1. KIẾN THỨC CĂN BẢN 1. Phương trình bậc nhất một ẩn + Dạng ax + b = 0, x là ẩn, a, b hằng số với a = 0 luôn có nghiệm duy

nhất x = –

2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn + Dạng ax + b > 0 (hoặc ax + b < 0)

với x là ẩn, a, b là các hằng số và a = 0.

128

Dạng ax + b > 0 có tập nghiệm là x > >>

nếu a > 0 và có tập nghiệm x < -> nếu a < 0.

а + Ta cũng xếp vào bất phương trình bậc nhất các dạng

ax + b 2 0 hay ax + b so. 3. Phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn + Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax + by = c (1) trong đó ít nhất

a hoặc b là hằng số khác 0. Phương trình (1) có vô số nghiệm. Tập các nghiệm của ‘1) biểu chiềI1 trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng.

ax + by = c + Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng

(dx + ey = f Trong đó x, y là các ẩn, ít nhất một trong các hệ số a, b, d, e khác 0. + Hệ phương trình có nghiệm duy nhất nếu ae – bd + 0. + Vô số nghiệm nếu

d e f

+

+

o 14

a +

a 7 – hay —

hay

b —

+

+ Vô nghiệm nếu

d ed fd e’ Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thường được giải bằng phương pháp

thế hay phương pháp cộng đại số hay phương pháp đồ thị. B. BÀI TẬP 19. Giải các hệ phương trình

(2x +1 y-2 1 2x + 3y = 5

4 3 12 a) 3x – 4y = -18

x + 5 y + 7

2 3

Chỉ dẫn a) Giải bằng phương cộng đại số Nhân hai vế phương thứ nhất với 4 và nhân hai vế phương trình thứ (8x +12y = 20 (17x := -34

x = -2 hai với 3 thì được

9x – 12y = -549x – 12y = -54 ly = 3 b) Làm đồng mẫu số và chuyển về đưa hằng số về một vế ta được

6x – 4y = -106 -4 -10 3x – 2y = -253 -2 -25

có

–

=

–

1

–

Hệ phương trình vô nghiệm.

129

20. Giải biện luận theo tham số m hệ phương trình sau (m-1)x + y = 1 (1)

l(m + 2)x + 2y = 3 (1) (2x + (m – 1)y = -3 (2)

2mx + 3y = 4 (2)

Chỉ dẫn a) Giải bằng phương pháp thế:

Từ phương trình (1) ta có: y = 1 – (m – 1)x Đem thế vào phương trình (2) ta được

| 2x + (m + 1)(1 – (m – 1)x] = -3 = (3 – m2)x = −m – 4 + Nếu mo – 3 = 0, nghĩa là m + /3 hệ có nghiệm duy nhất m+4 (1 – m)(m + 4)

2 +1 m – 39 m – 3 + Nếu m = 1/3 hệ vô nghiệm. b) Giai bằng phương pháp cộng đại số: Nhân phương trình (1) với 3, nhận phương trình (2) với –2 ta được

3(m + 2)x+ 6y = 9 3(m + 2)x + 6y = 9 –4mx – 6y = -8 (6 – m)x = 1

1 8-2m + Nếu m 3 6 hệ có nghiệm duy nhất x = —

6-m

6- m 18x + 2y = 3 + Nếu m = 6 hệ trở thành

hệ này vô nghiệm.

(12x + 3y = 4 21. Giai các hệ phương trình 3x + 4y – 5 (5x – 2y = 1

3x – 7y = 10 a) x – 2y = 3 3x + y = 2

15x + 3y = 2 Chỉ dẫn

6 – my=

1. a) x = 2,2; y = -0,4

V

=

a)

1. c) x = 1; y = -1. 4. Giải và biện luận theo tham số k hệ phương trình 2x + y = k – 3

s(k – 2)x+ 3y = 7 kx + 2y = 4

3x – (k + 2)y = 5

Chỉ dẫn a) Nếu k = 4 hệ vô nghiệm

10 – 2k k” – 5k + 2 Nếu k + 4 hệ có nghiệm x = –

k-4 b) Nếu k++/13 hệ có một nghiệm, nếu k = 1/13 vô nghiệm.

kaniy=

130

í

4

5

— y + 1

=

2

X — 3 22. Giải hệ phương trình {

-3 y +1 20 Chỉ dẫn

14u + 5y = 2 – ta được hệ phương trình :

5u + v = 29

Đặt u = –

X

5,

V

=

–

-3

+1

20

Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn u, v ta được nghiệm

1 1 4. Từ đó ta có – – = – => x = 7 ” 4′ 5′ uova X — 3 4

– =

–> y = 4. Vậy x = 7; y = 4 là nghiệm của hệ cho ban đầu.

