71. Cho các bất đẳng thức:

ức: . . . a> b; a < b; c > 0; c < 0; a + c < b + c; a + c > b + c; ac < bc; ac > be

Hãy điền các bất đẳng thức thích hợp vào chỗ trống (…) trong câu sau: Nếu ………… và …………… thì

…………………. thì …………..

Giải Nếu a > b và c > 0 thì ac > bc Nếu a > b và c > 0 thì a + c > b + c Nếu a > b và c < 0 thì a + c > b + c Nếu a > b và c < 0 thì ac < bc . Nếu a < b và c > 0 thì ac < bc Nếu a < b và c > 0 thì a + c < b + c Nếu a < b và c < 0 thì ac > bc

Nếu a < b và c < 0 thì a + c < b + c | 72. Cho a > b, chứng tỏ: a. 3a + 5 > 3b + 2

2 – 4a < 3 – 4b

(2)

. Giải a. Ta có: a > b $ 3a > 3b 3a + 5 > 3b + 5 (1) Mặt khác: 3b + 5 > 3b + 2 Từ (1) và (2) suy ra: 3a + 5 > 3b + 2. b. Ta có: a > b -4a <-4b 3 – 4a < 3 – 4b (1) Mặt khác: 2 – 42 – 3 – 4a

. Từ (1) và (2) suy ra: 2 – 4a < 3 – 4b.

73. a. Chứng tỏ 2,99 là nghiệm của bất phương trình 3 > x. Hãy kể ra bốn số lớn hơn 2,99 là nghiệm của bất phương trình đó.
74. Chứng tỏ 4,01 là nghiệm của bất phương trình 4 < x. Hãy kể ra ba số nhỏ hơn 4,01 là nghiệm của bất phương trình đó.

Giải a. Ta có 2,99 là nghiệm của bất phương trình x < 3. Bốn số lớn hơn 2,99 là nghiệm của bất phương trình là: 2,999; 2,998; 2,997; 2,996. + b. Ta có 4,01 là nghiệm của bất phương trình x > 4. Ba số nhỏ hơn 4,01 là nghiệm của bất phương trình là: 4,003; 4,002; 4,001, | 74. Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm của chúng trên trục số. . a. 2(3x – 1) – 2x < 2x + 1 b. 4x – 8 2 3(3x – 2) + 4 – 2x

Giải a. Ta có: 2(3x – 1) = 2x < 2x + 1 + 6x – 2 – 2x < 2x – 1 . : 6x – 2x – 2x < -1 + 2 2x <10

1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 4x|x <3}.

X

,

,

1. Ta có: 4x – 8 2 3(3x – 2) + 4 – 2x

, , 4x – 8 2 9x – 6+4 – 2x 4x – 9x + 2x > – 6 + 4 + 8

-3x 26 xs-2. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x|x <-2}.

-2

75. Giải các bất phương trình:

38 -7 a. 2x +1,4<

1+ 2x

2x-1

1. 2x+1,4<3452
2. 1+l2x > 24-1-2
3. 1 +

– 2

3

Giải

3

6 6

5. Ta có: 2x +1,4 3x -7 > 5.(2x +1,4)<3 <?.5 > 10x+7<3x–7′
6. 10x – 3x <-7-

7 7x<-14 X<-2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x x <-2}.

1. Ta có: 1+1+2x-2-1-2 . :

06+1+28.6> 2x -1.6-2.62 6+2+4x > 2x-1-12

6+

4x – 2x >-1-12-6-2 2x >-210 x>-10,5 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x|x > -10,5}.

76. Một người đi bộ quãng đường dài 18km trong khoảng thời gian không nhiều hơn 4 giờ. Lúc đầu người đó đi với vận tốc 5km/h, về sau đi với vận tốc 4km/h. Xác định độ dài đoạn đường mà người đó đã đi với vận tốc 5km/h.

| Giải Gọi x (km) là đoạn đường người đó đi với vận tốc 5km/h. ĐK: x < 18. Khi đó đoạn đường người đó đi vận tốc 4km/h là 18 – x(km). Thời gian đi với vận tốc 5km/h là “ giờ

18-X giờ.

