AH = 12.9 = 7,2 (em). c. Vì AAHB đồng dạng ABCD nên k=1

AH

7,2

= 0,8

AHB

AHB

D

HB

Ta có: S =k^ = (0,8 = 0,64 = AH =0,64Saco

Sep =– BC.CD = -12.9 = 54 (), Vậy SHB = 0,64.SBCD =0,64.54 =34,56 (cm*).

54. Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại 0, ABD = ACD. Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Chứng minh rằng:
55. AAOB đồng dạng ADOC. b. AAOD đồng dạng ABOC. c. EA.ED. = EB.EC.

Giải a. Xét AAOB và ADOC, ta có:

ABD = ACD (gt) Hay ABO = OCD

AOB = DỌC (đối đỉnh) Vậy AAOB đồng dạng ADOC (g.g) b. Vì AAOB đồng dạng ADỌC nên:

AO OB AO DO

Dо осов ос Xét AAOD và ABOC, ta có:

AO DO ОВОС

AOD = BỌC (đối đỉnh) Vậy AAOD đồng dạng ABỌC (c.g.c) c. Vì AOD đồng dạng ABOC nên: ADO = BCO hay EDB = ECA Xét AEDB và AECA, ta có:

E chung

EDB = ECA (chứng minh trên) Vậy AEDB đồng dạng AECA (Kg)

… ED – EB – EDEA = EC.EB

-=

–

=

–

=

Suy ra: ECEA

55. Tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Chứng minh rằng AHDH = BH.EH = CH.FH.

Giải Xét AAFH và ACDH, ta có:

AFH=CDH = 90°

AHF=CH2 (đối đỉnh) Suy ra: AAFH đồng dạng ACDH (g.g)

AH FH Suy ra:

CH DH Suy ra: AH.DH = CH.FH (1) Xét A AEH và ABDH, ta có:

AEH=BDH = 90° LAHE = BHD (đối đỉnh). Suy ra: A AEH đồng dạng ABDH (g.g)

AH EH

в

—

Suy ra: BH

DH

(2

Suy ra: AH.DH = BH.EH Từ (1) và (2) suy ra: AH.DH = BH.EH = CH.FH.

56. Hai điểm M và K thứ tự nằm trên cạnh AB và BC của tam giác ABC; hai đoạn thẳng AK và CM cắt nhau tại P.

| Biết AP = 2PK và CP = 2PM. Chứng minh rằng AK và CM là các . trung tuyến của tam giác ABC.

. Giải . . A Xét APAC và A PKM, ta có: .

PK 1 PM 1

PA2 PC 2 Suy ra: PK _PM_1

Tai PA PC 2 Lại có: APC = KPM (đối đỉnh) – Suy ra: APKM đồng dạng APAC (cgc) với tỉ số đồng dạng k = 3

2

:

B

Suy ra: KM 1

.

(1)

..

.

Vì APKM đồng dạng APAC nên PKM =PAC Suy ra: KM // AC (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Trong AABC, ta có: KM || AC

Suy ra: A BMK đồng dạng ABAC (g.g) Suy ra: BA

= (2) BA BC AC

BM BK MK

–

DMA

Từ (1) và (2) suy ra: BM = BA=!

BA

BC

2

.

.

.

.

.

.

Vì BM = BA nên M là trung điểm AB.

Vì BK = BC nên K là trung điểm BC. Vậy AK và CM là đường trung tuyến của tam giác ABC.

67. Cho hình bình hành ABCD. Từ A kẻ AM vuông góc với BC, AN vuông góc với CD (M thuộc BC và N thuộc CD). Chứng minh rằng tam giác MAN đồng dạng với tam giác ABC.

Giải * Trường hợp góc B nhọn: Xét AAMB và AAND, ta có:

AMB = AND = 90°

B =D (t/chất hình bình hành) PA AMB đồng dạng CAND (g.g).

AM AB AM AN Suy ra:

. AN AD AB AD D Mà AD = BC (t/chất hình bình hành)

Suy ra: AMAN

*** AB BC Lại có: AB // CD (gt)

ANI CD (gt) Suy ra: AN I AB hay NAB = 90° Suy ra: NAM + MAB = 90° Trong tam giác vuông AMB ta có: ABM = 90° Suy ra: MAB+ B = 90° Từ (1) và (2) suy ra: NAM =B Xét AABC và AMAN, ta có: AM_AN

Archứng minh trên) AB BC

NAM =B (chứng minh trên) | Vậy AABC đồng dạng AMAN (c.g.c)

OM

* Trường hợp góc B tù: Xét A AMB và A AND, ta có:

AMB = AND = 90°

ABM = ADN (vì cùng bằng C) BAAMB đồng dạng CAND (g.g)

AM AB – AM AN Suy ra:

AN AD AB AD Mà AD = BC (t/chất hình bình hành) . N D.

