Nguồn website giaibai5s.com

DIỆN TÍCH XUNG QUANH, DIỆN TÍCH TOÀN PHẦN

  1. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Hình lăng trụ, hình hộp Chiều cao h, nửa chu vi đáy p

Diện tích xung quanh S = 2p.h Diện tích toàn t

S + 2S đáy 2. Hình trụ Chiều cao h, bán kính đáy R

Diện tích xung quanh S = 2TR.h

Diện tích toàn phần S = 2R.h + 2TR? 4. Hình nón | Chiều cao h, bán kính đáy R, đường sinh 1

| Diện tích xung quanh Sau = TER1

Diện tích toàn phần S = (R1 + TR” 5. Hình cầu Bán kính R

Diện tích xung quanh S= 3TR2

M

13T

A = Rum

  1. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Cho hình nón có bán kính đáy là 6 cm, chiều cao là 8 cm. Tính diện tích toàn phần hình nón.

Giải Tam giác IOM vuông tại 1 ta có

OM = VOIR + IM = 164 + 36 = 10(cm) Diện tích xung quanh hình nón là

Son = S.+S; = tr(1+r) = 76(10+6) = 960(cm) Vậy S = 96 = 301 (cm) (vdt). Ví dụ 2. Người ta muốn tạo một cái khuôn đúc dạng

hình trụ, có chiều cao bằng 16 cm, bán kính đáy bằng 8cm, mặt đáy trên lõm xuống dạng hình nón = 8 cm và khoảng cách từ đinh hình nón đến mặt đáy dưới hình trụ bằng 10 cm (như hình vẽ bên). Tính diện tích toàn bộ mặt khuôn (lấy t = 3,14).

(Tuyển sinh lớp 10 tỉnh Đồng Tháp năm 2019-2020)

Giai Hình trụ có bán kính r = 8 cm và chiều cao h = 16 cm nên diện tích xung quanh hình trụ là S = 2th = 2.8.16 = 256T” (cm) Diện tích 1 mặt đáy của hình trụ là S = T = 1.8° = 64 (cm*) Phần hình nón bị lõm xuống có chiều cao h = 16 – 10 = 6 (cm) và bán kinh đáy = 8 cm Đường sinh của hình nón là 1 = 1 + h = 8 – 6″ = 10(cm) Diện tích xung quanh cua hình nón là S = T = 1.8.10 = 80 (cm) Diện tích toàn bộ mặt khuôn là:

S=S, +S,+S., = 2567 +617 + 801 = 4001 = 1256 (cm”) Vậy diện tích toàn bộ mặt khuôn là 1256 (cm?). Ví dụ 3. Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông. Tính diện tích xung quanh của hình nón.

Giải Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên A – B = 45” và SH là phân giác của góc ASB nên tam giác SHB cũng vuông cân tại H hay SH = HB = a Do do SB = a v2 Diện tích xung quanh hình nón

.

.

.

.

.

.

-190- (13 [

В

Sxq = mrl = 1.a. a V2 = ta’ V2 Vậy S = a/2 (4vdt). Ví dụ 4. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 5 cm và chiều cao bằng 6 cm.

Mặt phẳng (a) song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng 3 cm cắt hình trụ. Tính diện tích thiết diện của hình trụ với (a).

Giải Gọi ABCD là thiết diện và I là trung điểm AD Ta có OIL AD do đó OI chính là khoảng cách từ 0 tới (0) Tam giác IOA vuông tại I nên

IA = VOA’ – 10% = 4 cm

DA = 2.1A = 8 cm Thiết diện ABCD là hình chữ nhật nên

dt(ABCD) = AD.AB = 6.8 = 48cm Vậy diện tích thiết diện của hình trụ với (x) là 48 cm. Ví dụ 5. Một hình nón có chiều cao gấp 3 lần bán kính

đáy của nó. Một hình trụ nội tiếp trong hình nón đã cho. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón, biết rằng khối trụ có thể tích là “c (d) và chiều cao cua nó bằng đường kính đáy của đường tròn.

