Nguồn website giaibai5s.com

  1. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M trên nửa đường

tròn. Và đường tròn tâm E tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tại M và tiếp xúc với AB tại N. Đường tròn (E) cắt MA tại C và cắt MB tại D. Chứng minh a) CD // AB. b) Khi M di động trên nửa đường tròn thì đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Chỉ dẫn a) Ke tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (E) là Mx ta có

CDM – AMX = ABM CD / AB b) CMD = 90° => CD là đường kính của

đường tròn (E) nên E & CD và là trung điểm của CD. Lại có EN 1 AB (vì AB là tiếp tuyến)

K CD || AB nên EN CD, do đó N là điểm chính giữa của cung CD và MN là tia phân giác của góc AMB.

AN

M

TO

Khi M di động trên nửa đường tròn, đường thẳng MN luôn đi qua điểm chính giữa K của nửa đường tròn đường kính AB đối xứng với

nửa đường tròn đã cho qua AB. 18. Cho điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R. Lấy điểm S trên

đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Kẻ các tiếp tuyến SB và SC (B, C là các tiếp điểm) với đường tròn 0. Từ A kẻ các đường thàng vuông góc với SC và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng khi S di động trên đường thẳng d thì a) BC đi qua một điểm cố định. b) EF luôn đi qua một điểm cố định.

Chỉ dẫn a) Đường thẳng BC cắt S0, AO theo thứ tự tại D và K Tứ giác SDKA nội tiếp, do đó

OK.OA = OD.US = QB2 = R^ không đổi Suy ra K cố định (do OA không đổi). b) Các tứ giác OSAC, EFCA nội tiếp

nên SMA – SCA, SCA = EFA = SOA – EFA Lại có SOA = KAF (AF || SO) =EFA = KAF = IA = IF. Từ EFA = KAF = AFK = KFE

SA ( KAF + AKF = 90°, EFA + EFK = 90°) => IF – IK

– IA = IK = EF đi qua trung điểm I cố định của AK. 19. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và điểm M di động

trên (O). Gọi A1, B1, C, lần lượt là các điểm đối xứng của M qua BC, CA, AB. Chứng minh a) A1, B1, C, thẳng hàng . b) Đường thẳng chứa A, B, C,.

BY luôn đi qua một điểm cố định.

B Chỉ dẫn a) Gọi I, J, K là trung điểm của

HO

AR MA, MB và MC thì I, J, K chính là chân các đường vuông cho góc kẻ từ M đến BC, CA, AB.

M

I, J, K nằm trên đường thẳng simsơn do đó A, B, C, Inằm trên một

đường thẳng. b) Gọi H là trực tâm của SABC

Gọi B, C theo thứ tự là điểm đối xứng của H qua AC, AB thì B, C, là các điểm trên đường tròn (0) Chẳng hạn M nằm trên cung nhỏ BC ta có các hình thang cân HMCC, HMBBa (là các tứ giác nội tiếp). Khi đó

CHC, = MC,H – MAC B,HB, = MB, H = MAB

CHC., +B, HB, +B.,HC, = 180° – B1, H, C thẳng hàng nghĩa là đường thẳng chứa A, B, C, đi qua

trực tâm H của tam giác ABC. 20. Cho đường tròn (O), dây cung BC cố định. A là điểm di động trên đường

thằng BC và nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) ( M, N thuộc (0)) (Qua B kẻ đường thẳng song song với AM và cắt MN tại E Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BEN luôn đi qua hai diêm cố định khi A di động trên đường thẳng BC.

Chỉ dẫn

M Xét trường hợp C nằm giữa A và B Ke OHIBC, do BC cố định nên H là trung điểm của BC và cố định. Dễ thấy năm điểm A, M, N, P, H nằm trên đường tròn đường kính 2 S

AO

Theo giá thiết BE // AM nên NMA – NEB Mà NMA – NHÀ (do NHMA nội tiếp). suy ra NEB = NHA nghĩa là tứ giác BENH nội tiếp Điều đó nghĩa là đường tròn ngoại tiếp tam giác BEN đi qua hai điểm cố

định B và H. 21. Cho tam giác ABC nhọn và điểm M nằm trên cạnh BC. Qua M và

đường tròn tâm O tiếp xúc với AB tại B và đường tròn tâm O tiếp xúc với AC tại C. Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại điểm thứ hai N. Gọi E là giao của BO và OC. Chứng minh rằng:

  1. a) Năm điểm A, B, N, E, C cùng nằm trên một đường tròn b) Đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên BC.

Chỉ dẫn a) Ta có trong đường tròn (0)

BNM = ABC (=–BM) Trong đường tròn (O) có CNM – ACB (= CM )

BNM + CNM = BNC = ABC + ACB

= 180° – BAC → BNC + BAC = 180° –> A, B, N, C cùng trên một đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Xét tứ giác ABEC có ABE = ACE = 90° + A, B, E, C cùng trên một đường tròn ngoại tiếp \ABC.

Vậy 5 điểm A, B, D, E, C cùng trên một đường tròn. b) Gia sư đường thẳng MN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại 5.

Ta có: BNS = BCS. Trong đường tròn (O) BNS = ABC = BCS = ABC không đổi, do đó S cố định trên đường tròn ngoại tiếp ABC và đường thẳng NM luôn đi

qua điểm cố định S. 22. Cho nửa đường tròn đường kính BC. Trên nửa đường tròn đó lấy điểm A

(khác B và C). Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Trên cung AC lấy điểm D bất kì (khác A và C), đường thẳng BD cắt AH tại I. Chứng minh rằng: a) IHCD là tứ giác nội tiếp

  1. b) ABP = BI.BD c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AID luôn nằm trên một đường | thắng cố định khi D thay đổi trên cung AC.

