1. KIẾN THỨC CẦN NẮM

Tóm tắt quy trình giải Bước 1: Quy ước một đại lượng (như công việc cần hoàn thành, quãng

đường cần đi, thể tích của bể nước,…) là đơn vị. Bước 2: Tính số phần công việc làm riêng trong một giờ, một ngày hoặc

| một tháng… Bước 3: Tính số phân công việc làm chung trong một giờ, một ngày hoặc

một tháng… Bước 4: Tính thời gian làm chung để hoàn thành công việc đó

1. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Hai người thợ nhận làm chung một công việc. Người thứ nhất làm

một mình thì hoàn thành xong công việc trong 4 giờ. Người thợ thứ hai làm một mình thi hoàn thành xong công việc đó trong 6 giờ. Hỏi cả hai người thợ cùng làn chung thì hoàn thành công việc đó mất bao lâu?

Giải Cách 1. Ta quy ước công việc cần hoàn thành là đơn vị Trong 1 giờ người thợ thứ nhất làm một mình được 1 (công việc)

Trong 1 giờ người thợ thứ hai làm một mình được

ng việc)

1 1 Trong 1 giờ cả hai người cùng làm được + = – 1g việc)

4 6 1 Thời gian để hai người cùng làm chung hoàn thành xong công việc đó là

1:5 =1.2 = 2,4 (giờ) = 2giờ 24 phút

12 5 Vậy cả hai người thợ cùng làn chung thì hoàn thành công việc đó trong 2 giờ 24 phút. Cách 2. Ta có B N(4,6) = 12 Vậy ta biểu thị số công việc đó thành 12 phần bằng nhau Trong 1 giờ người thợ thứ nhất làm một mình được 12 : 4 = 3 (phần) Trong 1 giờ người thợ thứ hai làm một mình được 12 : 6 = 2 (phần) Trong 1 giờ cả hai người cùng làm được 3+ 2 = 5 (phần) Thời gian để hai người cùng làm chung hoàn thành xong công việc đó là

12 : 5 = 2,4 (giờ) = 2 giờ 24 phút

–

=

Vậy cả hai người thợ cùng làn chung thì hoàn thành công việc đó trong

2 giờ 24 phút. Ví dụ 2. Người thứ nhất đi từ A đến B hết 7 giờ. Người thứ hai đi từ B về A

thì hết 5 giờ. Hỏi nếu cùng một lúc, người thứ nhất đi từ A và người thứ hai đi từ B thì sau bao lâu họ gặp nhau?

Giải Cách 1. Ta quy ước quãng đường AB là 1 đơn vị Trong 1 giờ người thứ nhất đi được (quãng đường AB) Trong 1 giờ người thứ hai đi được 1 (quãng đường AB) Trong 1 giờ tổng quãng đường hai người đi được là

1 1 12

+= = = (quãng đường AB)

7 5 35 Thời gian cả hai người cùng đi đến lúc họ gặp nhau là

1 12 35

(giờ) = 2 giờ 15 phút

35 12 Vậy sau 2 giờ 15 phút hai người sẽ gặp nhau. Cách 2. Ta có BCNN(5,7) = 35 Vậy ta chia quãng đường AB thành 35 phần bằng nhau thì Một giờ người thứ nhất đi từ A đến B đi được 35 : 7 = 5 (phần) Một giờ người thứ hai đi từ B về A đi được 35 : 5 = 7 (phần) Trong 1 giờ tổng quãng đường hai người đi được là 7+ 5 = 12 (phần) Thời gian cả hai người cùng đi đến lúc họ gặp nhau là

(giờ) = 2 giờ 15 phút Vậy sau 2 giờ 55 phút hai người sẽ gặp nhau. Ví dụ 3. Biết rằng vòi thứ nhất chảy một mình mất 8 giờ thì đầy hồ, vòi thứ

hai chảy một mình mất 6 giờ thì đấy hổ, vòi thứ ba tháo ra một mình mất 4 giờ thì hồ cạn. Hổ đang cạn, nếu mở cả 3 vòi cùng một lúc thì mất bao hồ đầy?

