1. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Số tự nhiên:

+ Tập hợp số tự nhiên N = {1;2;3;…;9;10;…). + Số tự nhiên có hai chữ số: ab = 10a + b; (a, b cN;0< a, b < 9;a + 0). – Số tự nhiên có ba chữ số: ax=10a+10b+c (abce0<a, b,có9a40).

Số chính phương là số tự nhiên có căn bậc 2 là một số tự nhiên, hay nói cách khác, số chính phương là bình phương (lũy thừa bậc 2) của một số tự nhiên. 2. Phân số: là sự biểu diễn số hữu tỷ dưới dạng tỷ lệ của hai số nguyên , trong đó số acZ được gọi là tử số, còn số báZ được gọi là mẫu số. Điều kiện bắt buộc là b = 0.

Phân số tối giản: là phân số mà có tử số và mẫu số không thể cùng chia hết cho số nào ngoại trừ số 1 (hoặc -1 nếu lấy các số âm). Nói cách khác phân số 1 là tối giản nếu a và b là nguyên tố cùng nhau, nghĩa là a và b có ước số chung lớn nhất là 1.

1. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta được một số mới lớn gấp 15 lần số đã cho.

Giải Gọi số phải tìm là ab, (a, b c N;0< a, b < 9; a = (0) Viết thêm chữ số 9 vào bên trái ta được số 9ab Theo bài ra ta có:

9ab = 13.ab 900 + ab = 13. ab 12.ab = 900 ab = 75 Ví dụ 2. Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số ti 7 đơn vị

và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.

Giải Gọi phân số cần tìm là : (a, b Z; b = 0) Theo đề ra tử số bé hơn mẫu số là 11 nên b = a +11 (1)

Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số

a-7 b nghịch đảo của phân số đã cho nên = 2 ( a(a – 7) = b b + 4) (2)

b + 4 a Thay (1) vào (2) ta có:

a(a – 7) = (a +11)(a +15) 633a +165 = 1 a=-5 = b = 6 Vậy tìm được phân số – Ví dụ 3. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 2

vào bên trái và một chữ số 2 vào bên phải số đó thì ta được một số lớn gấp 153 lần số ban đầu.

Giải Gọi số có hai chữ số cần tìm là ab (a,bc TN;0 < a,b < 9; a = )) Khi viết thêm một chữ số 2 vào bên trái và một chữ số 2 vào bên phải thì ta được số mới là 2ab2 Theo đề bài, số mới gấp 153 lần số ban đầu nên: 2ab2 = 153.ab = 2000+10.ab+ 2 = 153.ab 2002 = 143.ab ab = 14

Vậy số cần tìm là 14. Ví dụ 4. Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng nếu viết chữ số 0 xen

giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số đó thì ta được so lớn gấp 10 lân số đã cho, nếu viết thêm chữ số 1 vào bên trái số vừa nhận được thì số đó lại tăng lên 3 lần.

Giai Gọi số phải tìm là ab (a,bs ;0 < a, b < 9; a = )) Viết thêm chữ số 0 xen giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số aob Theo bài ra ta có: a0b = 10. ab = 100a + b = 10(10a + b)

100a+b = 100a+10b = 9b = 1) = b = () Thay b = 0 ta có số phải tìm có dạng a00 Viết thêm chữ số 1 vào bên trái số 200 ta được số la00 Theo bài ra ta có: 1a00 = 3. a00 =1000 + 400 = 3. 400

$2.000 1000 100 = 500 Hay a = 5

Vậy số phải tìm là 50. Ví dụ 5. Tìm các số tự nhiên n có hai chữ số, biết rằng hai số 2n+1 và 3n+1 đồng thời là hai số chính phương.

Giải Ta có 10 < n < 100 nên 215 2n +1< 201 Mặt khác 2n +1; nc N lẻ nên là số chính phương lẻ Do đó: 2n +1 chỉ có thể là 25; 49; 81; 121; 169

Với 2n+1 = 25= n = 12 nên 3n +1 = 37 (loại) Với 2n +1 = 49 4 n = 24 nên 3n +1 = 73 (loại) Với 2n +1= 81 = n = 40 nền 3n +1 = 121 (nhận) Với 2n +1 = 121= n = 60 nến 3n +1 = 181 (loại) Với 2n +1 = 169 = n = 84 nền 3n +1= 253 (loại)

Vậy n = 40. Ví dụ 6. Tìm 3 số tự nhiên có tổng bằng 10 biết rằng “ số thứ nhất bằng số thứ 2 và bằng 3 số thứ 3.

