Nguồn website giaibai5s.com
- KIẾN THỨC CẦN NHỚ
- Căn bậc hai
Số x là căn bậc hai của số thực a không âm nếu x^ = a. + Mỗi số a > 0 có hai căn bậc hai, căn bậc hai dương hay còn gọi là căn
số học của a kí hiệu Va , căn bậc hai âm của a kí hiệu là – Va . + Số a < 0 không có căn bậc hai. + vo = 0.
Dinh li: 0 sa<bo vāc vb. 2. Khai phương tích, thương. Nhân chia các căn thức bậc hai
+ Nếu A > 0, B20 thì AB = AB ;
+ Nếu A > 0, B > 0 1
VB
/D
+ Với B > 0 thì A VB = A/B nếu A > 0,
A B = = AB nếu A < 0. 3. Căn bậc ba, căn bậc n
+ Sổ x là căn bậc ba của a, kí hiệu Va nếu và chỉ nếu x = a. + Số x là căn bậc n của số a, kí hiệu ta nếu và chỉ nếu x = a. + Mỗi số thực a có một căn bậc ba. + Mỗi số thực a > 0 có hai căn bậc n chẵn.
+ Số thực a < 0 không có căn bậc n chẳn. 4. Trục căn ở mẫu thức
+ Với B > 0 thì A
AB
B.
B
120
VAI VB + Với A20, B > 0, A + B thì –
VĀ + VBA – B –
=
+ Với A + B:
1
VAỸ + AB + VB”
VA + PB
A+B
- BÀI TẬP 1. Tính a) V4 – 213 + V7-413
- b) V3+ 2/2 – 16-412 c) V55 – 13 – 129 – 1275 d) 6 + 2/5 – 29 – 12.5
Chỉ dẫn a) v(13 – 1)2 + V12 – 13) = 1. b) ViV2 + 1)2 – V(2 – 12) = 2V2 – 1. c) 29 – 12 15 = 20 – 2.3.2 V5 + 9 = (2V5 – 3)2
VV5 – V3 – 129 – 12/5 = 15 – VIJ5 1 = 1. 2. Không dùng máy tính cầm tay hãy so sánh các cặp số a) V7 + 15 và 7.
- b) 17 + 5 + 1 và 45 – 23 – 2419 và 27 .
- d) -3/2 và 2/3
Chỉ dẫn a) V7 + 15 = 9 + 16 = 3 + 4 = 7. Vậy /7 – V15 < 7. b) Làm như câu a) được 17 + 15 + 1> 45. 23 – 2019 23 – 2116 – 5 = V25 < 127. 3
3 d) 18 = (3 (2) > (2 V3 ) = 12 = 312 > 2 V3 — V312 > V273 . 3. Rút gọn các biểu thức sau: 1 3
13 6 2 + V3 4 13 b) B = 2 + 3/2 + 6 ) 16 – 3,3. c) C = 3 6 4 2 – 3 – 12 – 16 ). d) D = (v100 + 340 + V16) 910 87).
- a) A
=
–
121
- a) A =
Chỉ dẫn 3(2-3) 13(4 + 3) 613 (2+ V3)2 – 13) (4 – 13)(4 + (3) * 3
—
= 10.
- b) B = 352+ V213 + v33V12-63
+63 + 1313 – 13) = 6 + c) c = (3/6 246_ 276 ) V6 – 2013 – vē) ==vz.
- d) D = {(V10)” + 210.84 + (14)+ V10 – ] = (010)” – (34)” = 6. 4. Rút gọn các biểu thức
- a) A =
1
2 + 3 + V6 + V8 +4. b) B = 4V6 +813+ 4+2 +18 12+ V3+
Chỉ dẫn a) Phân tích 6 = 2/3 ; 8 = 2.4; 4 = 2 4.
Đáp số: A = 1 + 2. b) 4 V6+813 + 4V2 + 18 = 12 +8V3+4+416 + 4V2 — 2
= (2+3 + 2) + 2 V2(213 + 2) + 2 Đáp số: B = 2/3 + 2 + 2.
(4VX 8x). Vx – 1 5. Cho biểu thức P = 1
2+ VX 4-X X-2Vx a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của x để P = -1.