Giải Cách 1. Ta quy ước thể tích của hồ nước là 1 đơn vị Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy vào được . (hồ nước)

35

Trong 1 giờ vòi thứ hai chảy vào

loc)

Trong 1 giờ vòi thứ ba tháo ra hết 2 (hồ nước) Trong 1 giờ cả 3 vòi cùng chảy thì lượng nước trong hồ tăng lên:

—

+

—

–

—

=

24

35

1 1 1 1

hồ nước)

8 6 4 24 0 Do đó thời gian cả 3 vòi cùng chảy đầy hồ là 1: = 24 (giờ) Vậy sau 24 giờ thì đầy hồ. Cách 2. Ta có BCNN(8,6,4)= 24 Vậy ta chia thể tích hồ nước đó thành 24 phần bằng nhau Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy vào được 24 : 8 = 3 (phần) Trong 1 giờ vòi thứ hai chảy vào được 24 : 6 = 4 (phần) Trong 1 giờ vòi thứ ba tháo ra hết 24 : 4 = 6 (phần) Trong 1 giờ cả 3 vòi cùng chảy thì lượng nước trong hồ tăng lên là (3 + 4 – 6 = 1 (phần) Thời gian cả 3 vòi cùng chảy đầy hồ là 24 : 1 = 24 (giờ)

Vậy sau 24 giờ thì đầy hồ. Ví dụ 4. Hưởng ứng Ngày Chủ nhật xanh do UBND tỉnh phát động với chủ

đề “Hãy hành động để Thừa Thiên Huế thêm Xanh, sạch, Sáng”, một trường THCS đã cử học sinh của hai lớp 9A và SB cùng tham gia làm tổng vệ sinh một con đường, sau 7 giờ thì làm xong công việc. Nếu làm riêng từng lớp thì thời gian học sinh lớp 9A làm xong công việc ít hon thời gian học sinh lớp 9B là 2 giờ. Hỏi nếu mỗi lớp làm riêng thì sau bao nhiêu giờ sẽ làm xong công việc?

(Đề TS lớp 10 tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2019-2020) Giải

35) Gọi thời gian lớp 9A làm một mình xong công việc là x (giờ) x >

12) Gọi thời gian lớp 9B làm một mình xong công việc là y (giờ) (y> 2) Mỗi giờ lớp 9A làm được phần công việc là: – (công việc) Mỗi giờ lớp 9B làm được phần công việc là: (công việc) Mỗi giờ lớp cả hai lớp 9A, 9B làm được phần công việc là:

1 1

+(công việc)

х у Theo đề bài, hai lớp cùng làm chung công việc trong 3 giờ thì xong

12

435 12 công việc nên trong một giờ ca hai lớp làm được 1:29 =(công việc).

1 1 12 Ta có phương trình: “+===

x y 35

Nếu làm riêng từng lớp thì thời gian học sinh lớp 9A làm xong công việc ít hơn thời gian lớp 9B là 2 giờ nên ta có phương trình y = x + 2 (2)

1 1 12 Thay (2) vào (1) ta được: + = –

X X+2 35

35(x + 2) + 35x = 12x(x + 2) 12x – 46x – 70 = 0

X

=

–

–

<

0

Vậy thời gian một mình làm xong của lớp 9A là 5 giờ, lớp 9B là 5+ 2 =

7 giờ. Ví dụ 5. Cho một bể cạn (không có nước). Nếu hai vòi nước cùng được mở

để chảy vào bế này thì sẽ đầy bể sau 4 giờ 48 phút. Nếu mở riêng từng vòi chảy vào bể thì thời gian vòi một chảy đầy bể sẽ ít hơn thời gian vòi hai chảy đầy bể là 4 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể?

Giải Cách 1. Đổi 4 giờ 48 phút = 4 giờ = giờ Gọi thời gian vòi một, vòi hai chảy một mình đầy bể lần lượt là x, y (giờ) Điều kiện x, y^3

5

24

Trong một giờ với một, vòi hai chảy một mình lần lượt là 4,4 (be)

х у Biết hai vòi cùng chảy thì sau 24 giờ thì đầy bể nên một giờ chảy dược

1:24 = (bê)

Ta có phương trình: 4+5=8

1 1 5

X y 24 Nếu chảy riêng thì vòi một chảy đầy bể nhanh hơn vòi hai là 4 giờ nên ta có phương trình: x =y-4 (2)

( 24 24 = 1

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 5x5y

x = y – 4

X=8 Giải hệ trên ta được: * , (thỏa mãn điều kiện)

ly = 12 Vậy vòi một chảy một mình trong 8 giờ thì đây bế và vòi hai chảy một mình trong 12 giờ thì đầy bể.