Giải

7

22

Cách 1. Số thứ nhất bằng 6 23 (số thứ hai) Số thứ ba bằng 3 2 số thứ hai)

Tông của 3 số bằ

27 +- –

–

+

70 22

35 =

11

ứ hai)

22

22

Vậy số thứ hai là 210:37 = 66; số thứ nhất là 33.66 = 63; số thứ 3 là

11

210

–.66 = 81. 22 Cách 2. Gọi x là số tự nhiên thứ nhất (x + N; x < 210)

6 9 22 Số thứ 2 là

— = — X

11 21

6 2 9 Số thứ 3 là ax: * Tổng ba số là x 32x + 9x = X= 210 X = 63

21 7 Vậy: số thứ nhất là 63;

số thứ 2 là 37.63 = 66;

số thứ 3 là 8.63 = 81. Ví dụ 7. Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn

vị nhỏ hơn chữ số hàng chục là 2 và tích của hai chữ số đó của nó luôn lớn hơn tông hai chữ số của nó là 34.

Giải Gọi chữ số phải tìm là ab; 0<a,b <9; a + 0 Vì chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng chục là 2 do đó ta có phương trình: a = b + 2

Vì tích của hai chữ số đó của nó luôn lớn hơn tổng hai chữ số của nó là 34, do đó ta có phương trình: ab = (a + b) = 34 Theo bài ra ta có hệ phương trình: la = b + 2 sa = b +2

a = b + 2 a=8 a.b-( a + b) = 34 |(b + 2).b-(b+2 – b) = 34 : b = 36

Vậy số phải tìm là 86. Ví dụ 8. Tộng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị của một số có ba

chữ số là 14. Nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì được số mới nho hơn số ban đầu là 396. Tìm số đó biết rằng chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị là 1 đơn vị. (Đề TS lớp 10 chuyên Trần Hưng Đạo tỉnh Bình Thuận năm 2019-2020)

Giải Gọi số cần tìm là abc (a, b, c = 0; 1 < a < 9; b, c < 9) Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là 14 nên

a+c= 14 (1) Nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì được số mới nhỏ hơn số ban đầu 396 nên ta có abc – cha = 396 (2) Chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị là 1 đơn vị nên ta có

c-b=1 (3) Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình: a+c=14

(a + c = 14 abc – cba = 396 (100a+10b+c) -(100c +10b+a)= 396 c-b=1

10-h=1 a+c=14

a = 9 $ 99a – 99c = 396 b = 4 (b-c=-1

(c = 5 Vậy số cần tìm là 945. Ví dụ 9. Tìm phân số 4 , (abcZ;b+0) thoả mãn các điều kiện: * <

4 a 10

<

9b21 và 5a – 2b = 3.

Giải

5a – 3 4a-1 Ta có: 5a – 2b = 3e b = = 2a – 1+

2

Do a,bcZ nên ^^= k =Z= a = 2k + 1; với keZ

2

5a – 3

a-1

Suy ra b ==

= 2a -1+

2k +1-1 = 2(2k + 1)-1 + = -= 5k +1

–

–

–

Nhir vêu 4 a

9 b 4 2k +1 9 5k+1

10 – 4 21 9

2k+1 5k+1

2k +1 10 5k +1 21 4 -2k+5

>06– 9 9(5k+1)

+ Voi

<->ke (0;1;2

Nic

2k +1 + Với

5k +1

10 2 1

2k +1 10 = -= 5k +1 21

-8k +11

-<0 21(5k +1)

orino

k <–

Kết hợp lại ta có: k = 2 suy ra a = 5; b = 11

Vậy phân số cần tìm . Ví dụ 10. Tìm số tự nhiên có 4 chữ số mà khi ta đem số ấy nhân với 5 rồi

cộng thêm 6 ta được kết quả là số có 4 chữ số viết bởi các chữ số như số ban đầu nhưng viết theo thứ tự ngược lại.

