1. KIẾN THỨC CĂN BẢN 1. Hàm số bậc nhất + Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b trong đó a, b là các hằng số, đại lượng x là đối xử, y là hàm số. Ví dụ: y = 2x – 1. Hàm số bậc nhất xác định với mọi giá :rị thực của đối số, đồng biến

nếu a > 0, nghịch biến nếu a < 0. + Đồ thị của hàm số y = ax + b là đường thẳng đi qua hai điểm P( 0; b) và

P; 0), số a gọi là hệ số góc của đường thẳng.

a

2. Hàm số bậc hai y = ax (a = 0) + Hàm số bậc hai y = ax^ xác định với mọi giá trị của x.

Nếu a > 0 hàm số nghịch biến khi x < 0 đồng biến khi x > 0.

Nếu a < 0 hàm số đồng biến khi x < (0 nghịch biến khi x > 0. + Đồ thị hàm số bậc hai y = ax^ (a + 0) là đường cong gọi là parabol. Nếu

a > 0 parabol nằm phía trên trục hoành điểm (0; 0) là điểm thấp nhất. Nếu a < 0 parabol nằm phía dưới trục hoành điểm

O(0, 0) là điểm cao nhất của đồ thị. B. BÀI TẬP 44. Cho hàm số y = 2x + 4.

1. a) Vẽ đồ thị của hàm số đã cho. b) Xác định hàm số có đồ thị là

đường thẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với đồ thị của hàm số đã cho.

Chỉ dẫn a) Đồ thị là đường thẳng qua điểm

A(0; 4) và B(-3; 0).

2

1. b) Đường thẳng đi qua gốc tọa độ là

đồ thị của một hàm số có dạng y =

B …

ax.

141

Với a là hằng số là hệ số góc của đường thẳng. Đường thẳng y = ax vuông góc với đường thẳng y = 2x + 4 nên 2a = -1 => a = -2.

Hàm số cần tìm là y =

x.

2

45. Viết phương trình của đường thẳng trong môi trường hợp dưới đây.
46. a) Đi qua gốc tọa độ và điểm A(1; 3). b) Đi qua điểm B(-2; 3) và song song với đường thẳng y = 2x – 1. c) Đi qua điểm C(0; 2) và vuông góc với đường thẳng y = -2x + 1.

2

1. d) Đi qua các điểm D(1; 1) và E(-1; 2).

Chỉ dẫn a) Đường thẳng qua gốc có phương trình y = ax. Vì đi qua A 1; 3) nên: 3

a1 => a = 3. Phương trình cần tìm y = 3x. b) Đường thẳng song song với đường y = 2x – 1 có phương trình dạng y =

2x + m. Vì đi qua điểm B(-2; 3) nên ta có 3 = 2(-2) + m -> m = 7. Đáp số: y = 2x + 7.

1. c) Đường thẳng vuông góc với đường thẳng y = -x + 1 có phương trình

dang y = ax + b thỏa mãn hệ thức -*a = -1 = a = 2.

Vì đi qua điểm C(0; 2) nên có 2 = 2.0 + b + b = 2.

Phương trình cần tìm là y = 2x + 2. d) Đường thăng có phương trình dạng y = ax + b. Do đi qua các điểm

1 = a.l+ b D(1; 1); B(-1; 2) nên ta có hệ phương trình

2 = a(-1) + b

=a=-b; b =

a

=

—

2

2

2

Phương trình cần tìm: y = x + . 46. Cho hệ phương trình sau: .

w x – y = 3

– 3x + 2y = 4 a) Giải bằng phương pháp đồ thị. b) Kiểm tra kết quả bằng phép tính.

(1) (2)

142

Chỉ dẫn

1. a) (1) => y = x – 3 là, hàm số

có đồ thị là đường thẳng đi qua các điểm (0; -3) và (3; 0).

