44. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi

E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A, B trên đường thẳng CD. Tia Al) cắt tia BC tại I. Biết rằng AE + BF = R 3

2

1. a) Tính số đo góc AIB. b) Trên cung nhỏ CD lấy điểm K. Gọi giao điểm của KA, AB với CD lấy | lượt là M, N. Tìm giá trị lớn nhất của MN khi K di động trên cung nhỏ CD.

Chỉ dẫn a) Kẻ OH 1 CD tại H thì H là trung

điểm của CD đồng thời là trung điểm của EF

AE + BF V3 Ta có: OH = 2

ED Suy ra AOCD đều cạnh bằng R và sđ CD = 60°

ATB – (AB – CD) = 60″. b) Ta có KMN – EMA = NBF

UND EM AE > JAEM INFB = =* = .

FB NF – EM.NF = AE.BF không đổi. Do EF không đổi MN có giá trị lớn nhất khi EM + NF nhỏ nhất. Do tích EM NF không đổi nên tông EM + NF nhỏ nhất khi

EM = NF = VAE.BF Khi đó MN x = EF – 2 AE.BF. 45. Cho đường tròn (O; R) và một điểm P cố định khác () {OP < R). Hai là

AB và CD thay đổi sao cho AB vuông góc với CD tại P. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC, AD. Các đường thẳng EP, FP cắt BD, BC lần lượt tại M, N. a) Chứng minh rằng bốn điểm M, N, B, P cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh rằng BID = 2EO. c) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của diện tích tứ giác A’B’).

Chỉ dẫn a) Ta có PN 1 BC vì FDP = FPB – NPC

FAP = PCN PNC – 180″ – (NPC + NCP) = 180″ – (FAP + FDP)

= 180o – 90o = 90″. Tương tự ta chứng minh được EM 1 DB – MPNB nội tiếp.

1. b) Vì E, F là trung điểm của AC, AD nên OE EA, OFI FA = OEAF nội tiếp > OFE = OAE = 90° – AOE

= 90° – PBC = BCD (1) Tương tự ta có: OEF = Bắc (2)

но 7м Từ (1) và (2) suy ra AOEF có ABDC – OE EF_1 BD – 250

BD DC 2 c) Kë OH I AB (H E AB), OK I CD (K CD)

Ta có AB = 2BH, CD = 2DK >> ABP = 4BH” = 4(OBP – OH2) = 4R” – 40H2

CD? = 4DK’ = 4(OD? – OK) = 4R” – 40K SacB= AB.CD = 2 VOR” – OH”)(R” – OK”)

= 2 VR? – R”(OH2 + OK?) + OHP.OK

= 2 VR’ – RTM.OP+ OH.OK (3) Vì R, OP không đổi nên SACBD nhỏ nhất khi OH = 0 hoặc OK = () Điều này chỉ xảy ra khi AB hoặc CD là đường kính của đường tròn Mặt khác OH.OK < 0

QUO OH2 + OK OP

DACBD =

ACBD

Từ (3) ta có SACBD = 2R O = 2R – OP

V2 SACBD đạt giá trị lớn nhất bằng 2R” – OP” khi OH = (OK nghĩa là

OHPK là hình vuông tức là AB = CD. 46. Cho C là một điểm nằm trên đoạn thẳng AB (C = A, C + B). Trên cùng

một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB ke hai tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm I khác A, tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt tia IK tại P. a) Chứng minh + Tứ giác CPKB nội tiếp được đường tròn. Xác định tâm và bán kính

của đường tròn đó. + AI.BK = AC.BC

+ 1APB vuông b) Cho A, B, I cố định. Tìm vị trí điểm C để diện tích tứ giác ABK đạt

giá trị lớn nhất.