Thời gian đi với vận tốc 4km/h là : Vì thời gian đi hết đoạn đường không quá 4 giờ nên ta có bất

X 18-X phương trình: *4*3* <4

5 4

X 18-X Ta có: X+

°*.20 < 4.20 4x +90 – 5x 580

18-X

20+

–

4x – 5x = 80-90 -x 5-10×210 Vậy đoạn đường đi với vận tốc 5km/h ít nhất là 10 km

77. Giải các phương trình: a. [2x] = 3x – 2 -2 .

. b. 1-3, 5x = 1,5x +5 c. (x +151 = 3x – 1

1. 12-x} = 0,5x – 4 Giải . .

. a. Ta có: 2x = 2x khi 2x 208×20

2x = -2x khi 2x < 02x < 0 Ta có: 2x = 3x – 2e 2x – 3x = -2 + x = 2 | Giá trị x = 2 thỏa mãn điều kiện x>0 nên 2 là nghiệm của phương trình.

-2x = 3x -2 0-2x – 3x = -20%=> Giá trị x = không thỏa mãn điều kiện x<0 nên loại. Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}. b. Ta có: -3,5x = -3,5 khi -3,5x 202x <0

-3,5x = 3,5x khi -3, 5x < 02x > 0 Ta có: -3,5x = 1, 5x +5 = -3,5x -1,5x =58-5x = 5 + x =-1 .

Giá trị x =-1 thỏa mãn điều kiện x 50 nên -1 là nghiệm của phương trình.

3,5x = 1,5x +5 3,5x – 1,5x = 5 2x = 5 x = 2,5 Giá trị x = 2,5 thỏa mãn điều kiện x > 0 nên 2,5 là nghiệm của phương trình.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-1; 2,5}. c. Ta có: x + 15 = x +15 khi x +1520=12-15

|x +15| =-x-15 khi x +15 <0>x < -15 Ta có: x + 15 = 3x – 1 = x – 3x =-1-15 = -2x=-16 = x = 8

Giá trị x = 8 thỏa mãn điều kiện x 2-15 nên 8 là nghiệm của phương trình.

-X-15 = 3x -1 0 -x -3x = -1+15 ° -4x = 14 X=-3,5 Giá trị x = -3,5 không thỏa mãn điều kiện x < -15 nên loại. | Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {8}

1. Ta có: 2–x|=2-x khi 2-x 204x

–2 khi 2-3 <0x > 2 Ta có: 2-x = 0,5x – 4e-x – 0,5x = -4-28-1,5x = -6ex = 4 | Giá trị x = 4 không thỏa mãn điều kiện x <2 nên loại.

X-2 = 0,5x -4 08-0,5x = -4+2 0,5x = -2 X=-4 Giá trị x =–4 không thỏa mãn điều kiện x > 2 nên loại. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Tập nghiệm là S =õ.

78. Chứng tỏ rằng, trong một tam giác độ dài một cạnh luôn nhỏ hơn nửa chu vi.

Giải | Gọi a, b, c lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác.

Chu vi tam giác là a + b + c. Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:

a +b +c . . a < b + a +a <a +b+

c 2a <a +b.+cs

Tương tự:

b<a + c

a+b+c

b

+b <a +b+c

2b <a +b+cob<

2

c<a + b

c+c<a+b+c

a+b+c 2c <a +b+cocca

.

.

.

2

Vậy trong một tam giác độ dài một cạnh luôn nhỏ hơn nửa chu vi. 79. Với số m và số n bất kì, chứng tỏ rằng: a. (m + 1)2 > 4m

1. m2 + n° + 2 > 2(m + n) .

Giải a. Ta có: (m – 1) 20

(m – 1)? +4m 24 m? – 2m +1+4m 2 4m.

m2 +2m +12 4m (m +1)? 2 4m b. Ta có: (m-1) 20 ; (n-1) 20

(m – 1)2 + (n − 1)2 20 m2 – 2m +1+n? – 2n +120 m’+n+222(m +n)

80. Cho a > 0 và b > 0, chứng tỏ rằng: (a

la b

Giải Ta có: (a – b)?>0+a+b^ – 2ab 20aa? +b^ – 2ab + 2ab22ab.

e a? + b^22ab Vì a>0, b>0 nên ab 20810

(a+b”.vatna Zabia 2202+*+22+2 *2**2401+2+0 24 – 2400(1+b+0(**) 24

a

b

.

