28. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Tia phân

giác của góc BAC cắt BC tại D và cắt đường tròn tại E khác A. Chứng minh BE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB.

Chỉ dẫn Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB. Trong tam giác cân KDB đỉnh K ta có Pro 180° – BKD 180 – 2BAD

22

= 90° – BAD. Mặt khác BAD = EAC = EBC nên KDB – KBD = 90° – EBC – KBD – EBC = 90° = KB 1 BE hay BE là tiếp tuyến của đường troi

ngoại tiếp tam giác ADB. 29. Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB tại

M và cắt AC tại N. Gọi H là giao điểm của BN và CM. K là trung điểm của AH. Chứng minh KN là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Chỉ dẫn Ta có DNA = 90°, tam giác NHA vuông tại N có trung tuyến NK nên

KAN cân đinh K, do đó ANA = KAN (1) Tam giác DNC cân đỉnh 0 nên CNC – OCN (2) Vì BN 1 AC, CM 1 AB nên H là trực tâm của AABC cho nên AH : BC AH cắt BC tại I thì NIAC vuông tại I Ta có KAN – OCN = AC + ICA = 90° ONK = 180″ – (KAN +OCN) = 90° hay ON I KN. Suy ra N là tiếp tuyến của đường tròn (O) tiếp xúc với (O) tại N.

ZL

30. Qua điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ đường thẳng không qua )

cắt đường tròn tại B và C (B nằm giữa A và C). Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại D. Đường thẳng qua D vuông góc với AC tại H và cắt đường tròn tại M và N (M nằm giữa D và H). Các đường thẳng BC và D) cắt nhau tại E. Chứng minh: a) Tứ giác MNOE nội tiếp. b) AM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Chỉ dẫn a) Có DB = DC, OB = OC

– DO là trung trực của BC nên D01 BC tại E Trong tam giác vuông DB0 có DB = DE.Do Lại có SDBM – ADNB (g.g).

DB DM = DBP = DM.DN (2)

DN DB Từ (1) và (2) ta có DE.DO = DMDN

DE DN == == ADEN OS ADMO = DNE – DOM

DM DO = MNOE nội tiếp. b) Tứ giác MNOE nội tiếp nên MED – MN0 = NM). Trong tam giác

MDE ta có góc ngoài NME = NMO + EM0 = MED + MD0 => EMO = MDO

(3)

(1)

Các tam giác vuông E0A và HOD đồng dạng, kết hợp với (3) ta được HD0 – BÁO 2 EMO = ECO – AMEO nội tiếp, do đó AMO = AEO = 90o = OM 1 AM

hay AM là tiếp tuyến của đường tròn (O). 31. Cho AABC vuông đỉnh A, đường cao AH, I là trung điểm của AH, K là

trung điểm của HC. Đường tròn đường kính AH ký hiệu (AH) cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại điểm M và N. a) Chứng minh AACB và AAMN đồng dạng. b) Chứng minh KN là tiếp tuyến với đường tròn (AH). c) Tìm trực tâm của AABK.

Chỉ dẫn

1. a) Do MAN = 90°

MN là đường kính Ta có AMHN là tứ giác có 4 góc vuông do đó là hình chữ nhật

MX

AMN = AHN = HCA > JACB CS AAMN. b) Trong tam giác NHC vuông tại N nhận NK là trung tuyến nên:

KN = KH. AOHK = JONK (C.C.C) = ONK = OHK = 90° — KN I ON

– KN là tiếp tuyến. c) Theo tính chất các tiếp tuyến kẻ từ một điểm thì KOI HN

– KOI AN – 0 là trực tâm của AKAB 32. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn ( vẽ cát tuyến ABC đến đường tròn

(B nằm giữa A và C). Đường tròn ngoại tiếp tam giác B0C cắt (OA tại H. Đường thẳng vuông góc với OA tại H cắt đường tròn (O) tại D và E. Chứng minh AD, AE là các tiếp tuyến của đường tròn (O).

Chỉ dẫn Gọi AD là tiếp tuyến của (0) ta chứng minh được AD = AB.AC (1) Tứ giác BCOH nội tiếp nên AH.AO = AB.AC

(2)

A tlet Từ (1) và (2) suy ra AD = AHAO Chứng tỏ DH 1 AO hay D = D. Chứng minh tương tự ta có AE là tiếp tuyến

của đường tròn (O) tại E 33. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), có đường cao AH. Gọi D,

E lần lượt là trung điểm của AB và AC a) Chứng minh DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoại tiếp

tam giác DBH và ECH.