Giải Gọi số có 4 chữ số cần tìm là abcd, (a, b, c, d = 1; a, b, c, d <9; a = 0) Theo đề ra ta có: 5.abcd +6 = dcba Do dcba cũng là số có 4 chữ số nên a = 1 d>5 Thay a = 1, ta có 5.1bcd +6 = d1cb1 Để ý răng 5.+ 6 có chữ số tận cùng là 1 nên d phai là số lẻ slly ra de {5,7,9 Xét trường hợp: d = 5, ta có:

5.1bc5 + 6 = 5cb1 55(1000 + 100b + 10c+5) + 6 = 5000 + 1001€ + 10b+1

49b + 3 5490b + 30 = 500 (=

sbs

Do 0< < 9 nên

49b+30 0 < -5900549b +3545 –

b= ( (viber) 5 Suy ra c = = N (loại) Xét trường hợp: d=7, ta có:

5.1bc7 +6 = 7cb1 *5(1000 + 100b + 10c + 7) + 6 = 7000 + 1001c + 10b + 1

b- 40 + 196

49

241 Do 0 << 9 nên < b <

* 49

84:

e 45b < 5 – 6 = 4(vì bÉN) Suy ra c = 0 (nhận)

Ta có số 1407 Xét trường hợp: d = 9, ta có:

5.1bc9+6 = 9cb1 55(1000+100b + 10€ +9)+6 = 9000 + 1001c +10b+1 . oc=

49b + 395 794 49b 79 (loại) Vậy số cần tìm là 1407. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Tổng hai số bằng 80, hiệu của chúng bằng 14. Tìm hai số đó. Bài 2. Một số có hai chữ số, trong đó chữ số hàng chục gấp 3 lần chữ số

hàng đơn vị. Nếu đổi chỗ hai chữ số ta được một số có hai chữ số nhỏ

hơn số ban đầu 18 đơn vị. Tìm số đó. Bài 3. Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải

số đó thì được số mới tăng thêm 1 112 đơn vị. Bài 4. Tổng hai số bằng 104. Tìm hai số đó, biết rằng lsố thứ nhất kém 1

số thứ hai là 4 đơn vị. Bài 5. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho số đó chia cho 3 dư 1; chia cho 4 du

2; chia cho 5 dư 3; chia cho 6 dự 4 và chia hết cho 11. Bài 6. Một số tự nhiên a chia cho 120 dư 58; chia cho 135 dư 88. Tìm x, biết

a bé nhất. Bài 7. Số tự nhiên A được chia thành 3 số tỉ lệ theo 3 . Biết rằng tông

5 4 6 các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A. Bài 8. Tìm số có 3 chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó

tỉ lệ theo 1:2:3. Bài 9. Từ 1000 đến 9999 có bao nhiêu số chia hết cho 3 mà không chia hết

cho 4? Tính tổng của tất cả các số đó. Bài 10. Người ta viết các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 đến 2000 liền

nhau thành một số tự nhiên L. Hỏi số tự nhiên L có bao nhiêu chữ số? Bài 11. Một phân số có tử số nhỏ hơn mầu số là 8. Nếu thêm 2 đơn vị vào tư

số và bớt mẫu số đi 3 đơn vị thì ta được phân số bằng …. Tin phân số đã

cho. Bài 12. Hiệu hai số là 12. Nếu chia số lớn cho 5 và bé cho 7 thì thương thứ

nhất lớn hơn thương thứ hai là 4 đơn vị. Tìm hai số đó. Bài 13. Tìm các số tự nhiên a,b thoả mãn điều kiện: — – Áo và

17 5 29 va 8b-9a = 31.