Chỉ dẫn 4V 8x 47x(2-Vx) 8x 2 + V x 4-X (2 + x)(2 – Vx) 4-X
8Vx – 4x + 8x _ 4x + 8Vx
– 4 x 4 x VX-1 2 -1 21/x – 2) – 3-VX x-2Vx Tx Tx(Vx – 2) Vx(Vx – 2) Vx(Vx – 2) p – 4x+8Vx vx(Vx – 2) _4VX(Vx + 2).V«(Vx – 2) – 4x
4-x – 3-VX (2 + Vx)(2 – VX)(3 – Vx) V8 – 3
a)
—
122
4x
- b) P = -1
– x
– = -1 với -3
x + 3 hay x + 9
–
4x + V« – 3 = 0 > Vx = 8 exam 6. Rút gọn các biểu thức với giá thiết biểu thức có nghĩa
- a) A = 3V815 – 19/20 + 4/3/180 b) B = Vx+ 22x – 4 +Vx – 212x – 4. c) C = Vx+ 23x – 9 – VX-213x – 9.
| Chỉ dẫn a) A = 6/2/5 – 3/2/5 + 4/18V5 = 3/2/5 + 12/2/5 = 15/25. b) B = V(x – 2) + 2/2/x – 2 + 2 + V(x – 2) – 2.12V – 2 + 2
= V(x – 2 + V252 + VV – 2 – V2)2 = |VX-2 + V21 +\/x-2 – 121 _ 2x – 2 nếu x2 4.
2,2 nếu 2 < x < 4 c) Làm tương tự câu b) C = V8 – 3+2/3VX – 3 + 3 +Vx – 3 – 2/3/8 – 3 + 3 – 4x – 3/3) + x – 3 – 3y = 2x – 3 nếu x 2 6
2/3 nếu 3 < x < 6 7. Cho biểu thức P =
– P ( x −1 1 . 8x 1.1, 3x – 2
13VX-1 3VX + 1 . 9x-11 T 3Vx+1 a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa. b) Rút gọn P. c) Tìm các giá trị của x để P = 6
Chỉ dẫn a) Điều kiện P có nghĩa x > 0, x +
X
#
- c) x = 4 hoặc x =
X + Vx b)P =
3Vx – 1 8. Cho biểu thức
( 1 2VX-2 Vx+1 XV X – VX + X-1
P
=
1
Vx-1
| với x > 0; x + 1. X-1)
123
- a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên. c) Tìm GTNN của P và giá trị tương ứng của x.
Chỉ dẫn
DV X –
- a) P =
VX + 1
2 b) P – 1 – – có giá trị nguyên khi x + 1 là ước số lượng của 2 (vì
Vx + 1 x + 1 > 0). Điều này xảy ra chỉ khi x = 0 hoặc x = 1. Nhưng P không xác định với x = 1.
Vậy P nhận giá trị P = -1 khi x = 0. c) P nhận giá trị nhỏ nhất khi === lớn nhất. Vậy P = -1 là giá trị
VX + 1 nhỏ nhất của P.
VX-2 VX + 2 1 2 9. Cho biểu thức P =
với x > 0; x + 1. (x-1 X + 2Vx+1(x – 2x + 1) a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị của x để P > 0. c) Tính giá trị của P khi x = 7 – 4 3 . d) Tìm GTLN của P và giá trị tương ứng của x.
Chỉ dẫn a) P = VX-X b) P>0 Vx – x = Vx (1 – Vx>000<x<1. c) Với x = 7 – 4 3 = (2 – 3 * thì P = 3 /3 – 5.
- d) P = V811 – Vas!
– 1 đạt được khi x = 1
24 10. Thực hiện phép tính rút gọn biểu thức: a) V 13 + 52.15 – 2/6
- b) TM4V5 +9.12-15 V4 + 12 + 2
- d) 120 + 14 v2 + 120 – 14 v2 74 + 32 + 1
Chỉ dẫn a) V73 + v2.1 Ve 3 V2)* = 1. b) VV12 + 153.12 – 15 =-1.
124
- c) + 2 + 2 = 3/4 + 12 + 18 = 22674 + 12 +1)
ĐS: 2. d) Đặt a = 20 – 14/2 + 20 – 14/2
Theo hằng đẳng thức (X + Y) = X + Y + 3XY(X + Y) ta có a = 40 + 3/20° – 2.14 .ae a3 – 62 – 40 = 0
(a – 4)(a? + 4a + 10) = 0
Vì a+ 4a + 10 = (a + 2) + 6 > 0 với mọi a, do đó a – 4 = 0 hay a = 4. NHẬN XÉT
Để thực hiện tốt các phép biến đổi căn thức, ngoài việc nam vững định nghìa căn bậc hai, căn bậc n, các qui tắc nhân, chia đưa một nhân tử ra ngoài hay vào trong dấu căn ta còn phải nắm vững các phương pháp phân tích thành nhân tử Cần nhớ các hằng đẳng thức:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b) = a* – 2ab + b2 a? – b2 = (a – b)(a + b) (a + b) = a + 3a’b + 3ab? + b = a + b + 3abla + b) (a – b) = a* – 3a2b + 3abo – b = a – b3 – Zab(a – b)
+ b} = (a + b)(a? – ab + b2) a – b = (a – bla” + ab + b) a” – b’ = (a – b)(a”‘ + a”- + … + a.ba-2 + b^-!) (a + b + c)2 = a + b + c? + 2ab + 2bc + 2ca
2vx -9 2vx+1 V x + 3 11. Cho biểu thức A =
X — 51 x + 6 x – 3 2 – Vx a) Tìm điều kiện để A có nghĩa. b) Rút gọn A. c) Tìm các giá trị x nguyên để A có giá trị là số nguyên.
