1. KIẾN THỨC CÀN NĂM 1Tam giác:

– Tam giác có chiều cao h, cạnh đáy a thì diện tích S= a.h

– Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông a, b thì diện tích S a. b 2. Hình chữ nhật:

Hình chữ nhật có hai kích thước a, b. Chu vi: P=2(a + b)

Diện tích: S = ab 3. Hình thang: Hình thang có độ dài hai cạnh đáy là a, b chiều cao h thì diện tích

S=2(a+b)h

4. Hình bình hành: Hình bình hành có độ dài cạnh đáy là a chiều cao h thì cliện tích

S = a.h 5. Hình tròn:

Hình tròn có bán kính R thì diện tích S = TER 6. Hình quạt:

| Hình quạt có góc ở tâm a, bán kính R thì diện tích S= TR”

360

1. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 100 m. Tính chiều dài và chiều rộng của miếng đất, biết rằng 5 lần chiều rộng hơn 2 lần chiều dài 40 m.

(Đề TS vào lớp 10 Tp HCM năm 2017-2018)

Giải Nửa chu vi hình chữ nhật 50 m Cách 1. Gọi chiều dài là x (m) suy ra chiều rộng là 50 – x (m) Điều kiện: 0 < x < 50 Năm lần chiều rộng là 5(50 – x)(m), hai lần chiều dài là 2x (n) Theo đề bài ta lập được phương trình:

N

5050 – x)- 2x = 40 = 250 – 5x – 2x = 408 x = 30 (thỏa mãn điều kiện) Vậy chiều dài là 30 m và chiều rộng là 20 m. Cách 2. Gọi chiều rộng là x (m) suy ra chiều dài là 50 – x (m) Điều kiện: 0 < x < 50 Năm lần chiều rộng là 5x (m), hai lần chiều dài là 2(50 – x) (m) Theo đề bài ta lập được phương trình: 5x – 2(50 – x) = 40 – 5x – 100 + 2x = 40 ex = 20 (thỏa mãn điều kiện) Vậy chiều rộng là 20 m và chiều dài là 30 m.. Cách 3. Gọi x, y (1) lần lượt là chiều rộng và chiều dài mảnh đất Điều kiện: 0 < x, y< 50 Do 5 lần chiều rộng hơn 2 lần chiều dài 40 m nên 5x – 2y = 40 (1) Chu vi miếng đất là 100 m nên 2(x + y) = 100 (2) Theo đề bài ta có hệ

2(x + y) = 100 2x + 2y = 100 12x + 2y = 100 sy = 30 15x – 2y = 40 15x – 2y = 40 17x = 140

x = 20 Vậy chiều rộng là 20 m và chiều dài là 30 m. . Ví dụ 2. Lúc 6 giờ sáng bạn An đi xe đạp từ nhà (điểm A) đến trường (điểm

B} phai leo lên và xuống một con dốc (như hình vẽ bên dưới). Cho biết đoạn thẳng AB dài 762 1, góc A = 6”, góc B = 4”. a) Tính chiều cao h của con dốc. b) Họi bạn An đến trường

lúc mấy giờ? Biết rằng tốc độ trung bình lúc lên dốc là 4 km/h và tốc độ

762 – x trung bình lúc xuống dốc là 19 km/h.

(Đề TS vào lớp 10 Tp HCM năm 2017-2018)

Giải Cách 1. Gọi độ dài đoạn đường AH = x (m) (0 < x < 762) thì

BH = 762 – X (m) Tam giác AHC vuông tại H, ta có:

CH tan A = 40 = CH = AH.tan A hay h = x.tan6′ (1)

AH Tam giác BHC vuông tại H, ta có:

CH tanB = = CH = BH. tanB hay h = (762 – x).tan4″ (2)

BH Từ (1) và (2) ta có: x. tan 6″ = (762 -x). tan 49

762.tan 40 ox.(tan 6″ + tan 1′) = 762. tan 4″ x = –

tan 6′ + tan 10

–

A

x

B

H

Do đó h = x. tan 6 =

762. tan 40

crtan 6o – 32 (m)

tan 6° +tan 4° Vậy chiều cao của con dốc h = 32 (m). Cách 2. Ta có: AH = h và BH = 1

tan A

tan B

1

tanah

+

+32 (m)

hh Mà AB = AH+BH =

tan A tan B (tan A tan B)