Bài 14. Cho số có 4 chữ số biết nếu ta xoá đi chữ số hàng chục là hàng đơn | vị thì số đó giảm đi 4455 đơn vị. Tìm số đó. Bài 15. Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên

phải số đó thì nó tăng thêm 11 12 đơn vị. Bài 16. Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng nếu viết chữ số 0 xen

giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số đó ta được số lớn gấp 10 lần số đã cho, nếu viết thêm chữ số 1 vào bên trái số vừa nhận được thì

số đó lại tăng lên 3 lần. Bài 17. Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tổng các chữ số

của nó. Bài 18. Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tích các

chữ số của nó. Bài 19. Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 6 lần tổng hai chữ số

của nó, nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được một số theo thứ

tự ngược lại với số đã cho. Bài 20. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng: Tổng hai chữ số là 12

và nếu đổi chỗ hai chữ số thì được một số mới lớn hơn số đó là 36. Bài 21. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng: Tổng hai chữ số là 10

và nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì được một số mới nhỏ hơn số

đó là 36. Bài 22. Một số tự nhiên có hai chữ số có tổng các chữ số bằng 7. Nếu thêm

chữ số 0 vào giữa hai chữ số ta được một số có 3 chữ số lớn hơn số đã

cho là 180. Tìm số đó. Bài 23. Một số tự nhiên có 5 chữ số. Nếu thêm chữ số 1 vào bên phải hay | bên trái số đó ta được một số có 6 chữ số. Biết rằng nếu viết thêm vào

bên phải số đó thì được một số lớn gấp ba lần số nhận được khi ta viết

thêm vào bên trái số đó. Tìm số đó. Bài 24. Hiệu của hai số bằng 22, số này gấp đôi số kia. Tìm hai số đó, biết

rằng: a. Hai số nêu trong bài là hai số dương.

25. Hai số nêu trong bài là hai số tùy ý. Bài 25. Hiệu của hai số bằng 18, tỉ số giữa chúng bằng 8. Tìm hai số đó biết

rằng: a. Hai số nêu trong bài là hai số dương

26. Hai số nêu trong bài là hai số tùy ý. Bài 26. Hai số nguyên dương có tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai bằng ”.

Nếu lấy số thứ nhất chia cho 9, số thứ hai chia cho 6 thì thương của phép chia thứ nhất cho 9 bé hơn thương của phép chia thứ hai cho 6 là 3 đơn vị. Tìm hai số đó biết rằng các phép chia nói trên đều là phép chia hết.

Bài 27. Tổng của 4 số là 45. Nếu lấy số thứ nhất cộng thêm 2, số thứ hai trừ

đi 2, số thứ ba nhân với 2, số thứ tự chia cho 2 thì bốn kết quả đó bằng

nhau. Tìm 4 số ban đầu. Bài 28. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng: Tông hai chữ số là 12

và nếu đối chỗ hai chữ số thì được một số mới lớn hơn số đó là 36. Bài 29. Một số tự nhiên có hai chữ số có tổng các chữ số bằng 7. Nếu thêm

chữ số 0 vào giữa hai chữ số ta được một số có 3 chữ số lớn hơn số đã

cho là 180. Tìm số đó. Bài 30. Tìm một số có chữ số hàng đơn vị là 2, biết rằng nếu xoá chữ số 2 đó

| thì số ấy giảm đi 200. Bài 31. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số sao cho tổng của hai chữ số của

nó bằng 11, nếu đôi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau

thì số đó tăng thêm 27 đơn vị. Bài 32. Tìm một số tự nhiên có ba chữ số sao cho tổng các chữ số bằng 17,

chữ số hàng chục là 4, nếu đổi chỗ các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị

cho nhau thì số đó giảm đi 99 đơn vị. Bài 33. Tìm một số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho 11, biết rằng khi chia

số đó cho 11 thì được thương bằng tổng các chữ số của số bị chia.. Bài 34. Tìm hai số biết rằng tổng của hai số đó bằng 17 đơn vị. Nếu số thứ

nhất tăng thêm 3 đơn vị, số thứ hai tăng thêm 2 đơn vị thì tích của chúng

bằng 105 đơn vị. Bài 35. Tìm số có bốn chữ số mà số hàng nghìn là 2, biết rằng khi xóa bỏ số

hàng nghìn của số đó ta được số có ba chữ số bằng ở số có bốn chữ số.