Cách 2. Gọi thời gian vòi một chảy một mình đây bế là x (giờ) Điều kiện x 24 Khi đó trong một giờ vòi một chảy được – (bể). Vòi hai chảy một mình đầy bể trong x + 4 (giờ) nên trong một giờ chảy được . (bể)

X +4

ī (be)

Tổng cộng trong một giờ hai vòi chảy được —+—

X X+4. 24 Sau 4 giờ 48 phút = giờ hai vòi cùng chảy thì đây bé nên trong một giờ

chảy được 1 (be)

X

=

Ta có phương trình “+

x x +4 24 Giải phương trình ta được x = 340 (loại) hoặc x = 8 (thỏa mãn) Vậy thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là 8 giờ, vòi hai chảy một mình đầy bể là: 8+ 4 = 12 (giờ).

BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Hai người cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người

thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm 25% công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó một mình thì trong bao lâu sẽ

hoàn thành công việc đó? Bài 2. Hai bạn A và B cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau

6 ngày. Hỏi nếu A làm một mình 3 ngày rồi nghỉ thì B hoàn thành nốt công việc trong thời gian bao lâu? Biết rằng nếu làm một mình xong

công việc thì B làm lâu hơn A là 9 ngày. Bài 3. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 2 ngày thì xong. Mỗi

ngày, lượng công việc của người thứ hai làm được nhiều gấp ba lần lượng công việc của người thứ nhất. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người làm xong công việc đó trong bao nhiêu ngày ?

(Đề TS vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh năm 2019-2020) Bài 4. Để hoàn thành một công việc, nếu hai tổ cùng làm chung thì hết 6 giờ.

Sau 2 giờ làm chung thì tô hai được điều đi làm việc khác, tổ một tiếp tục làm và đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu làm riêng | thì mỗi tổ sẽ hoàn thành công việc này trong thời gian bao nhiêu?

Bài 5. Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau 15 ngày làm

xong. Nếu đội thứ nhất làm riêng trong 3 ngày rồi dừng lại và đội thứ hai làm tiếp công việc đó trong 5 ngày thì cả hai đội hoàn thành được 25% công việc. Hỏi mỗi đội làm riêng thì bao nhiêu ngày mới hoàn thành xong công việc trên?

(Đề TS vào lớp 10 Tp Hà Nội năm 2019-2020) Bài 6. Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành một công việc

đã định. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất được điều đi làm công việc khác, tô thứ hai làm một mình phần công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi tô thứ hai nêu làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn

thành công việc? Bài 7. Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định xong

trong 12 ngày. Họ cùng làm chung với nhau được 8 ngày thì đội được điều động đi làm công việc khác, đội 2 tiếp tục làm. Do cái tiến kỹ thuật, năng suất tăng gấp đôi nên đội 2 đã làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì sau bao nhiêu ngày sẽ làm xong

công việc nói trên (với năng suất bình thường)? Bài 8. Hải và Son cùng làm một công việc trong 7 giờ 20 phút thì xe

Hải làm trong 5 giờ và Sơn làm trong 6 giờ thì cả hai làm được 2 khối

lượng công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó trong mấy giờ thì xong? Bài 9. Hai vòi nước cùng chảy đầy một bể không có nước trong 3 giờ 45 phút.

Nếu chảy riêng rẽ, mỗi vòi phải chảy trong bao lâu mới đây bể? Biết

rằng vòi chảy sau lâu hơn vòi trước 4 giờ. Bài 10. Hai người thợ cùng làm một công việc. Nếu làm riêng rẽ, mỗi người

nửa việc thì tổng số giờ làm việc là 12 giờ 30 phút. Nếu hai người cùng làm thì hai người chỉ làm việc đó trong 6 giờ. Như vậy, làm việc riêng rẽ

cả công việc mỗi người mất bao nhiêu thời gian? Bài 11. Hai tổ thanh niên tình nguyện cùng sửa một con đường vào ban trong

4 giờ thì xong. Nếu làm riêng thì tổ 1 làm nhanh hơn tố 2 là 6 giờ. Hỏi

mỗi đội làm một mình thì bao lâu sẽ xong việc ? Bài 12. Hai đội công nhân làm một đoạn đường. Đội 1 làm xong một nửa

đoạn đường thì đội 2 đến làm tiếp nửa còn lại với thời gian dài hơn thời gian đội 1 đã đã làm là 30 ngày. Nếu hai đội cùng làm thì trong 72 ngày xong cả đoạn đường. Hỏi mỗi đội đã làm bao nhiêu ngày trên đoạn

đường này? Bài 13. Hai vòi nước chảy chung vào một bể thì sau 4 giờ đây bè. Mỗi giờ

lượng nước của vòi chảy được bằng 1 lượng nước chảy được của vòi II. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu đầy bé?