Chỉ dẫn x a) + Có CPK + CBK = 90° + 90° = 180° |

– CPKB nội tiếp + Ta có AIC = BCK (cùng phụ ACI = AACI – ABKC AC AL

>> AC.BC – AI.BK BK BC + Từ các tứ giác nội tiếp ACPI và CPKB ta có: API = ACI BPK = BCK → API+BPK = AČI + BCK = 180o – ICK = 90°

– APB = 180″ – (API + BPK) = 180° – 90′ = 90° — APAB vuông. b) Diện tích hình thang vuông ABI là SABRI = (AI + BK).AB (1)

DV

Do AI, AB không đổi nên SABKI lớn nhất khi BK lớn nhất Vì AI.BK = AC.BC, AI cố định nên BK ớn nhất khi tích AC.BC lớn nhất vì AC + BC = AB không đổi nên AC.BC lớn nhất khi

AC = BC tức C là trung điểm của AB. 47. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ hai đường tròn (O) và (O) lần lượt

có đường kính AB và AC. Gọi H là giao điểm thứ hai của (O) và ((), ). Đường thẳng d thay đổi đi qua A cắt các đường tròn (O), (O) lần lượt tại các điểm D, E sao cho A nằm giữa D và E. a) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn DE luôn đi qua một điểm

cố định khi đường thẳng d thay đổi. b) Xác định vị trí của đường thẳng d để diện tích tứ giác BDEC đạt giá

trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo b và c, với b = AC. C = AB.

Chỉ dẫn a) Ta có BD = CEA = 90°

BD // CE. BDEC là hình thang vuông. – Trung trực của DE là đường vuông góc Với DE tại trung điểm I của DE cắt BC tại K. Ta có IK // DB // EC. Theo định lí Ta-let. K là trung điểm của BC cố định.

1. b) Ta có: SBDEC = SABC + SADB + SAEC.

Tam giác ABC có diện tích không đổi. Tam giác ABD có cạnh AB không đổi có diện tích lớn nhất khi đường cao hạ từ D xuống AB lớn nhất. Điều này xảy ra khi D là điểm chính giữa của cung AB.

Tương tự SACE lớn nhất khi E là điểm chính giữa của AC

Khi đó DAB = 45°, BAC = 90°, CAE = 45° – D, A, E thẳng hàng.

Khi đó: SBDEC = SABC + SABD + SACE =

bc +

+ b

+

BDEC

(b + c).

1

CE

2

2

2

2

2

4

48. Cho tam giác ABC có AB = AC = a và BAC = 120°. Kí hiệu (A, AB) là

đường tròn tâm A, bán kính AB. Các tiếp tuyến của (A, AB) tại B; c cắt nhau tại D. Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ BC cua đường tròn (A, AB) (M khác B, C). Tiếp tuyến tại M của đường tròn (A; AB) cắt DB, DC lần lượt tại E, F. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm các đường thẳng AE, AF với đường thẳng BC.

1. a) Chứng minh ABEQ là tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn và

các đường thẳng AM, EQ, FP đồng qui.

1. b) Xác định vị trí của M trên cung nhỏ BC cua (A; AB) để diện tích tam

giác APQ nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo a.

Chỉ dẫn

M

1. a) Ta có EAM = BAM

FAM CAM EAF = EAM + FAM

– BAN CAM) = 60° Ta có EBC = EBA – CBA

+CAM) = 60°

X

= 90° – 30° = 60°

> EBQ = EAQ = ABEQ nội tiếp. Ta có: AQE = 180° – ABE = 90° = EQI AF.

Chứng minh tương tự ta được APFC nội tiếp suy ra FP 1 AE.

Như vậy AM, EQ, FP là các đường cao của AAEF nên chúng đồng qui. b) Tứ giác EFQP nội tiếp (EPF = EQF = 90°) nên EFQ = QPA

AF

» AAPQ & AAFE với tỉ số đồng dạng k = AB = cos EAF = , không đổi. Do đó diện tích AAPQ nhỏ nhất khi diện tích AAEF nhỏ nhất. Do đường cao AAEF bằng R không đổi nên diện tích nhỏ nhất khi đáy EF nhỏ nhất. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt DB tại X, D) tại Y ta có:

EF = EX + FY – (BX + CY) 2 2 VEX.FY – 2BX Ta có AEAX CS AEFA IS AAFY = EX.FY = AX.AY = AX?

BY

EF > 2(AX – BX). Vì B = cos60° – 3 ta suy ra EF – AX.

UV

a v3

Dấu = xảy ra chỉ khi EX = FY khi đó EF // BC và SAP() = .

12