HƯỚNG DẪN GIẢI

x + y = 80 x = 47 Bài 1. Gọi x, y là hai số cần tìm, ta có:

(x – y = 14y = 33 Đáp số: 47 và 33. Bài 2. Gọi số có hai chữ số cần tìm là ab (a, b c ; 0 < a, b < 9; a + 0)

Lúc đó: a = 3b (1) Đổi chỗ hai chữ số ta được ba Ta có:

ab – ba = 18 10a + b – (10b+a)=18 9a – 9b = 18 a – b = 2 (2) Thay (1) vào (2), ta có: 3b – b = 2 + b =1= a = 3

Đáp số: 31. Bài 3. Gọi số phải tìm là abc (a, b, c + N;0 < a, b, c < 9; a + 0)

Khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải ta được số abc5 . Theo bài ra ta có:

abc5 = abc + 1112 10.abc + 5 = abc + 1112

9.abc =1107 – abe =123 Bài 4. Giả sử mỗi 1 số thứ nhất thêm 4 đơn vị thì sẽ bằng 2 số thứ hai

Lúc này số thứ nhất tăng thêm: 4.4 = 16 đơn vị Tổng mới sẽ là 104 + 16 =120 Số thứ nhất có 4 phần, số thứ hai có 6 phần Tổng số phần bằng nhau: 4 + 6 = 10 (phần) Số thứ hai: 120:10.6 =72 Số thứ nhất: 104–72 = 32

Đáp số: 32 và 72 . Bài 5. Gọi số phải tìm là x

Ta có: x chia cho 3 dư 1 nên x + 2 chia hết cho 3 Tương tự ta có x + 2 chia hết cho 4; 5; 6 Do đó x + 2 là bội chung của 3; 4; 5; 6 Mà BCNN(3,4,5,6) = 60 nên x + 2 = 60k; (k = N*) Ta thấy k = 7 thì x = 418 : 11

Vậy số nhỏ nhất phải tìm là 418. Bài 6. Do a chia cho 120 dư 58; chia cho 135 dư 88 nên ta có: sa = 120m +58

(m,neN) la = 135n +88

9a = 1080m +522 (1)

18a = 1080n +704 (2) Lây (1) trừ (2), ta có a = 1080(m – n)-182 Do a, m, n + N nên m – ne N và do a bé nhất nên m – n = 1

Vậy a = 898. Bài 7. Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A thì a + b + c = A Ta có a, b, c tỉ lệ theo đủ nên

a b c a + b + c A 60A

(1) 243,1 (79179

J5 4 6 60) 60A 2 24A 60A 3

60A 3 45A

45A 60A 1 10A Puy ra 45 795 79 79 4 79 79 6 79 Mà tổng các bình phương của ba số a, b, c bằng 24309 nên

( 24A 2 1

79

( 79 ) “( 79 ) + 79 ) = 24309

2701

– A? = 24309 6241

A2 = 56169 A=237.

Bài 8. Gọi a, b, c là các chữ số của số có ba chữ số cần tìm (a, b,c+ N)

Vì mỗi chữ số a,b,c không vượt quá 9 và ba chữ số a,b,c không thể đồng thời bằng 0, vì khi đó ta không được số có ba chữ số nên:

1 Sa+b+C 527 Mặt khác số phải tìm là bội của 18 nên cũng là bội của 9 Do đó có 3 trường hợp sau:

a+b+c = 9 hoặc a + b + c = 18 hoặc a+b+c = 27 Lại có a, b, c tỉ lệ theo 1:2:3 nên

a b c a + b + a + b + c 3 1+2+

3 6 thi a Nếu a + b + c = 9 thì ======

b c 1 2 3 6

–

1

NICO NI

Oslo

Suy ra a, b = 3;c –

ra a

N( loại)

= 3

b c 18 Nếu a + b + c = 18 thì = – = –

1 2 3 6 Suy ra a = 3; b = 6; c = 9 Số cần tìm 396 hoặc 936 (nhận)

th: a Nếu a + b + c = 27 thì =======

b c 27 9 ‘1 2 3 62

27 Suy ra a = b = 9; c = > 9 (loại)

2 Vậy các số phải tìm là 396; 936. Bài 9. Từ 1000 đến 9999 có (9999 – 1002): 3-1 = 3000 số chia hết cho 3 | Tông của 3000 số này bằng (9999 + 1002).3000 : 2 = 16501500

Từ 1000 đến 9999 có (9996 – 1008) : 12+1 = 750 số chia hết cho 12 Tổng của các số này bằng 4126500. Ta biết số chia hết cho cho 3 mà không chia hết cho 4 tức là chia hết cho cho 3 mà không chia hết cho 12 Vậy từ 1000 đến 9999 có 3000 – 750 = 2250 số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 4 .