+-32

A

2a b

2+-

+-> 2+2

ab

ab

ь

а

,

а

ь

+ 2+-+->4

нь а

1 . a b =1+1+-+->4

нь а

.

ь

а

а.

,

+b

–

*

> -+-+-+-> 40a

a bb a

– la

+ =

b)

AI

(a + b

24 .

.

-+- la b

m

81. Chứng tỏ diện tích của hình vuông có cạnh 10m không nhỏ hơn , diện tích hình chữ nhật có cùng chu vi.

Giải Chu vi hình chữ nhật là 4.10 = 40 (m) Gọi x (m) là chiều rộng hình chữ nhật. Điều kiện: x < 20. Khi đó chiều dài hình chữ nhật là 20 – x (m). Diện tích hình chữ nhật là x(20 – x) (m?). . . Ta có: (10 – x)^20 |

102 – 20x +x220 102 > 20x – x? 10° 2 x(20-x) Vậy diện tích hình vuông cạnh 10m không nhỏ hơn diện tích hình chữ nhật cùng chu vi..

82. Giải các bất phương trình: a. 3(x – 2)(x + 2) < 3×2 + x b. (x + 4)(5x – 1) > 5×2 + 16x + 2

į Giải a. Ta có: 3(x – 2)(x +2) < 3x + x

☆3(x2 – 4) < 3x + x 3×2 – 12 3×2 + x

3×2 – 3x? – x 512 -x 512 X2-12 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x|x > -12}.

1. Ta có: (x + 4)(5x – 1) > 5×2 + 16x + 2

5x? – xo + 20x -4>5x’ +16x + 2

5x– x2 + 20x – 5×2 -16x > 2+4 3x>66x>2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x|x >2}. 83. Giải các bất phương trình:

5×2 – 3x 3x +1 x(2x+1) 3 .5 4

2 b. 5x – 20_2x’+x, x(1 – 3x)_5x

4

Giải 5×2 – 3x 3x +1 X(2x +1) 3 a. Ta có: .

. 5 . . 4 2 2

–

+

.

2

5×2 – 3x

2X 20, 3x +1, x2,

-:20 – X(2x +

20

S 520+4 :202 220-2:20 © 20x’ – 12x +15x +5 <20x’ +10x – 30

20×2 – 12x +15x – 20×2 -10x<-30-50-7x<-35 x>5 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {xx > 5. – T. . 5x -20 2x + x =(1-3x) 5x

3. 2 3 4 o 5x – 20.12 – 2x* +X.122 X(1 – 3x) 12- 5x

32 2223 124 20x-80-12×2 – 6x > 48 – 12×2 –15x

20x – 12×2 – 6x – 4x +12×2 +15x > 80 25x > 80 x>3,2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x|x > 3,2}. 8

. Inn là 7x|x – 3,2}. .. 84. Với giá trị nào của x thì:

2x – 3 x(x-2) a. Giá trị của biểu thức :

không lớn hơn giá trị của

–

+

35

7

7

5

biểu thức * 2x-3.

1. Giá trị của biểu thức 6x +

*** không nhỏ hơn giá trị của

18

12

5x + 3

biểu thức

12- 5x +

6

Giải

2x-3 x(x – 2) a. Giá trị của biểu thức +^^.^2 không lớn hơn giá trị của

35 7 x? 2x – 3

2x -3 x (x – 2) 2x – 3 — – nghĩa là —-+:

5 .

biểu thức –

VI

5

35

7

Ta có: 3 xe, 2 * * *

– 2352 35+ X68,72) 355 35_287335

2x – 3+ 5×2 – 10x 5 5x- 14x + 21 © 2x + 5x’ – 10x – 5x’ +14x S 21+3 + 6x < 24×54 Vậy với x < 4 thì giá trị biểu thức 4x +***4) không lớn hơn

35

7

7

5.

a

giá trị của biểu thức * * .

1. Giá trị của biểu thức *** *** không nhỏ hơn giá trị của biểu thức 3 + 3 2% nghĩa là 6 l + 3x + 3 =

TA . 6x + x + 5x +3 12-5x

18 12 12- 5x

6x + X+3 5x + 3 – nghĩa là “- -+- -> 9

18 12

5x + 3 biểu thức —

6

12- 5x

t

6

–

+

– + – . 1812 6x +1.