1 1 1 1 Do đó h = AB: h = AB:ltan A + tan B) = 762 😐

‘tan 6 tan 4 Vậy chiều cao của con dốc h = 32 (m). b) Tam giác AHC vuông tại H, ta có: sin A ==

CH

– AC CH 32 AC =

24 = 306 (m)=0,306 (km) sin A sin 60

Tương tự CB – 32

Tương tự CB=

= 459 (m) = 0,459 (Am)

–

–

+

20,306 0,459 Thời gian An đi từ nhà đến trường là t=0 =0,1 (h)=6 (phút)

4

19 Vậy An đến trường vào khoảng 6 giờ 6 phút. Vid dụ 3. Có một vụ tai nạn ở vị trí B tại chân của một ngọn núi (chân núi

có dạng đường tròn tâm 0, bán kính 3 km) và một trạm cứu hộ ở vị trí A (tham khảo hình vẽ). Do chưa biết đường đi nào để đến vị trí tai nạn nhanh hơn nên đội cứu hộ quyết định điều hai xe cứu thương cùng xuất phát ở trạm đến vị trí tai nạn theo hai cách sau: Xe thứ nhất: đi theo đường thẳng từ A đến B, do đường xẩu nên vận tốc trung bình của xe là 40 km/h.

Xe thứ hai: đi theo đường thẳng từ A đến C với vận tốc trung bình | 60 km/h, rồi đi từ C đến B theo đường cung nhỏ CB ở chân núi với vận tốc trung bình 30 km/h (3 điểm A, 0, C thẳng hàng và C ở chân núi). Biết đoạn đường AC dài 27 km và AB0 = 900. a) Tính độ dài quãng đường xe thứ nhất đi từ A đến B. b) Nếu hai xe cứu thương xuất phát cùng một lúc tại A thì xe nào thì xe nào đến vị trí tai nạn trước? (Đề TS vào lớp 10 tỉnh Bà Rịa-Vũng Tàu năm 2019-2020)

Giải a) Ta có OA = AC + R = 27+3 = 30 (km)

Xét AABC vuông tại B, ta có: OA2 = OB^ + AB? (Py-ta-go) Suy ra AB = VOA? – OB = -30° – 3% = 9/11 (km)

40

O.—

60

1. b) Thời gian xe thứ nhất đi từ A đến B là: 9V11

= (0,75 (giờ) Thời gian xe thứ hai đi từ A đến C là

| t = 0,45 (giờ) Xét SABO vuông tại B, ta có: tan Ô= AB = 9/11 số = 84.39

OB 3 Độ dài đoạn đường cung tròn từ C đến B là

1. R._ _3.1.84,34

224,41 (km)

180 180 Thời gian đi từ C đến B là t = 1 = 0,15 (giờ) Suy ra thời gian xe thứ hai đi từ A đến B là

t = t + t = 0, 45 + 0,15 = 0,6 (giờ) Vậy xe thứ hai đến điểm tai nạn trước xe thứ nhất. Ví dụ 4. Một người quan sát đứng cách một tòa nhà khoảng 25 nm (điển A).

Góc nâng từ chỗ anh ta đứng đến nóc tòa nhà (điểm C) là 36° (hình vẽ). 1. Tính chiều cao BK của tòa nhà (làm tròn đến 0,1 mét). C b. Nếu anh ta đi thêu 5 m nữa, đến vị trí

D nằm giữa A và B, thì góc nâng từ D dển nóc tòa nhà là bao nhiêu (làm tròn đến phút)

Giai

30

sollte

fimlܐ

1. a) Tai11 giác ABC vuông tại B nên tan A =

TAB Suy ra BC = AB. tan A = 25.tan36″ = 18,2 (m)

Vậy chiều cao BC của tòa nhà là BC = 18,2 (m) b) Nếu anh ta đi thêm 5 m nữa thì AB = 20 (m)

BC 18,25 A = 42′ 18′

Tam giác ABC vuông tại B nên tan A =

AB 20 Vậy góc nâng từ D đển nóc tòa nhà là A = 1218”. Ví dụ 5. Gia đình bạn Hương qua một khu đất hình chữ nhật để cất nhà.

Biết chiều dài gấp 4 lần chiều rộng. Theo qui hoạch, khi xây phải chùa 21 (theo chiều dài phía sau để làm giếng trời và 4 m phía trước (theo chiều dài) để trồng cây xanh nên diện tích xây dựng chỉ bằng 75% diện tích khu đất. Họi chu vi lúc đầu của khu đất?