Bài 14. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau 1 giờ 20 phút thì đầy bể. Nếu

mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì

đầy ý bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì bao lâu mới đầy bể? Bài 15. Hai người A và B làm xong công việc trong 72 giờ, còn người A và

C làm xong công việc trong đó trong 63 giờ và người B và C làm xong công việc ấy trong 56 giờ. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì trong bao lâu thì trong bao lâu sẽ làm xong công việc? Nếu ba người cùng làm

sẽ hoàn thành công việc trong mấy giờ ? Bài 16. Có ba đội cùng cũng làm chung một công việc, làm chung được

4 ngày thì đội III điều động đi làm việc khác, hai đội còn lại cùng làm thêm 12 ngày nữa thì hoàn thành công việc. Biết rằng năng suất của đội I cao hơn năng suất của đội II, năng suất của đội III là trung bình cộng của năng suất đội I và năng suất đội II và nếu mỗi đội làm một mình một phần ba công việc thì phải mất 37 ngày mới xong. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì bao nhiêu ngày xong công việc?

3

HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1.

Cách 1. Lấy 3 giờ của người thứ 2 để cùng làm chung 3 giờ với người thứ nhất thì được = 0,1875 = 18,75% (công việc) Suy ra 3 giờ còn lại của người thứ 2 làm được 25% – 18,75% = 6,25%

6,25 Thời gian người thứ hai làm xong công việc 100: 4 = 48 (giờ) Trong 3 giời người thứ nhất làm được 18,75% – 6,25% = 12,5%

12,5 Thời gian người thứ nhất làm xong công việc 100: 2 = 24 (giờ) Vậy thời gian hoàn thành công việc cảu hai người lần lượt là 24 giờ: 48 giờ Cách 2. Gọi thời gian người thứ nhất và thứ 2 làm riêng xong công việc lần lượt là x, y (giờ), (x, y > 0) Mỗi giờ người thứ nhất làm riêng được 2 (công việc), người thứ hai làm riêng được công việc)

1 1 1 Ta có phương trình –+——

(1)

x

y

16

)

Người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm 25% công việc nên

+

+

–

=

316 – 25% 3-6-1 (2)

X y 4 (11 1

x = 24 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :

(thỏa mãn) 13 6 1 y = 48

(x y 4 Vậy thời gian hoàn thành công việc của hai người lần lượt là 24 giờ;

48 giờ. Bài 2. Gọi thời gian A, B làm riêng xong công việc lần lượt là x, y (ngày),

X, y > 0) Ta có y= x = 9 (1) Mỗi ngày đội A làm riêng được 1 (công việc)

Mỗi ngày đội B làm riêng được công việc) Hai bạn A và B cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 6 ngày nên mỗi ngày cả hai người làm được là (công việc). Ta có phương trình 1,11 (2)

no

19

– xv 6.

x = 9

y – x = 9 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 1 1 18

(x y 6

(thỏa mãn)

Do A làm 9 ngày xong nên 3 ngày làm được công việc.

kon

Vì B làm 18 ngày xong nên 1 ngày B làm được

công việc, số ngày

làm xong 3 công việc còn lại là 3 = 12 (ngày).