Giai Gọi bán kính đáy của hình nón là R, (R > ()) Suy ra chiều cao của hình nón là 3R chiều cao của hình trụ là 2R Gọi bán kính của hình trụ là r thì HB =

9

| 1

DC SD – – – – AH SH

)

R – -=

r

– R

r=

1

[Do thể tích của khối trụ bằng 8 nên ta có

( 2R = 16R = 2

9

Suy ra đường sinh của hình nón là l= SH + AH = 6 + 2 = 2/10 (dm) Diện tích xung quanh của hình nón là

S = ARI = 1.2.2V10 = 4/101 (dm’) Vậy diện tích xung quanh của hình nón

S = 4V101 (dm).

Ví dụ 6. Một người thợ cơ khí vẽ bổn nửa đường tròn

trên tấm nhôm hình vuông cạnh 1 m. Sau đó cắt thành hình bông hoa (phần tô đậm trong hình vẽ). Hãy tính khối lượng của phần nhôm bị cắt bỏ, biết rằng mỗi mỏ nhôm có khối lượng 10 kg.

Giải Nhận xét: Diện tích của nửa cánh hoa sẽ bằng diện tích của một phần tư đường tròn trừ đi diện tích tam giác ABC (xem hình vẽ bên) Diện tích của nưa cánh hoa là S=-=-3,14.0,5% 0,57 = (0),07125 (mo) Bo 0.5

m c Diện tích của bông hoa cắt được là S’ = 8S = 8.0, 07125 = 0,57 (mo) Diện tích của phần nhân bị cắt bỏ là l” – 0,57 = (0,43 (mo) Khối lượng của phần nhôm bị cắt bỏ ), 43.10 = 4,3 (kg)

Vậy khối lượng của phần nhôm bị cắt bỏ 4,3 (kg). Ví dụ 7. Một cái mũ bằng vai của nhà ao thuật với kích thước như hình vẽ. Hãy tính tổng diện tích vải cần để làm cái mũ đó biết răng vành mô hình tròn và ống nhà hình trụ.

Giai Ong mũ là hình trụ với chiều cao h = 35 cm,

35 – 2.10 bán kính đáy R =? – = 7,5 cm

2 Diện tích vai để làm ống mũ là

S, = 21Rh – TR” = 21.7.5.35 + 7.7,5o = 581,251 (cm) Diện tích vải để là vành mũ là S = TT.17,5% – 7,5 = 250T (cm3) Tổng diện tích vải cần để là cái mũ là 506, 25T + 250T = 831,25T (cm*).

35 cm

*10 cm

35 cm

BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Một bóng đèn huỳnh quang dài 120 cm, đường

kính của đường tròn đáy là 2 cm được đặt khít vào một ống giấy cúng dạng hình hộp chữ nhật (xem hình vẽ). Tính diện tích phần giấy cứng dùng để làm hộp (hộp hở hai đầu và không tính lê, mép).

Bài 2. Một cái xô bằng inox có dạng như hình vẽ.

Các kích thước (tính cùng đơn vị dài) cũng được cho kèm theo. Tính diện tích xung quanh của cái xô.

Bài 3. Tính diện tích vai cần có để may

một cái mũ có dạng và kích thước (cùng đơn vị đo) được cho bởi hình vẽ bên (không kể riên, mép).

30/1

Bài 4. Một kim tự tháp ở Ai Cập có dạng hình chóp tứ giác đều. Kim tự tháp

này có chiều cao 150 m, cạnh đáy dài 220 nm. Hãy tính diện tích xung

quanh của kim tự tháp này. Bài 5. Trong một cái hộp hình trụ, người ta bỏ vào hộp vừa khít ba quả bóng

Tennis, biết rằng đường kính đáy của hộp bằng đường kính của quả bóng Tennis. Gọi S là tổng diện tích của ba quả bóng, S2 là diện tích xung

quanh của cái hộp. Tính tỉ số diện tích 2.