Chỉ dẫn a) IHC + IDC = 90° + 90o = 180°

– IHCD nội tiếp.

BH

S

  1. b) NABI OS ADBA (góc B chung ABI = ACB = ADB)

AB – BI – ABP = BI.BD

DB BA c) Từ hệ thứ BÀI = ADI chứng tỏ BA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại

tiếp AADI. Tâm của đường tròn này phải nằm trên đường vuông góc

với BA tại A, tức là nằm trên đường thẳng AC cố định. 23. Cho đường tròn tâm () và hai điểm B, C không đối xứng qua tâm cố

định trên đường tròn. Một điểm A di động trên cung lớn BC. Các đường BD và CE (D :: AC, E < AB) cắt nhau tại H. Chứng minh rằng đường thắng qua A vuông góc với DE luôn đi qua một điểm cố định.

Chỉ dẫn Ke tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại A . Ta có ACB = BAY (cùng chắn AB) Tứ giác BEDC nội tiếp nên ACB = AED = BAN = AED -> DC 1/ Ax Kẻ đường kính AS, ta có ASIAx – AS I DE. Như vậy đường thẳng qua A vuông góc với DE luôn đi qua tâm 0 cố định

của đường tròn. 24. Cho đường tròn tâm O bán kính R cố định và điểm P khác 0 cố định

bên trong đường tròn. Các dây cung thay đổi AB và CD vuông góc với nhau tại P. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Chỉ dẫn Đường thẳng PN cắt AD tại K ta có

APK = NPB = CBA (1), DAB = DCB (2) Từ (1) và (2) có:

APK + KAP = CBA + DCB = 90° >> PK I AD = NP 11 OM Tương tự, chứng minh được NP || OM. Tương tự, chứng minh được MP || ON. 8 PM0N là hình bình hành có các đường chéo P0 và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Vậy MN luôn đi qua điểm cố định I là trung điểm của PO.

  1. Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) cắt đường tròn (O) tại hai

điểm A, B. Từ một điểm M trên đường thẳng (d) và ở ngoài (O), (41) không qua 0, ta vẽ hai tiếp tuyến MN, MP với đường tròn (O) (N, P là hai tiếp điểm). a) Chứng minh NM0 = NP0. b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai điểm cổ định khi M lưu động trên đường thẳng (d).

Chỉ dẫn a) Tứ giác MNOP nội tiếp (vì ONM + OPM = 90° + 90° = 180°) → NMO = OPN

N cùng chắn ON ).

M b) Đường tròn ngoại tiếp A

AMNP cũng là đường ngoại tiếp tứ giác MNOP luôn đi qua điểm O cố định.

к лв

P

Kẻ OKI AB thì K là trung điểm của AB. Vì AB cố định nên K cố định và OKI AB suy ra K cũng thuộc đường tròn ngoại tiếp AMNP. Vậy

đường tròn ngoại tiếp AMNP luôn đi qua hai điểm cố định ) và K. 26. Cho hai đường tròn đồng tâm và 1 điểm M cố định trên đường tròn

nhỏ. Qua M kẻ hai đường thẳng vuông góc với nhau, một đường cắt đường tròn nhỏ ở A khác M, đường kia cắt đường tròn lớn ở B và C. Khi cho hai đường thẳng này quay quanh M và vẫn vuông góc với nhau, chứng minh rằng: a) Tổng MA? + MB^ + MC không đổi. b) Trong tâm tam giác ABC là điểm cố định.

Chỉ dẫn a) Gọi H, K theo thứ tự là trung điểm

B / M / 7 D C của MD và MA, thì OH I MD, OKI MA MA” + MB2 + MC2 = (2MK)2 + (BH – MH)2 + (BH + MH)2 = 4MK2 + 2BHP + 2MHR = 4MK? + 2(R? – OH) + 2(r2 – OH2) = 2R + ro + 4(MK – OH2) = 2(R? + ro) không đổi.

  1. b) Tam giác ABC và tam giác AMD có chung trung tuyến AH nên có chung trọng tâm. Trong tâm của AMD là G nằm cách M khoảng cách bằng MO cố định MG = GMO nên G cố định.
  2. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi K là điểm chính giữa cua

cung AB, M là điểm lưu động trên cung nhỏ AK (M khác điểm A và K). Lấy điểm N trên đoạn BM sao cho BN = AM a) Chứng minh AM = BNK

  1. b) Chứng minh tam giác MKN là tam giác vuông cân. c) Hai đường thẳng AM và OK cắt nhau tại D. Chứng minh MK là đường

phân giác của góc DMN.

  1. d) Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với BM tại N luôn luôn đi qua một điểm cố định.

Chỉ dẫn a) Dễ thấy AMAK = ANBK

(vì KA = KB, KBN – KAM, AM = BN (gt)

Do đó IMAK = ANBK (cgc) > AM = BNK. b) KM = KN, MKA = NKB (AMAK = ANBK)

M.

AKB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) MKA + AKN = NKB + AKN

N

MKN = 90°

SMN vuông tại K có KM = KN

Do đó kMKN vuông cân tại K. c) Ta có DMN = 90°, KMB – KAB = 45° (vì sd KB = 90°) nên MK là tia

phân giác của góc DMN. (1) Gọi E là giao điểm của AK và đường thẳng vuông góc với MB tại N.

Tứ giác BNKE nội tiếp (BNE BRE = 90°) suy ra KEB = KNM = 45° (. \KMN vuông cân tại K) do đó 1BAE vuông cân tại B, BE AB, BE = BA không nổi nên E cố định. Đường thẳng vuông góc với BM tại N luôn đi qua E cố định.

 

Một số chủ đề thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào 10 Hình học – Chủ đề 5: Các bài toán về điểm cố định
Đánh giá bài viết