38. Cho góc vuông xOy và hai điểm A, B trên cạnh Ox (A nằm giữa 0 và

B), điểm M bất kì trên cạnh Oy. Đường tròn (T) đường kính AB cắt tia MA, MB lần lượt tại điểm thứ hai là C, E. Tia OE cắt đường tròn (T) tại điểm thứ hai là F. a) Chứng minh 4 điểm O, A, E, M nằm trên một đường tròn, xác định

tâm của đường tròn đó. b) Tứ giác OCFM là hình gì? Tại sao? c) Chứng minh hệ thức OE.OF + BE.BM = (B”.

Chỉ dẫn a) Ta có AOM = AEM = 90°.

Nên tứ giác OAEM nội tiếp đường tròn.

1. b) Tứ giác OAEM nội tiếp

> OMA = OEA. Bốn điểm A, E, F, C cùng nằm trên đường tròn (T) nên đEA = ACF Do đó OMA = ACF = FC // OM.

Vậy OCFM là hình thang. C) AOFA CS AOBE (g.g) = OD =

= OE.OF = (A.OB (1)

OB

A

ДОВМ и АЕВА (со)

JOBM (S JEBA (g.g) > EBBA

OB BM

—-

—

+

—–

–

4.

– BE.BM = BA.BO (2)

Từ (1) và (2) ta có: OE.OF + BEBM = OB^. 39. Cho tam giác ABC các góc đều nhọn nội tiếp trong đường tròn (O). Các

đường cao AD, BE, CF cắt đường tròn (O) theo thứ tự tại M, N, K. Chứng minh a) Các tam giác AHK, BHM, CHN là các tam giác cân. W AM BN CKA ”AD BE* CF

Chỉ dẫn a) Xét tứ giác ACDF nội tiếp (ADC = AFC )

→ BAM = BCK → BK = BM = KAF = HAF = AF vừa là đường vừa là phân giác

nên AAKH cân đỉnh A, do đó HF =

FK Chứng minh tương tự ta có CHN, BHM là các tam giác cân có EH = EN. AM AD + DM DH

BN EH b) Ta có: – “. AD –

1. Tương tự ta có AD =1* AD

BE CF – 1 Tỷ Từ đó ta có đẳng thức: AM BN CK DH EH HF AD BE * CF =** AD BE CF SHBc +Shac + Shab = 3 + 1 = 4.

SABC

M

BE

K

–

+

–

+

40. Cho tam giác ABC, lấy ba điểm D, E, F theo thứ tự trên các cạnh BC,

CA, AB sao cho AEDF là tứ giác nội tiếp. Trên tia AD lấy điểm P (D nằm giữa A và P) sao cho DADP = DB.DC a) Chứng minh rằng tứ giác ABPC nội tiếp và hai tam giác DEF, PCB

đồng dạng với nhau. b) Gọi S và S lần lượt là diện tích hai tam giác ABC và DEF. Chứng

minh

2AD

Chỉ dẫn a) Ta có DA.DP = DB.DC Dr PC

DB Lại có BDP – ADC (đối đỉnh) → ABDP S AADC = DPB = DCA => tứ giác ABPC nội tiếp Tứ giác AEDF nội tiếp nên DFE = DAE = PAC Tứ giác ABPC nội tiếp nên BAP = BCP = FAD = FED Từ (1) và (2) suy ra ADEF co APCB (g.g).

BD

(2)

1. b) Vì ADEF o APCB nên SẸP – S – EF

PB

S = (EFDP

c

=

DP Mặt khác SPCB = 8 SABC

DA nên từ (3) và (4) ta có:

EF2 DP S = BC) DA SABC = BC DAS

1 Bol V1 BC (BD + DC)” – 4BD.DC – 4DA.DP Từ (5) và (6) ta được Sí. sie EFDP (EF Strom

| S (dpcmi. 4DA.DP’DA 2DA

D

:

1

– S

=

41. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến của

đường tròn (O) tại B cắt đường tròn (O) tại C và tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường tròn (O’) tại D. Chứng minh

DB DA? a) AABC đồng dạng với ABDA

1. b) ACBC1!

   Chỉ dẫn a) Ta có ACB = DAB, ABC = ADB

   – AABC S ABDA.

   AB BC AC “BD DABA

   BC AB AC AC DA) *BD’BA BD DB DA

   > AC BC 42. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH và () là

   trung điểm của BC. Đường tròn tâm I đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Gọi D là giao điểm của OA và MN 1. Chứng minh:

   1 1 1 a) Tứ giác ODIH nội tiếp

   ” AD HB HC 2. Gọi D là giao điểm của các đường thẳng MN và BC. Đường thẳng AP

   cắt đường tròn đường kính AH tại điểm K (khác A). Tính số đo góc BKC.

   Chỉ dẫn 1. a) Ta có ACH = KAM = AMD

   – AIM

   Kello

   Mặt khác ACH – ANH

   H

   0

   +

   DOH = AID = ODIH nội tiếp. b) SAID (S AAOH ( Â chung AOH = AID)

   1АН Тво AI AO 2***

   BC 1 BC BH + HC 1 1 AD AH – AD O2 – 2

   AH – AD AHBH.HCHC” HB 2. Ta có AKH – 90o = AHP = APH = KHA

   Lại có KHA – KMA (cùng chắn cung AK của đường tròn đường kính (AH)) Suy ra KHB = KMA, do đó PKMB nội tiếp Suy ra PKB = PMB = AMN = MAH = ACB, do đó BKAC nội tiếp Suy ra BKC = BAC = 90°.

2. 43. Cho tam giác ABC vuông ở A (AB < AC) có đường cao AH và () là trung

   điểm của BC. Đường tròn tâm I, đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tại M và N. . 1. Chứng minh rằng: a) AM.AB = AN.AC.

   2. b) Tứ giác BMNC nội tiếp. 2. Gọi D là giao điểm của OA và MN. Chứng minh rằng

   1 1 1 a) Tứ giác ODIH nội tiếp. b)

   AD HB HC

   Chỉ dẫn 1. a) Trong tam giác vuông HAB

   có AH? = AM.AB Tương tự trong tam giác

   MK vuông HAC có AH = AN.AC (2) Từ (1), (2) suy ra

   BHO AM.AB = AN.AC. b) Trong đường tròn (I) có AMN = AHN

   Lại có AHN = NCH — AMN = NCB – BMNC nội tiếp. 2. a) Dễ thấy AMHN là hình chữ nhật M, L, N tháng hàng

   AIN = 2AMN = 2AHN = 2NCH – DOH = DH nội tiếp. b) Tứ giác ODIH nội tiếp THO – DO = 180° = 20 = 180° – 90° = 90

   AD 1 DI >> JAID » JAOH AI AD AI AO

   ΛΟ AHAD AH Thay AI = AH, AO = BC

   BC

   Ta en ab

   HB + HC HB.HC

   1 HB HC

   AH

   AH.-AH