Tổng của tất cả các số này bằng 16501500 – 4126500 = 12375000. Bài 10. Có 9 số có 1 chữ số từ 1 đến 9 | Có 90 số có 2 chữ số từ 10 đến 99

Có 900 số có 3 chữ số từ 100 đến 999 Các số có 4 chữ số là từ 1000 đến 2006 có: 2006 – 1000 + 1 = 1007 (số) Số chữ số của số tự nhiên L là:

9 + 90.2 + 900.3 + 1007.4 = 6917 (chữ số). Bài 11. Gọi x là tử số (xsZ) thì mẫu số là x +8

Nếu thêm 2 đơn vị vào tử số ta có x + 2, và bớt mẫu số đi 3 đơn vị x + 5 Ta có: * *4 = X+2 3

4(x + 2) = 3(x +5)= x = 7 X + 5 4

Vậy phân số cần tìm là 1 Bài 12. Gọi số bé là x thì số lớn là: x + 12

Chia số lớn cho 5 ta được thương là: ***

Chia số bé cho 7 ta được thương là: – Do thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai 4 đơn vị nên ta có:

X+12 X

*712-=4 7(x +12) – 5x = 140 = 2x = 56 X = 28 Vậy số bé là 28, số lớn là: 28 + 12 = 40.

31 + 9a

a -1

Bài 13. Ta có 8b – 9a = 31 = b = 2

= a + 4 +

EN

Nên (a – 1): 8 = a = 8q+ 1 (q + N)

Suy ra 1 – 31+9(8q +1) 0.

4) = 99 +5

viac

86

25

37

25

V

8 Do đó: 11 a 23 11 8q+1 23

17 b. 29 17 9q +529

11 89 +1 + Với

11(9q +5) <17(8q+1) 9> 1799 +5

8q+1 23 + Với – < =23(9q + 5) > 29(8q+1) aqua

92 +5 29

38 86 Kết hợp lại 3 < < = q= 2;3

17 25 Vậy có 2 phân số thỏa mãn

23 32 Bài 14. Gọi số phải tìm là abcd (a, b, c, de ; 0 < a, b, c < 9; a = 0)

Xoá đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số ab. Theo đề bài ta có: abcd – ab = 4455 =100.ab + cd – ab = 4455

=cd +99.ab = 4455 = cd = 99.(45 – ab) Ta có (0 < cd < 99 nên 45 – ab phải bằng 0 hoặc 1. – Nếu 45 – ab = 0 thì ab = 45 và cd = 0 – Nếu 45 – ab =1 thì ab = 44 và cd = 99

Số phải tìm là 4500 hoặc 4499. Bài 15. Gọi số phải tìm là abc (a, b, c + N; a = 0; j < a, b, c < 9)

Khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải ta được số abc5 Theo bài ra ta có: abc5 = abc +1112 = 10.abc +5 = abc +1112

59.abc = 1 107 = abc = 123 Vậy số cần tìm là 123.. Bài 16. Gọi số phải tìm là ab (a, b c N; a = 0; 0< a, b < 9)

Viết thêm chữ số 0 xen giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số a0b Theo bài ra ta có: 10.ab = a0b 10.(10a + b)= 100a + b = b = 0 Thay b = 0 và số phải tìm có dạng a0 Viết thêm chữ số 1 vào bên trái số a) ta được số lao Theo bài ra ta có: la0 = 3.20 = 100+ a0 = 3.20

100 = 2.a0 a0 = 50 Vậy số cần tìm là 50. Bài 17.