Bài 6. Một công ty sản suất bóng tennis muôn thiết kế một hộp làm bằng

giấy cứng để đựng 4 quả bóng tennis có bán kính bằng r, hộp đựng có dạng hình hộp chữ nhật theo hai cách sau: Cách 1: Mỗi hộp đựng được 4 quả bóng tennis đặt dọc thành bốn lớp,

đáy là hình vuông cạnh 2. Cách 2: Mỗi hộp đựng 4 quả bóng tennis được xếp thành một lớp, đáy của hộp là hình vuông cạnh

bằng 4. Cách 2: Gọi S,S, theo thứ tự là diện tích toàn phần của hộp theo cách 1

và cách 2. Tính tỉ số P.

Bài 7. Cho một tờ giấy hình chữ nhật với

chiều dài 12 cm và chiều rộng 8 cm. Gấp góc bên phải của tờ giấy sao cho sau khi gấp, đỉnh của góc đó chạm đáy dưới như hình vẽ. Gọi độ dài nếp gấp là y thì giá trị

nhỏ nhất của y là bao nhiêu? Bài 8. Người ta xếp 7 viên bị có cùng bán kính r vào một cái lọ hình trụ sao

cho tất cả các viên bị đều được tiếp xúc với đáy, viên bi năm chính giữa tiếp xúc với 6 viên bị xung quanh và mỗi viên bị xung quanh và mỗi viên bị xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Hãy tính diện tích của đáy lọ?

17 mm

Om

Bài 9. Một tấm bìa hình vuông, người ta cắt bỏ ở mỗi góc của tấm bìa một

hình vuông có cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một hình hộp chữ nhật không nắp. Nếu dung tích của hộp bằng 4800 cm thì cạnh của tấm bìa đó bằng

bao nhiêu? Bài 10. Anh Bình đứng tại vị trí A cách một đài

kiểm soát không lưu 50 m và nhìn thấy đỉnh C của đài này dưới một góc 55° so với phương nằm ngang (như hình vẽ bên). Biết khoảng cách từ mắt của anh Bình đến mặt đất bằng 1,7 1. Chiều cao BC của đài kiểm soát không lưu

H55 bằng bao nhiêu? (làm tròn đến chữ số thập phần thứ hai)

(Tuyển sinh lớp 10 Tp. Cần Thơ năm 2019-2020) Bài 11. Một hình nón có góc ở định bằng 60°, đường sinh bằng 2a. Tính

| diện tích xung quanh của hình nón. Bài 12. Cho hình nón có bán kính đáy là 3, chiều cao là 4. Tính diện tích xung

quanh hình nón. Bài 13. Một hình nón có chiều cao 6 và bán kính đường tròn đáy là 8. Tính ti

số của thể tích và diện tích xung quanh của hình nón. Bài 14. Hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh bằng 43

và thiết diện qua trục là tam giác đều. Tính diện tích toàn phần. Bài 15. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao | bằng 2a. Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S có đáy là hình

tròn nội tiếp ABCD. Bài 16. Một khối nón có bán kính đáy là 6 cm, chiều cao là 6 cm. Một nhặt

phăng đi qua điểm H trên đường cao và vuông góc với của đường cao chia khối nón ra thành 1 khối nón và 1 khối nón cụt. Tính tỉ số diện tích xung quanh của hình nón và hình nón cụt tạo thành, biết tỉ số đường cao

của khối nón tạo thành và khối nón đã cho là . Bài 17. Hình trụ được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB.

Biết AC = 2a 2 và ACB = 45°. Tính diện tích toàn phần S của hình trụ. Bài 18. Một công ty muốn thiết kế bao bì để đựng sữa với thể tích 1 dm”.

Bao bì được thiết kế bởi một trong hai mô hình sau: dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông hoặc dạng hình trụ và được sản xuất cùng một nguyên vật liệu. Hỏi thiết kế theo mô hình nào sẽ tiết kiệm được nguyên

vật liệu nhất? Và thiết kế mô hình đó theo kích thước như thế nào? Bài 19. Hai bánh xe nối với nhau bởi một dây tời. Bánh xe lớn có kích thước 15

cm, bánh xe nhỏ có bán kính 10 cm. Bánh xe lớn quay được 30 vòng trong 1 phút. Hỏi bánh xe nhỏ quay được bao nhiêu vòng trong một phút?