3 18 Vậy sau 12 ngày thì B làm xong công việc. Bài 3. Gọi thời gian người thợ thứ nhất và người thợ thứ hai làm một mình

xong việc lần lượt là x (ngày) và y (ngày). Điều kiện x, y > 9. Mỗi ngày người thứ nhất làm được (công việc, người thứ hai làm được ! (công việc), hai người cùng làm được (công việc). Ta có

phương trình: -+-=

X y 9

+

Vì mỗi ngày, lượng công việc của người thứ hai làm được nhiều gấp ba lần lượng công việc của người thứ nhất nên ta có phương trình 2 =(2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

1 1 1 1 1 3 1 4 1 |-+-= – 1 -+- –

—

– – =x y 9 x. x 9 x 9 x = 36

Bi_3 \y = 12 (th

T (thỏa mãn) lyx Vậy nếu làm một mình thì người thợ thứ nhất cần 36 ngày, người thợ thứ

hai cần 12 ngày để làm xong công việc. Bài 4. Gọi thời gian tổ một làm riêng và hoàn thành công việc là x (giờ, x >6)

Gọi thời gian tổ hai làm riêng và hoàn thành công việc là y/giờ, y > 6) Mỗi giờ tổ một làm được – phần công việc)

ws

*WX

L

Mỗi giờ tổ hai làm được 4 (phần công việc) Biết hai tổ làm chung trong 6 giờ thì hoàn thành được công việc nên ta

– 6 6 có phương trình: 8+9=1 (1) Thực tế để hoàn thành công việc này thì tổ hai làm trong 2 giờ và tổ một

12 2 làm trong 2410 = 12 (giờ), ta có phương trình

=

+==1

(2)

16

6

+0=1

fx=15 (TMÐK)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: {

12+2 -1

ly = 10 (TMÐK)

–

+

-1

(

Vậy nếu làm riêng thì tô một hoàn thành công việc trong 15 giờ và tô hai

trong 10 giờ. Bài 5. Gọi thời gian để đội thứ nhất và đội thứ hai làm riêng một mình hoàn

thành xong công việc lần lượt là x và y(x > 15, y > 15), đơn vị (ngày) Một ngày đội thứ nhất làm được 2 (công việc), đội thứ hai làm được !

(công việc) Vì hai đội cùng làm trong 15 ngày thì hoàn thành xong công việc. Như vậy trong một ngày cả hai đội làm được 1 (công việc). Suy ra, ta có

1 1 1 1 phương trình: –+——

x y

15

Ba ngày đội đội thứ nhất làm được

* 100

(công việc), năm ngày đội thứ hai

11_1

+

+

làm được ý (công việc) Vì đội thứ nhất làm trong 3 ngày rồi dừng lại đội thứ hai làm tiếp trong 5 ngày thì cả hai đội hoàn thành xong 25% = (công việc)

3 5 1 Suy ra, ta có phương

X y 4 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

si 1 1 =+ = x y 15 x 24 x = 24 3 5 11 1y = 40

(thỏa mãn) –+- =

x y 4 y 40 Vậy đội thứ nhất một mình hoàn thành công việc là 24 (ngày) và đội thứ

hai là 40 (ngày). Bài 6. Gọi thời gian tổ hai làm một mình hoàn thành công việc là x (giờ), x > 12

Trong 1 giờ tổ hai làm được khối lượng công việc – (công việc) Sau 4 giờ hai tổ đã là chung được khối lượng công việc là

– (công việc) Phần công việc còn lại tổ hai phải làm là 1-5 (công việc).

3 3 Vì tổ hai hoàn thành khối lượng công việc còn lại trong 10 giờ nên ta có phương trình 10.1=3e2x = 30ex = 15 (thỏa mãn điều kiện x > 12)

Vậy thời gian tổ hai làm hoàn thành công việc là 15 giờ. Bài 7. Gọi thời gian để đội I làm một mình xong công việc là x, (ngày), x > 12

Gọi thời gian để đội II làm một mình xong công việc là y, (ngày), y> 12 Trong 1 ngày đội I và đội II làm được khối lượng công việc tương ứng

1 1 là “;o (công việc)

ху Vì hai đội dự định làm chung trong 10 ngày thì xong công việc nên ta có phương trình 1, (*)

x y 12

X

X

3

Phân công việc hai đội làm chung trong 8 ngày là

ng việc)

3

2

1

7

1

Phần việc còn lại đội II phải làm là 1- (công việc) Vì năng suất tăng gấp đôi nên đội II đã làm xong , phần việc còn lại trong 3,5 ngày Ta có phương trình 3,5.= = = = y 21 (thỏa mãn điều kiện)

y 3 y 3 Thay y = 21 vào (*) ta có x = 28 Vậy thời gian để đội I làm một mình xong công việc là 28 (ngày)

Thời gian để đội II làm một mình xong công việc là 21 (ngày). Bài 8. Gọi thời gian Hải làm một mình xong công việc là x (giờ), x >.