Giai Gọi x (1) là chiều rộng mảnh đất thì chiều dài là 4x (m) Điều kiện: x > 0

–

0.0

Gieng trời

4 m

Chiều dài phần đất xây dựng 4x – 2 – 4 = 4x – 6 (m) Diện tích phần đất xây dựng

x(4x – 6) (mo) Ta có phương trình

Trồng cây x(4x – 6),

% = 75% X. 4x

1.100 = 75 100(4x – 6) = 75.4x = x = 6

4x Chu vi mảnh đất là (x + 4x).2 = (6 + 4.6).2 = 60 (m). Ví dụ 6. Gia sư CD = h là chiều cao của T

tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A, B trên mặt đất sao cho ba điểm A, B và C thẳng hàng. Ta đo khoảng cách AB và các góc CAD, CBD. Chẳng hạn ta đo được AB = 24 m, CAD = u = 63″; CBD = B = 48″. Hãy tính chiều cao h của tháp? Giai

CD Tam giác ADC vuông tại C ta có: tan A =

AC =

tan A

11= 63

A

1 = 48′ 24 m

B

CD

h tan 630

CD

h

BC – CD

tan B

tan 480

Tau11 giác BDC vuông tại C ta có: tan B =

BC h

h Lại có BC – AC = AB =

tan 48″ tan 630

.

.

tan 620 – 25

sh

ahl_1_-_1__)=25 h = 25: _1_–

= 63,96 (m) 18″ tan 63″

(tan 480 tan 63.) Vậy chiều cao của tháp là h = 63, 96 (m). Ví dụ 7. Một tấm bìa dạng tam giác vuông có độ dài ba cạnh là các số

nguyên. Chứng minh rằng có thể cắt tấm bìa thành sáu phân có diện tích bằng nhau và diện tích mỗi phần là số nguyên.

Giải Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác vuông ABC, c là cạnh huyện Ta có: a + b = c, a, b, ce N, diện tích tam giác ABC là: S.AP Trước hết ta chứng minh ab chia hết cho 12 + Chứng minh b:3 Nếu cả a và b đồng thời không chia hết cho 3 thì a+b chia 3 dư 2 Suy ra số chính phương có chia 3 dư 2, vô lý

ab

1

.

.

.

+ Chứng minh ab:4 : Nếu a, b chăn thì ab:4 Nếu trong hai số a, b có số lẻ, chăn hạn a le Lúc đó cle. Vì nếu c chắn thì 2:4, trong lúc ao + bo không thể chia hết cho 4 . Đặt a = 2k +1; C = 2h +1, k, hc N. Ta có:

bo = (2h + 1)2 – (2k +1) = 41h – k)(h+k+1)

= 4(h – k)(h-k+1) + 8k(h – k):4 Suy ra b: 4 Nếu chia cạnh AB (chẳng hạn) thành 6 phần bằng nhau, nối các điểm chia với C thì tam giác ABC được chia thành 6 tam giác, mỗi tam giác

này có diện tích bằng 1 là một số nguyên. Ví dụ 8. Một người thợ cơ khí vẽ bốn nửa đường tròn trên

tấm nhôm hình vuông cạnh 1 m, sau đó cắt thành hình bông hoa (phần tô đậm trong hình vẽ). Hãy tính diện tích của bông hoa cắt được?

Giai Nhận xét: Diện tích của nửa cánh hoa sẻ bằng diện tích của một phần tư đường tròn trừ đi diện tích tam giác ABC (xem hình vẽ bên) Diện tích của nửa cánh hoa là

1.3,14.0,50 -1.0,5° = 0,07125 (m“) Diện tích của bông hoa cắt được là

B 0,07125.8 = 0,57 (m).

0,5 in Ví dụ 9, Một miếng nhôm hình vuông cạnh 1,2 m.

được người thợ kẻ lưới thành 9 ô vuông nhỏ có diện tích bằng nhau. Sau đó tại vị trí điểm A và A vẽ hai cung tròn bán kính 1,2 m; tại vị trí điểm B và B vẽ hai cung tròn bán kính 0,8 m; tại vị trí điểm C và C vẽ hai cung tròn bán kính 0,4 m. Người này cắt được hai cánh hoa (quan sát một cánh hoa được tô đậm trong hình). Hãy tính diện tích phân tôn dùng để tạo ra một cánh hoa?