-1

0

1

2

3

4

X

(2) = y = -3x + 2 có đồ thị là đường thẳng đi qua

các điểm (0; 2) và

Tọa độ giao điểm hai đường thẳng là điểm I(2; -1). Nghiệm của hệ phương trình là x = 2; y = -1.

(2x – 2y — 6 b) Bằng phương pháp cộng đại số ta được:

3x + 2y =

4

y

X = 2

= -1

Nghiệm (2; -1). 47. Cho hàm số y = (2 – 2m – 1)xo trong m là tham số.

1. a) Tìm giá trị của tham số m để hàm số đồng biến với x < 0. b) Tìm giá trị của tham số m để điểm M(2; 2) thuộc đồ thị của hàm số.

Chỉ dẫn a) Điều kiện để biểu thức có nghĩa là 2m – 1 > 0 em >

.

Hàm số y = ax^ đồng biến với x < 0 nếu a < 0 nên ta có

2 – 2m -1 <0

1. b) Điểm M(2; 2) thuộc đồ thị khi và chỉ khi

2 = (2- V2m -1 122 V2m-1 =

2

m = 13

(thỏa mãn điều kiện m 2 ). 48. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x^ và điểm B(0; 1)

1. a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm B(0; 1) và có hệ số k.

143

1. b) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm

phân biệt E và F với mọi lo.. c) Gọi hoành độ của E và F lần lượt là x1 và X2. Chứng minh rằng X1X) = -1, từ đó suy ra tam giác EOF là tam giác vuông.

Chỉ dẫn a) Phương trình đường thẳng (d): y = kx + b

Do b đi qua điểm B(0; 1) nên có hệ thức: 1 = R.0 + -> b = 1

=> (d): y = kx + 1. b) Hoành độ các giao điểm của (P) và (d)

là nghiệm của phương trình x = kx + 1 + x? – kx – 1 = 0 (1) Phương trình (1) có biệt thức 3 = k + 4 > 0 với mọi k nên luôn có hai nghiệm phân biệt XL, XX nghĩa là (d) luôn cắt (P) tại hai (2 x -1 0 0 1 2

điểm phân biệt E và F với mọi k. c) Hoành độ các giao điểm E và F của (d) và (P) là X1, X2 là các nghiệm

của (1) nên theo định lí Viet ta có X1X= -1 Tọa độ của E, F lần lượt là (x1; x ) và (x2; x ).

F

Đường thẳng OE có phương trình y = kx với hệ số góc A = T = Xị.

Đường thẳng OF có phương trình y = kxx với hệ số góc ky = X = x.

Ta có kk = X/X2 = -1 = OE 1 OF

hay tam giác OEF vuông tại O.

(P)

49. Cho hàm số y = x^ và y = x + 2. a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng

một mặt phẳng tọa độ Oxy. b) Tìm tọa độ các giao điểm A, B của đồ thị

hai hàm số trên bằng phép tính. c) Tính diện tích tam giác OAB.

x

0

1 x

144

Chỉ dẫn a) Hình bên. b) Hoành độ các giao điểm A, B là nghiệm của phương trình

x< = x + 2 x – x – 2 = 0 x1 = –1, Xy = 2

>A(-1; 1), B(2; 4). c) Đường thẳng y = x + 2 cắt trục tung tại C(0; 2)

Kí hiệu diện tích các tam giác OAB, OAC, OCB theo thứ tự là SAB, SOAC, SOCB

Ta có: S AB = SOÁC + S CB =

x1 + x2) = .2.(1 + 2) = 3 (dvdt).

50. Cho parabol (P): y = X và đường thẳng (P): y = mx –

= mx –

m

m – 1.

.

Tìm m để (D) tiếp xúc với (P). Chứng minh rằng hai đường thẳng (D) và (D) tiếp xúc với (P) và hai đường thẳng ấy vuông góc với nhau.