Gọi thời gian Sơn làm một mình xong công việc là y (giờ), y

1

29

1 Trong một giờ thì Hải và Sơn lần lượt làm được “;” (công việc)

х у Vì Hải và Sơn cùng làm một công việc trong 7 giờ 20 phút = (giờ) thì Xong công việc Ta có phương trình C (1)

х у

+

Sau 5 giờ Hải làm được là

công việc)

Sau 6 giờ Sơn làm được là ° (công việc) Vi Hải làm trong 5 giờ và Sơn làm trong 6 giờ thì cả hai làm được L (công việc) nên ta có phương trình: (2)

X

y

4

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 1 1

s 44

+

X

=

x

y

22

3

44

+

(thỏa mãn điều kiện) 5 6 3

x y 4 3 Vậy Hải làm công việc đó một mình trong (giờ), Sơn làm trong

44

44

9

giờ).

Bài 9. Gọi thời gian vòi đầu chảy chảy một mình đầy bể là x (giờ) (x > 0)

Gọi thời gian vòi sau chảy chảy một mình đầy bể là y (giờ) (y > 4)

Trong 1 giờ vòi đầu chảy được Trong 1 giờ vòi sau chảy được ! (bể)

Trong 1 giờ hai vòi chảy được

= + = (be)

3

Hai vòi cùng chảy thì đầy bể trong 3 giờ 45 phút = giờ, ta có hệ phương trình: … (1) Mặt khác nếu chảy một mình thì vòi sau chảy lâu hơn vòi trước 4 giờ tức là y= x + 4 (2)

[x = 6 Thay (2) vào (1) ta có 4x – 14x – 60 = 0

{ x = -2,5 < 0 Đối chiếu điều kiện ta có x = 6 suy ra y =10

Vậy vòi đầu chảy một mình đầy bế trong 6 giờ, vòi sau chảy trong 10 giờ. Bài 10. Gọi thời gian người thứ nhất, người thứ hai làm riêng rẽ để xong nửa

công việc lần lượt là x, y (x, y > 0) Ta có phương trình x+y = 12 (1) Thời gian người thứ nhất làm riêng rẽ để xong công việc là 2x nên 1 giờ người thứ nhất làm được . (công việc)

2x Thời gian người thứ hai làm riêng rẽ để xong công việc là 2y nên 1 giờ người thứ hai làm được … (công việc)

– 2y

Lại có trong 1 giờ cả hai người làm được

công việc) nên

1 — 2x

+

1 – 2y

1 =

6

Từ (1) và (2) ta có hệ

X + y = 12

x = 15

X

=

+

–

=

V = hoặc

6

. (x=5

15 hoặc 3 2 (thỏa mãn điều kiện) 1 1 1 –

(y = 2x 2y 6 Vậy nếu làm riêng rẽ cả công việc một người làm trong 10 giờ còn

người kia làm trong 15 giờ. Bài 11. Gọi thời gian một mình tô 1 sửa xong con đường là x (giờ) (x >4)

Thời gian một mình tô 2 sửa xong con đường là x +6 (giờ)

Trong 1 giờ tổ 1 sửa được

* (con đường); tổ 2 sửa được

“

(con đường)

X

X+6

Trong 1 giờ cả hai tổ sửa được

con đường)

1 1 1 Do đó ta có + x x + 6 4

[x = 6 4(x+6) + 4x = x(x+6)=x2 – 2x – 24 =10

x = -4 <0 Đối chiếu điều kiện ta có x = 6 Vậy một mình tổ 1 sửa xong con đường hết 6 ngày, tổ 2 sửa xong con

đường hết 12 ngày. Bài 12. Gọi thời gian đội 1 làm nửa đoạn đường đầu là x (ngày) (x > 0) thì

thời gian đội 2 làm nửa đoạn đường sau là x + 30 (ngày) Mỗi ngày đội 1 làm được (đoạn đường), đội 2 làm được –

2(x + 30) (đoạn đường) Mỗi ngày cả hai đội làm được (đoạn đường)

1

2x

Do đó ta có

2

30 –

♡ 36(x+30) + 36x = x(x +30)

x = 60 x – 42x – 1080 = 0

x= -18<0 Đối chiếu điều kiện ta có x = 60

Vậy đội 1 làm trong 10 ngày, đội 2 làm trong 90 ngày. Bài 13. Gọi thời gian để vòi I, vòi II chảy một mình đấy bế lần lượt là x, y

giờ (x, y24)