Bài 20. Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích của hình thứ nhất và diện tích

của hình thứ hai tỉ lệ với 4 và 5, diện tích hình thứ hai và diện tích hình thứ ba tỉ lệ với 7 và 8, hình thứ nhất và hình thứ hai có cùng chiều dài và tông các chiều rộng của chúng là 27 cm, hình thứ hai và hình thứ ba có cùng chiều rộng, chiều dài của hình thứ ba là 24 cm. Tính diện tích của mỗi hình chữ nhật đó.

HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1. Diện tích của phần giấy cứng để làm hộp chính là diện tích xung

quanh của hộp này. Chu vi của đáy hộp là 2.4 = 8 (cm)

Diện tích giấy để làm hộp là S = 8.12 (cm*). Bài 2. HD: Nếu úp ngược lại thì cái xô có hình nón cụt, hãy tính diện tích xung quanh của nó thông qua diện tích của hai hình nón khác

S = 1.12.(36 + 108) – 1.9.108 = 7561. Bài 3. S = (T.15 – 1.5°) – 1.5.30 = 350 (đvdt). Bài 4. S = 4 V150 + 110° 220 = 4400346 (mở). Bài 5. Tổng diện tích của ba quả bóng là S = 2.4 = 12Tr

Diện tích xung quanh của cái hộp là S = 2tr.6″ = 12Tr Suy ra 2 =

Bài 6. Ta có: S = 2.(2×2)+4.08.2x) = 727; S = 2.(41.4x) + 4.(4x2x) = 64r?

Suv ra s

72r-

9

” S., 64r.g Bài 7. Gọi các điểm như hình vẽ, ke PQ

vuông góc với CD. Đá N chạm đáy CQ thì MB > MC nên x > 4 Hai tam giác MNC và NPQ đồng dạng

– MN NC _ x NC nên ta có:

  1. NP PQPB8

.

B

x” -(8 – x)”

y = =

– Wy2 – x Ta chú ý thêm điều kiện PB<AB=12= Suy ra 18 – 6,5 < x <8. Ta suy ra min y = f(6) = 63.

X-4 -x <12=18–6,5<x<18+65

HK

hieu ca

2

Bài 8. Bán kính của đáy lọ là R = 1 + 2y = 3 Diện tích của đáy lọ là S = R = (3x) = 9 .

4800 Bài 9. Diện tích của đáy hộp là 1 = 400 (cm)

12 Suy ra cạnh của đáy của hộp là 20 (cm)

Cạnh của tấm bìa hình vuông là 20 + 2.12 = 44 (cm). Bài 10. Xét AHKC vuông tại K ta có

tan CHK = CH = CK = HK. tan CHK = 50. tan 55″ Chiều cao BC của đài kiểm soát không lưu bằng

BC = CK+KC 273,11(m). Bài 11. Tam giác SAB cân tại S và ASB = 60 nên đều

Do đó bán kính đáy r = a Vậy diện tích xung quanh hình nón là:

Sxy = arl = 7.a.2a = 2na”. Bài 12. Tam giác IOM vuông tại I ta có:

OM = VOI+ IM” = V9+16 = 5 Diện tích xung quanh hình nón là

S = url = 13.5 = 151 Vậy S = 15m (đvdt). Bài 13. Ta có: 1 = r2 + h = 6 +8 = 100 =1 = 10

Diện tích xung quanh hình nón là S = Trl = 1.8.10 = 80T Tỉ số của thể tích khối nón V Th = 1.8.6 = 128T Do đó: V 1288

Sx 80 5 V 8

Vậy s5

.

.

.

.

.

Bài 14. Gọi I là bán kính đường tròn đáy, đường

kính AB = 2r, H là tâm đường tròn đáy của hình nón. Ta có tam giác SAB đều cạnh 2r nên

SH = 2 r 13 =r73

2 Lại có: tam giác SAH vuông tại H, đường cao HI

1 1 1 1 1 1 Nên

5 =r=2= AB = 4 HI HA? HS23 r 3r2

+

2

.C

.