Chỉ dẫn Đường thẳng (D) tiếp xúc với (P) khi phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) có nghiệm kép ^ = mx – m – 1

cu

= mx

01 –

x? – 4mx + 6m + 4 = 0 (1) Phương trình (1) có nghiệm kép nếu A’ = 4m – 6m – 4 = 0 <=> m = 2 v 11

2

Như vậy (P) có các tiếp tuyến (D): y = 2x – 4 và (D): y = -3x

ZY

24

Các tiếp tuyến D1, D, có các hệ số góc thỏa mãn hệ thức k,ko = 2 = -1, do đó chúng vuông góc với nhau.

51. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) y = x và đường thẳng y =

-X + 2 a) Hãy vẽ (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy. b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d). c) Viết phương trình đường thẳng y = ax + b (d1). Biết rằng d, // d và cắt (P) tại điểm A có hoành độ là 2.

Chỉ dẫn a) Bạn đọc tự vẽ. b) Tọa độ các giao điểm của (P) và (d): (-2; 4); (1; 1).

145

1. c) (d1) có phương trình dạng: y = -x + b. Đường thẳng (d) đi qua A < (P)

XA = 2 = VA = x = 4. Vậy A(2; 4) < (d) nên: 4 = -2 + b => b = 6

Vậy (d): y = -x + 6. 52. Cho hai hàm số y = 2xo có đồ thị (P) và y = x + 3 có đồ thị (d).

1. a) Về các đồ thị (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy. b) Gọi A là giao điểm của hai đồ thị (P) và (d) có hoành độ âm. Viết

phương trình của đường thẳng (1) đi qua A và có hệ số góc băng -1.. c) Đường thẳng (1) cắt trục tung tại C, cắt trục hoành tại D. Đường

thẳng (d) cắt trục hoành tại B. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABC và tam giác ABD.

Chỉ dẫn a) Đồ thị (hình bên). b) Hoành độ các giao điểm của (P) và (d):

2x” = x + 3 + 2x’ – X – 3 = 0)

(P)

©

X

= -1, X2

В

/

Một giao điểm của (P) và (d) là A(-1; 2) Đường thẳng (1) có phương trình dạng y = -x + b = Đười 1g thẳng (1) qua A(-1; 2)

nên 2 = -(-1) + b = b = 1 = (V): y = -x + 1 c) Dễ thấy C(0; 1) và D1; 0) và B(-3; 0).

Các tam giác ABD và BCD có cùng đáy BD = |x – XB = 4

00

SAB)

4.4.2 = 4 (dvdt).

SBCD = – BD. ycl = 5.4.1 = 2 (dvdt).

CD –

-A30″

Ti số diện tích ABC và ABD là

SABE_SARD – SBCT) – 4 – 2 – 1

Saul SAR 4 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 53. Cho biết các điểm A(2; 2), B(k; 16), C(-2; m) nằm trên đồ thị của hàm

số y = ax^. Hãy xác định giá trị của các số a, b, m.

Đáp số: a = 1, k = m = 4. 54. Cho hàm số y = ax có đồ thị (P).

146

1. a) Xác định giá trị của a, biết rằng điểm A(1; ) thuộc P. Vẽ đồ thị (P). b) Đường thẳng y = 2 cắt (P) tại B và C. Xác định tọa độ của B và C. c) Tính diện tích tam giác ABC.

Đáp số: a = 3, C(-2; 2), B(2; 2).

SABC = 3 (dvdt). 55. Cho parabol (P): y = -x và đường thẳng (d): y = mx – 1. a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt

parabol (P) tại hai điểm phân biệt. b) Gọi x,, Xy lấn lượt là hoành độ các giao điểm của đường thẳng (d) và

parabol (P). Tìm giá trị của m để x x2 + x xỊ – X1X2 = 3.

56. Cho parabol (P) y =

x^ và đường thẳng (d): y = -2x + 7

2

1. a) Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (d) b) Viết phương trình đường thẳng (4) Song song với (d) và tiếp xúc với (P).

25

Đáp số: A -52, B1; y -2x – 2.