-.36+ 18

12

12- 5x

-.364X+3

3

6

9

X+3.362 5x+3.36 + 12 – 58.36 12x + 2+ 3x +92 30x +18+48 – 20x

12x + 3x – 30x + 20x 2 18+48 – 2-9 5x 255 x211 Vậy với x 211 thì giá trị biểu thức :

x+3 không nhỏ hơn

–

+

18

18

12

h (x – 1)x < 0

.

5x + 3 12-5x giá trị của biểu thức

-+

69 85. Tìm x sao cho: a. -x? <0

. . . . . b. (x – 1)x < 0

| Giải a. Ta có: -x^ < 0 e x2> 0 Mọi giá trị x 40 đều là nghiệm của bất phương trình.

Tập hợp các giá trị của x là {x + R x # 0}.

1. Trường hợp 1: x – 1 > 0 và x < 0 Ta có: x – 1 > 0 = x > 1 và x < 0. Điều này không xảy ra: loại. | Trường hợp 2: x – 1 = 0 và x > 0 Ta có: x – 1 < 0 e x < 1 và x > 0. Suy ra: 0 < x < 1 Vậy tập hợp các giá trị của x là

“

.

86. Tìm x sao cho: a. x2 > 0

. b. (x – 2)(x – 5) > 0

Giải a. Với x?> 0 thì mọi x khác 0 đều thỏa mãn bài toán. Tập hợp các giá trị của x là {x + R x 40} .

1. Trường hợp 1: x – 2 > 0 và x – 5 > 0 | Ta có: x – 2 > 0 = x > 2

.X-5>0 x > 5 Suy ra: x > 5 | Trường hợp 2: x – 2 = 0 và x – 5 < 0 Ta có: x – 2 = 0 e x < 2

X – 5 <0 x < 5 Suy ra: x < 2 . Vậy với x > 5 hoặc x < 2 thì (x – 2)(x – 5) > 0. 87. Với giá trị nào của x thì: a. 220

1. ***<0

X-5

Giải a. Trường hợp 1: x – 2 > 0 và x – 3 > 0 Ta có: x – 2 > 0 e x > 2

X – 30 x > 3 Suy ra: x > 3 | Trường hợp 2: x – 2 = 0 và x – 3 < 0 Ta có: x – 2 < 0 2 x < 2

X-3 <0 x <3 Suy ra: x < 2. Vậy với x > 3 hoặc x < 2 thì ^ => 0.

X-3

X-2

–

X

-3

1. Trường hợp 1: x + 2 > 0 và x – 5 < 0 Ta có: x + 2 > 0 = x > -2

X-5<

0 x <5 Suy ra: -2 < x < 5

Trường hợp 2: x + 2 < 0 và x – 5 > 0 Ta có: x + 2 = 0 = x < -2

5

I

X – 5>

0

x

>5

Trường hợp trên không xảy ra.

Vậy với –2 < x < 5 thì ^_^

X + 2 X-5

<

0

88. Chứng tỏ các phương trình sau vô nghiệm: a. (2x + 3 = 2x +2
89. 5x – 3) = 5x -5

Giải a. Ta có: 2x + 3 = 2x +3 khi 2x +3>0x21,5

-2x -3 khi 2x +3 < 08 x < -1,5

Ta có: 2x + 3 = 2x + 2 = 0x =-1 Phương trình vô nghiệm.

-2x – 3 = 2x +20-2x – 2x = 2+3 .-4x = 5 x=-1,25 Giá trị x = -1, 25 không thỏa mãn điều kiện x < -1,5 nên loại. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. b. Ta có: 15x – 3 = 5x – 3 khi 5x – 3208 x 20,6

| 5x – 3 = 3-5x khi 5x -3 <0ex < 0,6 Ta có: 5x – 3 = 5x -5e 0x = -2 Phương trình vô nghiệm.

. 3-5x = 5x -5 -5x – 5x = -5-30-10x = -8 x=0,8

Giá trị x = 0,8 không thỏa mãn điều kiện x < 0,6 nên loại.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.