Chỉ dẫn a) Điều kiện x > 0, x = 4, x = 9.
X-VX – 2 (V x + 1)(x – 2) V x + 1 b) A = –
Vx – 2)(Vx+3) (Vx-2)(Vx – 3) (x – 3
- c) A =
=
/x
-3
vx
-3
VX-3
125
Để A có giá trị nguyên thì k phải lấy các giá trị nguyên sao cho x – 3 là ước của 4. Tức 4x – 3 phải nhận một trong các giá trị -1, +2 và 4. Từ đó thì được xe {1, 16, 25, 49} (loại x = 4 không thỏa mãn đk xác định).
3x + V9x – 3 Vx+1 12. Cho biểu thức A =
VX-2 1 X + VX-2 VX-2 VX 11 – Vx a) Rút gọn A. b) Tìm các giá trị nguyên của x để A nguyên. c) Tìm các giá trị của x để A = x.
Chỉ dẫn _31x + VX – 2+1) VX + 2 – 1 (Vx – 1 — 1)/ Vx a) A = x + VX-2 VX + 2 To 11-vo
VX-1 b) Để A nguyên thì x – 1 phải là ước của 2 với điều kiện A xác định
ĐS: x = 4, x = 9.
=
=
1
+
–
- c) A = 1 + —- = V X với điều kiện x 20, x + 1
VX-1 X-2 VX – 1 = () => (Vx – 1)2 = 2
=Va = 1 + V2 => x = 3 + 22. 13. Rút gọn các biểu thức (với gia thiết biểu thức có nghĩa)
X-VX X + VX a) A = 1
- X 1. x + VX-1 X – VX + 1
VX + 2 9 – x bi B = 1 –
X-9 2-VX 3 – VX X+VX-6
Chỉ dẫn as x-va – VillVX}” – 1″) VESIVE – 1)
X + VX + 1 x + x + 1 x + x V x [OX) + 1] –
– VXlVX + 1) x – x + 1 X – VX + 1
(x – 1 với x >1 > A = v^2/8 + x + 1 = 1 VX – 11 = x
‘ 1- 4x với 0 < x 1 wy 8-312 36VX – 3) 3
X — 9 (V x – 3)(Vx+3) Vx+ 3
–
126
VX-3 VX-2-1 – = –
= -1+ 2- 2 – Va Va – 2 VX + 2, 1. 9-X (3 + Vx:(3-Vx) 3-Vå 3+ VX 3 + Vx X + Vx – 6 (V x + 3(x – 2) VX-2
Vx+2 3 = B =
5x + 3 Vx + 3 Vå + 2 14. Rút gọn các biểu thức
mVm- nm – vm’ – n. 4mm – no a) A =
m – Vm” – no m+ Vm” – n n’
VX
WB
Ve+d -vc-d Veid + Vc-d
Ve+ d + Vc-d dvc-d Vc+d -vc-d) 4
Chỉ dẫn
ď” –C
- a) A = 1.
- b) B
- Rút gọn các biểu thức
1-ava
1 + ava
–
V
?
- a) A = (1 – a):
11- va
val+1.
1 + va
a/ 4 = 11 –**: (4-valtava – Val +1. by B = (va + ban o Tab – I Valbona
–
- b) B
=
Va +
b- sa + √b
b Vab – a
a + b Vab
ab + b
Chỉ dẫn a) A = 11 – a’ı : (1 + vaš.(1 – Va 1 + 1 = 2 ab (a + b)(Vab + b – a) a + b
P1 = Vb-va. (b-a)vab vab
1-a
- b) B
=
–
va – Vb
- a) – 5
- C) 5+7 – VTT
- Trục biểu thức cài ở nhẫu các biểu thức sau:
19 – 23 5 – 213
316 – 22
2 1 + 12 + 5
Chỉ dẫn 515 + 2/3)
2-
a
1393
127
h (9-213/3V6 + 272) V6 54 – 8
2 5+17-v11 5+v7 – V11 (5+15 – V11/21 – 1017) (5+17)2 – 11 21 +1007
212 — 700 297 + 21/11 – 10/77 – 35
259
3
dĐS 3+2/2 – V5 – V10
g)
–
20025 – 20 + V16)
4 +213 + V9 9 17. Chứng minh giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào x
1 2 + x x – 2 xvx + x – Vx – 1 A =
x : 2Vx+1 X-1
với x > 0, x + 1.
VX +1 Vx-1 18. Cho biểu thức A =
–+ 4VXlVX
VX-1 V x + 1 a) Rút gọn A.
3 b) Tìm giá trị của A với x = –
3-15
Chỉ dẫn a) A = 4x.
- b) 3(3+ V5).