Trong 1 giờ vòi I và vòi II chay được lượng nước tương ứng là 2,4 (be)

1 – X

1 +-=

y

Vì hai vòi cùng chảy sau 3 thì đầy bể nên ta có phương trình

5

24 Vì trong 1 giờ lượng nước chảy được của vòi I bằng lượng nước chảy được của vòi II nên = (2)

X

2

y

Thay (2) vào (1) ta có ở 1,1 = 5 5 1 = 5

2’y y 24 2 y 24

2y = 128 x = 8 (thỏa mãn điều kiện) Vậy vòi I chảy một mình đầy bể trong 8 giờ, Vòi II chảy một mình đầy

bế trong 12 giờ.. Bài 14. Gọi thời gian để vòi thứ nhất, vòi thứ hai chảy một mình đầy bể lần

lượt là x, y (phút). Điều kiện x, y > 80 Trong 1 phút vòi thứ nhất chảy được là (bể), vòi thứ hai là . (bế) Vì hai vòi cùng chảy sau 1 giờ 20 phút = 80 phút thì đầy bể nên ta có phương trình 1,1 1 (1)

x

y

80

1

V

—

+

–

–

+

–

=

Sau 10 phút vòi 1 chảy được 9 (bể), sau 12 phút vòi 2 chảy được 3 (bể) Vì nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì đây ? (bể)

10 12 2 Do đó ta có phương trình C+===

X y 15 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

1 1 1 x y 80 fx = 120

(thỏa mãn điều kiện) 110 12 2 y = 240 °

1 x y 15 Vậy thời gian vòi 1 chảy đầy bể là 120 phút, vòi 2 là 240 phút. Bài 15. Gọi người A, B, C lần lượt làm một mình xong công việc trong x, y, z (giờ), thì mỗi giờ lần lượt làm được “,4,(công việc)

1 1 1

x y z Điều kiện x, y, z> 0

si 1 1 х у

1 x = 168 1 1 Ta có hệ

y = 126 (thỏa mãn) x. z 63

504 1 1 1

y 2 56 Nếu cả ba người cùng làm thì mỗi giờ làm được

1 1 1 12 – + – +– =— (công việc) X Y Z 504

V

–

+–

=

–

+

–

=

z=

–

+

–

=

Vậy cả ba người cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong:

12 504 4*504

-= 42 (giờ).

12 Bài 16. Gọi x, y, z lần lượt là số ngày đội I, II, III làm một mình xong công việc. Điều kiện x > 0, y > 0, z > 0

1 1 1

1 Một ngày đội I, II, III theo thứ tự làm được

1 ;-;^(công việc) và 4 > —

1 x y z Năng suất đội ba bằng trung bình cộng của hai đội còn lại, nên ta có

1 1 1 1 1 phương trình -=-|+-}

Z 2′ x y )

Trong 4 ngày đội III làm được

(công việc)

z

Trong 10 ngày đội I đội II theo thứ tự làm được 1

lb (công việc)

4 16 16 Do đó ta có “+ =+ − = 1 (2)

2 x y Số ngày mà mỗi đội I, II, III làm một mình một phần ba công việc lần

1 1 X 1 1 y 1 1 2 3 X 3 3 y 3 3 2 3

TUOT la

–

–

–

–

–

–

–

—

+

—

=

—

4

16

16

; X Y Z Và hoàn thành công việc trong 37 ngày nên ta có “+ += = 37 (3)

3 3 3 Từ (1), (2), (3) ta có hệ 1 1/1 1) 2 2 4

1 1 -=- – + –

+ — =0 2 2 x y )

у Z

y 18 34 16 16 4 16 16 – + +– =1 1 + — – =1 > – +— + — = 1 2 х у | z x y

2 х у X Y Z 0 (x + y + z = 111

| X + y + z = 111 – +- + -= 13 3 3

[x = 45 x = 30 ey = 30 hoặc y = 45 2 = 36

1 1 Đối chiếu điều kiện —>= ta có x = 30; y = 45; z = 36

х у Vậy nếu làm một mình đội I làm mất 30 ngày, đội hai mất 45 ngày, đội III mất 36 ngày.

3