y +1

5

23. Giải các bất phương trình
24. a) 2(x – 3) + 1 > 4x + 6

+ x – 1

1. b) (x – 2)2 – 2 < x Chỉ dẫn
2. a) * -2x – 11 >0

-2x > 11 o

X<

-11 —

b)

x2 – 4x + 2 < x? + x – 40-5x < -6 0x >

24. Giai, biện luận theo tham số m bất phương trình.
25. a) (m – 1)x + m + 2 > 2x + 4. b) m(m – 2)x < m – (x + 1).

Chỉ dẫn a) (m – 3x > 2 – m

2 – m + Nếu m > 3 => m – 3 > 0 bất phương trình có tập nghiệm: x >=

m – 3

2 – m + Nếu m < 3 thì m – 3 < 0 tập nghiệm là x < –

m

– 3

+ Nếu m = 3 bất phương trình trở thành ax > -1. Tập nghiệm là mọi

số thực. (m – 1)?x < m – 1

b)

+ Nếu m + 1 tập nghiệm x < –

m

-1

+ Nếu m = 1 bất phương trình có dạng 0x < 0 vô nghiệm.

131

(1)

19x – 15 < 2x + 4 25. Giai hệ bất phương trình

165x – 20 > 24x

Chỉ dẫn Đưa mỗi bất phương trình về dạng chuẩn ta có

19

7x <19

20

19

(41x > 20 DB 7

41

X2

*

41

26. Giải phương trình
27. a) 2x – x – 3

= 4 – x (1)

1. b) 1 – X + 2x – 3) = 2 + x (2)

Chỉ dẫn

x – 3 = 4(3x -4) x-320 -x + 3 = 4(3x – 1) X-3 <0

1. a) (1)

X – 31 = 4(3x – 4)

13 + Xét hệ hỗn hợp (A) phương trình x – 3 = 4(3x – 4) ( x = ..

13

Nghiệm x = , không thỏa mãn bất phương trình x – 3 : 0, do đó hệ

11 (A) vô nghiệm + Xét hệ (B) phương trình -x + 3 = 4(3x – 4) có nghiệm x = -3 <3

13 19 Vậy hệ (B) có nghiệm x = – cũng là nghiệm của phương trình (1)

1. b) Đáp số x = . C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2. Giải bằng phương pháp đồ thị hệ phương trình

4x + 3y = 6 2x + y = 4.

I

3

.

5

–

11

28. Giải các hệ phương trình 26

– + —- = 1.1 x – y x + y 1 4 9

– = 0,1 X – Y X + y

b)

3x + 4y 2x – 3y 12 15

2_=-11 3x + 4y 2x – 3y

132

ĐS: a) x = 7; y = 3.

ĐS: a) x = 7; y = 3.

b)x= 4y = –

1. b) x

11 –, y

=

=

–

29. Giải, biện luận theo tham số m hệ phương trình

mx + y = 2 x + y = 2m

mx + y = mo X + may = 1

Trả lời

1. a) Nếu m + 1 nghiệm x = -2, y = 2(m + 1). Nếu m = 1 hệ có vô số

nghiệm dạng x + R, y = 2 – x. b) Nếu m + 1 hệ có nghiệm x = 1 + m2, y = -m

Nếu m = 1 hệ có vô số nghiệm dạng x c R, y = 1 – x.

30. Giải các bất phương trình và hệ bất phương trình

4x – 3

< 2x + 1

12 – X

X – 3

a)

<7+ –

b)

4

1 x + 4

–> X-1 13

ĐS: a) x > J6

1. b) -1<x<

=

31. Giải, biện luận theo tham số m bất phương trình
32. a) (m – 11x + m + 2 > 2x + 4 b) m(x – m) > X – 1

Trả lời

2 – m a) = (m – 3)x > 2 – m. Nếu m > 3 tập nghiệm x > —-

m – 3

2 – m Nếu m < 3 tập nghiệm x < 4. – Nếu 1 = 3 mọi x đều là nghiệm.

m

-3″

1. b) 6 (m – 1)x > m – 1. Nếu m > 1 tập nghiệm x > m + 1

Nếu m < 1 tập nghiệm x < m + 1. Nếu m = 1 vô nghiệm. 32. Giải phương trình a) 2 x – x + 11 = 2

3. b) (x – 11 – X + 1 = 3(x + 1) ĐS: a) Tập nghiệm x = -1 và x = 3.
4. b) Nghiệm duy nhất x =

ar!

133