Giải Suy ra diện tích của cánh hoa là 1.1,2 1

11.0.

4 1 S=1

.0,42 = 0,3648 (m2).

2

–

—

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

—

–

—

–

Ví dụ 10. Một miếng bìa hình chữ nhật có chiều rộng bằng 2 chiều dài. Nếu

chiều rộng giảm đi 1cm và chiều dài giảm đi 4 cm thì diện tích của nó bằng nửa diện tích ban đầu. Tính chu vi miếng bìa đó.

(Tuyển sinh lớp 10 Tp Đà Nẵng năm 2016-2017)

Giải Gọi chiều dài của hình chữ nhật đó là x (cm) (x > 4) Vì chiều rộng bằng ở chiều dài nên chiều rộng của hình chữ nhật là ở x (cm)

Diện tích của hình chữ nhật ban đầu là 2x Khi giảm chiều rộng 1cm và giảm chiều dài 4 cm thì diện tích của hình

13

chữ nhật mới là: 12x – 1)(x – 4) (cm2)

Diện tích hình chữ nhật mới bằng một nửa diện tích ban đầu nên ta có

[x = 10 1 3 2 3 17 phương trình: 3x – 1|(x – 4)= -.- x

x – X +. 4=0 2′ 5 10 5

( 3

Đối chiếu điều kiện ta có x = 10. Do đó chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu lần lượt là 10 cm và 10 = 6 cm

Vậy chu vi miếng bìa là 2.(10 + 6) = 32 (cm). BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Ông Khôi sở hữu một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 100 m.

Ông ta định bán mảnh đất đó với giá thị trường là 15 triệu đồng trên một mét vuông. Hãy xác định giá tiền của mảnh đất đó biết rằng chiều dài gấp bốn lần chiều rộng?

Đề TS vào lớp 10 tỉnh Kom Tum năm 2019-2020 Bài 2. Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 675 mo và có chu vi bằng 120 m. Tìm chiều dài và chiều rộng của khu vườn?

Tuyển sinh lớp 10 TP Hà nội 2007-2008 Bài 3. Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông t rằng nếu

tăng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích sẽ tăng thêm 36 cm có n nếu giam

một cạnh 2 cm và cạnh kia giam 4 cm thì diện tích giảm đi 26 cm. Bài 4. Một hình chữ nhật có chu vi là 160 cm và có diện tích 1500 m. Tính

các kích thước của nó. Bài 5. Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 360 mo. Nếu tăng chiều rộng | 3m và giảm chiều dài 4 m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính chiều dài

và chiều rộng của mảnh đất.

Tuyển sinh lớp 10 THPT Tỉnh Trà Vint 2009-20010 Bài 6. Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 900 1 và chu vi 122 m. Tìm chiều dài và chiều rộng khu vườn

Đề TS lớp 10 THPT TP Huế 2008-2009 Bài 7. Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 675 m và chu vi bằng 120 m. Tìm chiều dài và chiều rộng của khu vườn?

Đề TS lớp 10 chuyên TPHCM 2007-2008 Bài 8. Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45 m.

Tính diện tích thửa ruộng, biết rằng nếu chiều dài giảm 2 lần và chiều rộng tăng 3 lần thì chu vi thửa ruộng không thay đổi.

Tuyển sinh lớp 10 Nghệ An 2009-2010 Bài 9. Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m. Tính diện tích của

thửa ruộng biết rằng nếu chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì

chu vi thửa ruộng không đổi. Bài 10. Cho một tam giác vuông. Khi ta tăng mỗi cạnh góc vuông lên 2 cm

thì diện tích tăng 17 cm. Nếu giảm các cạnh góc vuông đi một cạnh đi 3 cm một cạnh đi 1 cm thì diện tích sẽ giảm đi 11 cm. Tìm các cạnh của

tam giác vuông đó? Bài 11, Một hình chữ nhật ban đầu có chu vi bằng 2010 cm. Biết rằng nếu

tăng chiều dài cua hình chữ nhật thêm 20 cm và tăng chiều rộng thêm 10 cm thì diện tích hình chữ nhật ban đầu tăng lên 13300 cm. Tính chiều

dài, chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu. Bài 12. Một cột đèn cao 7 m có

bóng trên mặt đất dài 4m. Gần đây có một tòa nhà cao tầng có bóng trên mặt đất là 80 m. Em hãy cho biết toà

7m nhà đó có bao nhiêu tầng,

80 HA | biết rằng mỗi tầng cao 2 m?

4m Bài 13. Một người quan sát ở trạm hải đăng cao 100 m so với mặt nước biển,

nhìn một chiếc tàu ở xa với góc 4 so với phương ngang (hình minh họa bên dưới). Hỏi khoảng cách từ tàu đến chân ngọn hải đăng dài bao nhiêu hai lí?