Diện tích toàn phần S = S + S = 1 + 1 = 1.2.4+ T.2} = 12

Vậy S = 12T (4vdt). Bài 15. Ta có ABCD là hình vuông cạnh

a nên đường kính đường tròn đáy 2 = a=r=: chiều cao của hình nón chính là chiều cao hình chóp nên h = 2a má rí+h= ľ” l= Vr? + hp

1 CU

– ved +(2.) – av77

la )

a avi7 = TƯl = 1.4.4

na 17

Diện tích xung quanh hình nón S

101

Vậy S = Ta” 7 (4vdt). Bài 16. Gọi R, Y lần lượt là bán kính của đường tròn

lớn và đường tròn nhỏ. Ta có

V

r

SH

1

R

SO

3

– SO = 2

…………….B

Tau1 giác SHI vuông cân tại H và SH = HI = 2 Nên SI = 2/2 Tam giác SOB Vuông cân tại O và SO = OB = 6 nên S0 = 62 Diện tích xung quang của hình nón đỉnh S đáy là đường tròn (O), R) là:

S = A.R.SB = 361V2 Diện tích xung quang của hình nón đinh S đáy là đường tròn (H, r) là:

S = .r.SI – 1112 Diện tích xung quang của hình nón cụt S = S – S = 32TV2 Tính tỉ số diện tích xung quanh của hình nón và hình nón cụt tạo thành L. S 4012 1 4. S 32AV2 8 Vậy S 1

Xq

8

Bài 17. Tam giác ABC vuông tại B và ACB = 15 nên là tam giác vuông cân

tại B:

BC = AB = AC. sin 45o = 2av2. V2 = 2a Do đó Sxe = 2trl + 2r* = 2tr(1+r)

21.2a(2a + 2a) = 161a2 Vậy S =16cao (đvdt). Bài 18. Xét mô hình hình hộp chữ nhật, đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao h

Ta có: V = ah =1 Và diện tích xung quanh

S, = 2a2 + 4ah = 2a + 2ah + 2ah 2 3.32a2.2ah.2ah = 6. (ah)2 = 6 Dấu “=” xảy ra khi a = h Xét mô hình hình trụ có bán kính đáy là r và chiều cao là h Ta có V = Troh =1 Và diện tích xung quanh S = 2tr + Th + Trh 23/

2 4h” = 3/2 < 6 Dấu “=” xảy ra khi h= 2r

Vậy mô hình trụ có bán kính đáy là r và chiều cao là h = 2r, Bài 19. Trong cùng một thời gian, số vòng quay và chu vi của bánh xe là hai

đại lượng tỉ lệ nghịch. Nêu gọi x là số vòng quay được trong 1 phút của bánh xe nhỏ, theo tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch ta có:

X 21.15 3 3.30 30 2.10^2 X= 2 = 45(vòng)

Vậy trong vòng 1 phút bánh xe nhỏ quay được 45 vòng. Bài 20. Gọi diện tích ba hình chữ nhật lần lượt là S,S,S, , chiều dài, chiều

rộng tương ứng là 0,;d,rdạyr, theo đề bài ta có:

3 . 3. 4 .2 Zn

= UV

= 24

= và d = d); r + y = 27; Y = ra, d = 24; c S, 5S, 3 var dy Vì hình thứ nhất và hình thứ hai cùng chiều dài

Si _4_r1rir, ri + r, _ 27 – 3

S, 5 r2 4 5 9 9 Suy ra chiều rộng r = 12 cm; r, = 15 cm Vì hình thứ hai và hình thứ ba cùng chiều rộng S. 7 d.

7d2 7.24

= 21(cm) S, 8 d – 8 8 Vậy diện tích hình thứ hai S = d.r, = 21.15 = 315 (cm*) Diện tích hình thứ nhất S = 3s, -1.315 = 252 (cm…)

=

>

c.

=

Diện tích hình thứ ba S = S = 315 = 360 (cm*).

5

Luyện thi vào 10: Chủ đề 13: Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần
Đánh giá bài viết