AM AN Suy ra: –

AB BC Vì AB // CD nên ABC+c=180° – . (3) Tứ giác AMCN có AMC = AND = 90° Suy ra: MAN+C=180° Từ (3) và (4) suy ra: MAN + ABC Xét A AMN và AABC, ta có:

AM LAN (chứng minh trên) AB BC

MAN = ABC (chứng minh trên) Vậy A MAN đồng dạng AABC (c.g.c)

58. Giả sử AC là đường chéo lớn của hình bình hành ABCD. Từ C, vẽ đường thẳng vuông góc CE với đường thẳng AB, đường vuông góc CF với đường thẳng AD (E, F thuộc phân kéo dài của các cạnh AB và AD). Chứng minh rằng: AB.AE + AD.AF = AC”.

Giải Dựng BG 1 AC. Xét ABGA và ACEA, ta có:

BGA=CEA = 90° A chung ABGA đồng dạng ACEA (g.g)

AB AG

Suy ra: A

AE

> AB.AE = AC.AG (1) Xét ABGC và ACFA, ta có:

BGC =CFA = 90°

BCG =CAF (so le trong và AD || BC)

Suy ra: AF

AC

>ABGC đồng dạng ACFA (g.g)

= BC.AF = AC.CG 4. CGBC Mà BC = AD (tính chất hình bình hành) Suy ra: AD.AF = AC.CG (2) Cộng từng vế đẳng thức (1) và (2) ta có:

AB.AE + AD.AF = AC.AG + AC.CG

AB.AE + AD.AF = AC(AG + CG). Mà AG + CG = AC nên AB.AE + AD.AF = AC.

59. Tam giác ABC có hai đường cao là AD và BE (D thuộc BC và E thuộc AC). Chứng minh hai tam giác DEC và ABC là hai tam giác đồng dạng. .

. . Giải AADC và ABEC, ta có: ADC = BEC = 90°

& chung Suy ra: AADC đồng dạng ABEC (g.g)

… AC_DC _ ECDC Pu ra BC ECBC AC Xét APEC và AABC, ta có: EC_DC

D BC AC

C chung Vậy ADEC đồng dạng AABC (c.g.c) | 60. Tam giác ABC có hai đường trung tuyến AK và CL cắt nhau tại O. Từ điểm P bất kì trên cạnh AC, vẽ các đường thẳng PE song song với AK, PF song song với CL (E thuộc BC, F thuộc AB). Các trung tuyến AK, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng các đoạn thẳng FM, MN, NE bằng nhau…

Giải Gọi Q là giao điểm của PF và AK, I là giao điểm của PE và CL. Trong AFBE, ta có: PE // AK hay QM // PE

FQ FM Suy ra: 4 = (định lí Ta-lét)

(1) FB FE Trong AALO, ta có: PF || CL hay FQ || LO

(2)

1

Suy ra: A2 =(định lí Ta-lét) Suy ra: ALLO Trong AALC ta có: PF || CL

AF FP Suy ra: –

(định lí Ta-lét). AL CL

.

Ta

–

1 =

3

FM=- FE

3.

Tu (2) va (3) suy ra: Po vam se VÀ LO-CL (tính chất đường trung tuyến) nên E

FM Từ (1) và (4) suy ra: –

FE Trong A EBF, ta có: PF // CL hay NI // PF Suy ra: Et định lí Ta-lét) Trong ACKO, ta có: EI || OK Suy ra: CE (định 11 Ta-lét) Trong ACKA, ta có: PE || AK Suy ra: chi định lí Ta-lét)

EP

EF

.

CK KO

(6)

СЕ

ЕР

ra:

|

EI EP EI OK Từ (6) và (7) suy ra: .

OK AKEP AK

EI

1

.

.

. Vi

(=AK (tính chất đường trung tuyến) nên

EP

3

EN

1

EF

3

Từ (5) và (8) suy ra: – Ta có: MN = EF – (EN + FM) = EF-(_EF + EF = – EF Vậy EN = MN = NF.