(1 hai lí = 1,852 km) Bài 14. Một chiếc cầu được thiết kế như hình

vẽ bên có độ dài AB = 40 m, chiều cao MK = 3 m. Hãy tính bán kính của đường tròn chứa cung AMB AMB.

DOOD OOOO

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

OCTUB

25cm)

Bài 15. Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 8 m.

diện tích bằng 240 m. Tính chu vi khu vườn đó. Bài 16. Cầu thang bộ của big C Nguyễn Kiệm (ảnh minh họa như hình 1 bên

trái) gồm 20 bậc có kích thước và mô tả như hình 2 (bề rộng bậc thang là 60 cm, chiều cao giữa hai bậc là 25 cm). Nếu siêu thị cho lắp thang máy (ảnh minh họa như hình 1 bên phải) thì chiều dài của cầu thang máy là bao nhiều, giả sử rằng thang T . 1 máy phăng đều và đi qua khít các điểm A, B, C, D,… xem phần hở không đáng kể. Điểm cao nhất của thang máy là A, điểm thấp nhất của thang máy

là D. Bài 17. Chu vi một khu vườn hình chữ nhật bằng 60 m, hiệu độ dài của

chiều dài và chiều rộng là 20 m. Tim độ dài các cạnh của hình chữ nhật? Bài 18. Một thửa đất hình chữ nhật có chu vi là 56 m. Nếu giảm chiều rộng

2 1 và tăng chiều dài 4 m thì diện tích tăng thêm 8 m. Tìm chiều rộng

và chiều dài thửa đất? Bài 19. Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài bằng 3 lần chiều rộng. Nếu

tăng mỗi cạnh thêm 5 m thì diện tích khu vườn tăng thêm 385 m. Tính

độ dài các cạnh của khu vườn. Bài 20. Hiệu số đo chu vi của hai hình vuông là 32 m và hiệu số đo diện tích

của chúng là 464 m. Tìm số đo các cạnh của mỗi hình vuông?

Hol 1

Hinh ?

HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1. Gọi chiều rộng của mảnh đất là x (m, 0 < x < 50)

Chiều dài của mảnh đất là 4x (m) Chi vị mảnh đất là 100 m nên:

(x + 4x).2 = 100 = 5x = 50 = x = 10 (thỏa mãn) Vậy chiều rộng của mảnh đất là 10 m, chiều dài mảnh đất là 40 m Diện tích mảnh đất là 40.10 = 400 m2 Giá tiền của mảnh đất là

400.150000000 = 6000000000 đồng = 6 tỷ (đồng). Bài 2. Gọi chiều dài là x (m) và chiều rộng là y (m) (x >y> 0) Theo đề bài ta có: *

2(x + y) = 120 y = 60 – x

0.1 xy = 675x (60 – x) = 675 (*) Ta có (*)= x^– 60x + 675 = 08 = 45 hay x = 15 Khi x = 5 thì y = 15 (nhận) Khi x =15 thì y = 45 (loại) Vậy chiều dài là 45m, chiều rộng là 15m.

Bài 3. Gọi x (cm); y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông (điều kiện x^2; y> 4)

Ta có: Diện tích của tam giác là: xy (cm) Khi tăng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tăng thêm 36 cm nên ta có phương trình: (x + 3)(y +3)- xy = 36 (1) Khi giảm cạnh thứ nhất 2 cm, cạnh thứ hai 4 cm thì diện tích giảm đi 26 cm” nên ta có phương trình: xy- (x – 2)(x – 4) = 26 (2)

3(x+3)(y+3) – xy=36Jx+y=21 _{x=9 Từ (1) và (2) ta có hệ:

= 2x+y=30 x-1(x-2)(x+4)=26 127

(y=12 Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông là 9 (cm) và 12 (cm). Bài 4. Nửa chu vi hình chữ nhật là: 4 = 80 (m)