Cách 1: Gọi số phải tìm là ab (a, b c N; 0 < a, b < 9; a = (0) Theo bài ra ta có: ab = 5 (a + b) 10.a + b = 5.a +5.b = 5a = 4b Từ đây suy ra b chia hết cho 5 Suy ray b bằng 0 hoặc 5 + Nếu b = 0 thì a = 0 (loại) + Nếu b= 5 thì 5 * a= 20; vậy a=4 Số phải tìm là 45. Cách 2: Gọi số phải tìm là ab (a, b + N: 0 < a, b < 9; a + 1) Theo bài ra ta có ab = 5 (a + b) Vì 5 x (a + b) có tận cùng bằng 0 hoặc 5 nên b bằng 0 hoặc 5 + Nếu b = 5 thay vào ta có:

a5 = 5(a + 5) 10.a + 5 = 5.a + 25 +5.a = 20 = 1 Thử lại 45: (4 + 5) = 5 Vậy số phải tìm là 45

+ Nếu b = 0 thay vào ta có: a0 = 5(a + 0) a a = 0 (loại). Bài 18.

Cách 1: Gọi số phải tìm là abc (a, b, c cN; 0< a, b, c < 9; a = () Theo bài ra ta có abc = 5 abc Ta có 5abc chia hết cho 5 nên abc chia hết cho 5 Suy ra chữ số tận cùng c = 0 hoặc 5 Xét trường hợp c= 0, ta có 5abc = 0 = abc = 5abc = 0 (loại) Xét trường hợp c= 5, ta có số phải tìm có dạng ab5 Thay c= 5 ta có:

abc = 5 abc 100 a +10 b + 5 = 25 ab $20 a + 2 b + 1 = 5ab Vì Sab chia hết cho 5 nên 2b +1 chia hết cho 5

Suy ra 2b có tận cùng bằng 4 hoặc 9, nhưng 2b là số chẵn nên b = 2 hoặc 7 – Trường hợp b = 2, ta có a25 = 5 x 4 x 2 Vế trái là số lẻ mà vế phải là số chẵn Vậy trường hợp b = 2 bị loại – Trường hợp b=7, ta có 20a + 15 = 35a Tính ra ta được a = 1 Thử lại: 175 = 5 x 7 x 5 Vậy số phải tìm là 175. Cách 2: Tương tự cach 1 ta có: ab5 = 25 ab Vậy ab5 chia hết cho 25, suy ra b = 2 hoặc 7 Mặt khác, ab5 là số lẻ cho nên a, b phải là số lẻ suy ra b = 7 Tiếp theo tương tự cách 1 ta tìm được a= 1

Số phải tìm là 175. Bài 19. Gọi chữ số phải tìm là xy, x, y + N, 0 < x, y < 9, x = 0

Ta có số đó gấp 6 lần tổng hai chữ số của nó nên 6( x + y)=xy Vì nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được một số theo thứ tự ngược lại với số đã cho do đó ta có phương trình vx = x. y+ 25 Theo bài ra ta có hệ phương trình

6(x + y) = xy S6x+6y = 10x + y _ [4x = 5y |yx = x. y+ 25 10y + x = x.y+ 25 +10y + x = x. y+ 25 (x – 5y

X

X

=

by 51

— y+ 25

5y“ – 45y + 100 = 0 ly = 5 hay y = 4 4 4

25 Với y = 5 thì x = 2 = 4 loại Với y=4 thì x = 5 nhận

Vậy số phải tìm là 54. Bài 20. Đáp số: 48.

Bài 21. Đáp số: 73. Bài 22. Đáp số: 25.

Bài 23. Đáp số: 42857. Bài 24. Đáp số: a) 22 và 44

44. b) 22 và 44 hoặc-22 và -44. Bài 25. Đáp số: a) 30 và 48
45. b) 30 và 48 hoặc -48 và -30. Bài 26. Đáp số: 18 và 30.

Bài 27. Đáp số: 8; 12; 5; 20. Bài 28. Đáp số: 48.

Bài 29. Đáp số: 25. Bài 30. Đáp số: 222.

Bài 31. Đáp số: 47. Bài 32. Đáp số: 746.

Bài 33. Đáp số: 198. Bài 34. Đáp số: 12 và 5 hoặc 4 và 13. Bài 35. Đáp số: 2800 và 800.