1. b) Gọi F là giao điểm thứ nhì của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác

DBH và ECH. Chứng minh HF đi qua trung điểm của DE. c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE đi qua điểm F.

Chỉ dẫn a) Ta có DE là đường trung bình nền DE

// BC suy ra AHD – IDE Lại có HD là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên ADHB cân và trung trực của đáy BH đi qua D. Tâm O của đường tròn ngoại tiếp ABHD. Từ đó suy ra 0,D 1 DE hay DE là tiếp tuyến của (O). Lập luận tương tự như trên ta thấy DE là tiếp tuyến của đường

B K tròn (O) ngoại tiếp AHCE do đó là tiếp tuyến chung của hai đường

tròn trên. b) Ta có AIDF – AHD (góc I chung, FDI = DHF vì cùng chắn DF)

Suy ra ID? = IFIH. Cũng lập luận như trên với đường tròn (0)

Ta có IE2 = IF.IH ID = IE. c) Tứ giác DBHF nội tiếp nên

ABC = DFI (1) Tứ giác CEFH nội tiếp nên

ACB = EFI (2) DAE + DFE = BAC + DFI + EFI = BAC + ABC + ACB = 180′

– ADF nội tiếp tức đường tròn ngoại tiếp xADE đi qua F. 34. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R), Các

đường cao BD, CE cắt nhau tại H, AH cắt BC, DE lần lượt tại F và K. a) Chứng minh rằng tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn và xác định tâm I | của đường tròn này. b) Vẽ tiếp tuyến Cx của đường tròn (O) (tia Cx nằm trên nửa mặt phẳng | bờ BC không chứa điểm A). Chứng minh tứ giác ADFB nội tiếp đường

tròn và tia Cx / DF. c) Chứng minh tia DH là tia phân giác của góc EDF và AD.HK = AK.HF. d) Chứng minh rằng AFBK và AFIC đồng dạng rồi suy ra K là trực tâm

ABIC.

Chỉ dẫn a) AEH = ADH = 90° = ADHE nội

tiếp đường tròn tâm I là trung

điểm của AH. b) Tứ giác ABFD nội tiếp, suy ra DFC = BÁC, BAC = BCx vì cùng

в F chắn cung BC. Suy ra

DF = BCx, do đó Cx // DF. c) Trong tứ giác nội tiếp ADHE có EAH = EDH

Trong tứ giác nội tiếp ADFB có EAH = BAF – BIDF – HDF Suy ra DH là phân giác của EDF Ta có: DA phân giác ngoài của EDF

AK KD KH > AF.HK = AK. HF.

AF DF HF d) Ta có EFA = AFD = EFC – DFB Lại có BDF = BDE = AB = BCE = ABFD o AEF)

= FB.FC = FD.FE Trong các tam giác vuông ADH và AEH ta có

FID = 2AD = 2DEH = KEF kết hợp với EFL – IED Suy ra AFEK – AFID, do đó FD.FE = FIFK (**) Từ (*) và (**) ta có: FB.FC = FIFK – AFBK vs AFIC Ta có: KBF = CIF = CIF + BKF = 90° – BK 1 CI.

Tức K là trực tâm của ABIC. 35. Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC. Gọi M là trung điểm của BC. II

là trực tâm, AD, BE, CF là đường cao của tam giác ABC. Kí hiệu (C, (C2) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF và DKE với K là giao điểm của EF và BC. Chứng minh: ME là tiếp tuyến chung của (C) và (C).

| Chỉ dẫn Ta có A = B , A = AẾP, B = MEB

AEP+ PEB = 90° – MEB+ PEB = MEP = 90°.

ME tiếp xúc với đường tròn (C) tại E Gọi N là giao điểm khác A của AK và đường tròn (C1) ta có

KN.KA = KE.KF (*) Do BCEF nội tiếp nên KC.KB = KE.KF (*) Từ (*) và (*) suy ra KN.KA = KC.KB tức A, N, C, B nằm trên đường tròn (O) ngoại tiếp AABC Đường thẳng NH cắt đường tròn (O) tại (Q). Do ANQ = 90° nên AQ là đường kính của đường tròn (0) Vì OM || = |AH nên H, M, Q thẳng hàng, do đó M, H, N thẳng hàng.