Gọi x (m) là một kích thước của hình chữ nhật (điều kiện 0 < x < 80) Kích thước còn lại là 80 – x (m) Diện tích hình chữ nhật là: x(80 – x) (*) Theo bài ra, ta có phương trình:

x = 30 X(80-x) = 1500 x? – 80x + 1500 = 0 a

2

–

( x = 50 (TMĐK)

Vậy nếu kích thước thứ nhất là 30 m, thì kích thước thứ hai là 50 m. Còn nếu kích thước thứ nhất là 50 m thì kích thước kia là 30 m

Tóm lại hai kích thước của hình chữ nhật là 30 m và 50 m. Bài 5. Gọi x (m) là chiều rộng của mảnh đất (x > 0) thì chiều dài là 360 (cm) Tăng chiều rộng 3m và giảm chiều dài 4m thì diện tích mảnh đất không đổi 360 )

1080 Theo đề ta có: {x + 3 – -4)= 360 360 – 4x + = -12 = 360

-4×2 – 12x + 1080 = 0 x2 + 3x – 270 = 0 Phương trình này có hai nghiệm là x =15; x = -18 Ta có xy =-18<0, không thỏa mãn điều kiện của ẩn số Vậy chiều rộng của mảnh đất là 15 (m)

Và chiều dài của mảnh đất là do = 24 (m). Bài 6. Gọi x (m), y (m) là hai kích thước của hình chữ nhật (x > 0, y > 0) Theo giả thiết ta có: 2(x+y)=122 – Jx+y = 61 {xy = 900

(xy = 900

15

Do đó x và y là hai nghiệm của phương trình: x^ – 61X + 900 = 0 Giải phương trình ta được hai nghiệm X = 25, X, = 36

Các giá trị 25 và 36 là thích hợp. Bài 7. Gọi chiều dài là x(m) và chiều rộng là y (m) (x >y> 0) Theo đề bài ta có. J2(x+y)=120 – y = 60 –

|xy = 675 4x(60 – x) = 675 (*) Ta có: (*) = x^ – 60x + 675 = 0 + x = 45 hay x = 15 Khi x = 45 thì y= 15 (nhận); Khi x = 15 thì y= 45 (loại)

Vậy chiều dài là 45(m) và chiều rộng là 15 (m). Bài 8. Gọi chiều rộng, chiều dài của thửa ruộng tương ứng là x, y

Điều kiện x > 0, y > 0, đơn vị của x, y là mét Vì chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45 m nên y – x = 45 (1) Chiều dài giảm 2 lần, chiều rộng tăng 3 lần ta được hình chữ nhật có hai cạnh là 8 và 3x

Theo giá thiết chu vi không thay đổi nên: 2(x + y) = 2 3x +

sy – x = 45 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình {

2(x + y) = 2 3x +

x = 15 (m) Giải hệ phương trình này ta có: * , thỏa mãn điều kiện.

– Ly = 60 (m) Vậy diện tích của thửa ruộng là S = xy = 900 (mo). Bài 9. Gọi chiều rộng và chiều dài của thửa ruộng hình chữ nhật lần lượt là

X, y (m) Điều kiện 0 < x < b < 125 Vì chu vi thửa ruộng hình chữ nhật là 250 m do đó ta có phương trình:

x + y = 125 Vì chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi do đó ta có phương trình: 2. x + y = 125

(x + y = 125 Theo bài ra ta có hệ phương trình: ..

, giải hệ phương trình ta

(x = 50 được ^ (thỏa mãn)

y = 75 Vậy diện tích của thửa ruộng HCN là: 50.75 = 3750 (m^).

Bài 10. Gọi các cạnh của tam giác vuông lần lượt là x, y, (cm), x, y > 3

Vì khi tăng mỗi cạnh góc vuông lên 2 cm thì diện tích tăng 17 cm” do đó

ta có phương trình: (x+ 2) (y + 2) =

xy + 17

2

Vì nếu giảm các cạnh góc vuông đi một cạnh đi 3 cm một cạnh đi 1 cm thì diện tích sẽ giảm đi 11cm do đó ta có phương trình:

(x – 3) (y – 1) = 5 xy – 11

Theo bài ra ta có hệ phương trình. ** –

x – 3y = 25

X = 10 Giải hệ phương trình ta được: {

(y = 5

Vậy ta có các cạnh của tam giác là: 5, 10, Bài 11. Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (cm), chiều rộng là y (cm)

(điều kiện x, y > 0) Chu vi hình chữ nhật ban đầu là 2010 cm, ta có phương trình:

2(x + y) = 2010 = x+y = 1005 (1) Khi tăng chiều dài 20 cm, tăng chiều rộng 10 cm thì kích thước hình chữ nhật mới là: chiều dài là x + 20 (cm), chiều rộng là y+ 10 (cm) Khi đó diện tích hình chữ nhật mới là (x + 20)(y +10) = xy + 13300

X+ 2y = 1310 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ x + 2y =1310 x = 700

*x + y = 1005 Fly = 305 Vậy chiều dài hình chữ nhật ban đầu là 700 cm, chiều rộng là 305 cm. Bài 12. Gọi góc tạo bởi tia nắng với mặt đất là ở (0 < a < 90°)

Ta có tan a ==

4

na

80

Do xem tia nắng là tia song song nên gọi h là chiều cao tòa nhà ta có: tana = h Do đó 4 h = 80 = 45,7 (m)

Vậy chiều cao tòa nhà là h = 45,7 (m). Bài 13. Gọi x (m) là khoảng cách từ tàu đến chân ngọn hải đăng (x > 0) 1 100

100 Ta có tan 4 = ‘

80

–

X

=

tan 401430 m

Vậy khoảng cách từ tàu đến chân ngọn hải đăng là x = 1430 (m).

Bài 14.

Cách 1. Gọi MN = 2R là đường kính của đường tròn có cung tròn là AMB Do tan1 giác AKN và MKB đồng dạng nên ta có:

KA.KB – KM.KN hay KA.KB = KM.(2R – KM) må KA = KB = 20 m Thay số, ta có: 20.20 = 3(2 – 3)

409

D6R – 400 + 9 = 4095 R = = = 68,2 (m)

6 Vậy R = 68,2 (mét). Cách 2. Gọi R là bán kính đường kính của đường tròn có cung tròn là AMB

Ta có OK = OM – KM = R-3 (m), AK = –

– 20(m)

Tam giác (OKA vuông tại K ta có:

409 QA” = AK” + OK? BR“ = 203 +(R-3) -6R = 109 R=0%268,2 (m)

Vậy R = 68,2 (mét). Bài 15. Gọi x (m) là chiều rộng khu vườn (x > 0)

Suy ra chiều dài khu vườn là: x + 8 (m) Lập phương trình: x(x + 8) = 240 = x^ + 8x – 240 = 0 (*) Giải (*) tìm được 2 nghiệm: x = 12; x = -20 Đối chiếu điều kiện, ta có: chiều rộng khu vườn là: 12 (1)

Suy ra chu vi khu vườn là: 2(x +x + 8) = 64 (m). Câu 16.

Cách 1. Xét các tam giác vuông có 2 h a số thứ tự từ 1 đến 20, ta có chúng bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh (có các góc vuông bằng nhau, có cùng cạnh góc vuông độ dài 25 con và cạnh góc vuông độ dài 60 cm) bằng nhau. Xét tam giác vuông CDE, áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

CD2 = CE? + DE?

CD” = 25° +60° = CD? = 4225 = CD = 65 (cm) Do 20 tam giác bằng nhau, nên chiều dài của thang máy gấp 20 lần độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông CDE. Vậy chiều dài của thang máy là AD = 20.65 = 1300 (cm) = 13 (m).

V

–

ochwer

2004 20

E

C

D

Cách 2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng DE Ta có AHI DE tại H nên tam giác AHD vuông tại H Độ dài đoạn AH là: AH = 25.20 = 500 cm = 5 m Độ dài đoạn DH là: DH = 60.20 = 1200 cm = 12 m Xét tam giác vuông AHD, áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

AD? = AH2 + HD2 AD2 = 52 + 122 ^ AD2 = 169 AD = 13 (m) Vậy chiều dài của thang máy là AD = 13 m. Bài 17. Đáp số: 5 m; 25 m. Bài 18. Đáp số: 12 m; 16 m. Bài 19. Đáp số: 18 m; 54 m. Bài 20. Đáp số: cạnh hình vuông nhỏ là 25 m; cạnh hình vuông lớn là 33 m.