MN là đường cao của AAMK đi qua H do đó H là trực tâm của AAMK và KHI AM tại S. Tứ giác ASDK nội tiếp nên MS.MA = MD.MK. Vì MS.MA = ME” (vì ME là tiếp tuyến của (C:)) nên MD.MK = ME

Suy ra ME là tiếp tuyến của (C). 36. Cho tam giác ABC nhọn (AC < AB) nội tiếp đường tròn (O). Các đường

cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Đường thẳng EF cắt BC ở K, AK cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N. Gọi M là trung điểm cua cạnh BC. Chứng minh rằng a) Bốn điểm A, N, E, F nằm trên một đường tròn. b) KH I AM. c) Kí hiệu (C), (C2) lần lượt là các đường tròn ngoại tiếp AAEF và DEK có tiếp tuyến chung là ME.

Chỉ dẫn a) Các tứ giác nội tiếp ANCB và BCEF ta có KE.KF = KC.KB = KN.KA

Suy ra ANEF nội tiếp đường tròn đường kính AH. b) Kéo dài NH cắt đường (0) tại Q

Do ANQ = 90° nên NH cắt đường tròn (O) tại Q và AQ là đường kính của đường tròn (O).

Vì AH || = 20M nên H, M, Q thẳng hàng, do đó N, H, M thẳng hàng và MN là đường cao của SAMK và H là trực tâm của tam giác đó. Từ

đó, suy ra KHI AM. c) Trong đường tròn đường kính AH

tâm I ta có AE = TEA Trong đường tròn tâm M đường kính BC ta có EBC = BEM Lại có EBC = HAE = TEA = BEM Vì AEB = 90° suy ra EM = 90° do đó ME là tiếp tuyến của (C1) Trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác ASDK ta có MS.MA = MD.MK Trong đường tròn tâm I đường kính AH ta có ME là tiếp tuyến và | MS.MA = ME”. Từ đó suy ra ME? = MD.MK. Điều đó nghĩa là ME là tiếp tuyến của đường tròn (C).

Vậy ME là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2), 37. Cho tam giác ABC không cần có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE,

CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác lần lượt tại A, B, C). Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh 1. Mỗi điểm trong bốn điểm A, B, C, H là trực tâm của tam giác có các

đỉnh là ba điểm còn lại. 2. Các đỉnh A, B, C lần lượt là điểm chính giữa của các cung

B,C,,C,A,, A,B, 3. Các điểm đối xứng của trực tâm H qua các cạnh của tam giác nằm

trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. 4. Khoảng cách từ một đỉnh tam giác ABC đến trực tấm bằng hai lần

khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến cạnh đối diện. 5. Tích các đoạn thẳng do chân đường cao định ra trên mỗi cạnh bằng

tích của đường cao tương ứng với đoạn thẳng từ trực tâm đến chân

đường cao. 6. OA I EF

7. BAH = OAC.

Chỉ dẫn 1. Dễ thấy. 2. ACC, = ABB, => AC, = AH,

Sự bằng nhau các cung tương ứng khác được chứng minh tương tự. 3. ACHB, có đường cao CE đồng thời là đường phân giác (ACC – ACB,

nên CE đồng thời là trung trực.

Do đó Bị đối xứng với H qua AC Tương tự các điểm C, đối xứng với H qua AB và A đối xứng với H qua BC.

binh Deto – OM BO 4. Kẻ đường kính BK ta có 2

1

‘CKBK 2 (OM /? CK vì cùng với BC và B) = BK) = CK = 20M (*)

F

BDM

Lại có AHCK là hình bình hành (AH !! CK, AKI CH).

Nên CK = AH (**). Từ (*) và (**) có AH = 2OM. 5. Ta có ADBH CS ADAC (H = 90°, DBH = DAC)

DB-DH – DB.DC = DA.DH.

DA DC Chứng minh tương tự ta có EA EC = EB.EH; FA.FB = FH.FC. 6. Ta có OA 1 B,C, (vì AB = AC ). EF là đường trung bình của AHB,C, (vì

| EH = EB1, FH = FC) nên EF // BC, do đó EFI OA. 7. Kẻ đường kính CN thì ANCB là hình thang cân (NC11 CCI, AB ICC )

OẶC = OCA = BAC, = BAH.