Kiến thức cần nhớ | 0 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Một đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) nếu nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau bất kì nằm trong mp(P).

• b và c nằm trong mp(P) Giả
• b và c cắt nhau tại 0 thiết
• alb và alc Kết luận | a 1 mp(P)

Nhận xét: Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng tại điểm A thì nó vuông góc với mọi đường thẳng đi qua A và nằm

trong mặt phẳng đó. 2 Hai mặt phẳng vuông góc

Khi một trong hai mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại thì người ta nói hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

Giả • acP | thiết • a 1 (Q)

Kết luận | (P)/(Q) Ghi chú: (mp(P) vuông góc với mp(Q). Kí hiệu (P) 1 (Q) 3 Thể tích hình hộp chữ nhật

Nếu các kích thước của hình hộp chữ nhật là a, b, c (cùng đơn vị

độ dài) thì thể tích của hình hộp chữ nhật đó là V = a,b,c • Đặc biệt, thể tích hình lập phương cạnh a là V = a^.

Bài 10. 1) Gấp hình 87a theo các nét đã chỉ ra thì có được một hình hộp

chữ nhật hay không ? 2) Kí hiệu các đỉnh hình hộp gấp được như hình 87b. a) Đường thẳng BF vuông góc với những mặt phẳng nào ? b) Hai mặt phẳng (AEHD) và (CGHD) vuông góc với nhau ? Vì sao ?

b)

Hình 87

a)

GIẢI 1) Học sinh tự gấp theo các nét trên hình vẽ sẽ được một hình hộp chữ

nhật như hình 87b.

2)

1. a) Ta có ABFE và BCGF là các hình chữ nhật

Suy ra BFI AB và BFI BC

Còn có AB và BC đều thuộc mp(ABCD) và cắt nhau tại B Do đó BFL mp(ABCD) Tương tự BFI mp(EFGH)

Vậy BF vuông góc với hai mặt phẳng (ABCD) và (EFGH) b) mp(AEHD) I mp(CGHD)

Ta có AD cùng vuông góc với hai đường thẳng DC và DH thuộc mp(CGHD) và AD + mp(CGHD), do đó AD I mp(CGHD)

mà AD cmp(AEHD). Vậy mp(AEHD) L mp(CGHD) Bài 11. a) Tính các kích thước của một hình hộp chữ nhật, biết rằng

chúng tỉ lệ với 3, 4, 5 và thể tích của hình hộp này là 480cm”. b) Diện tích toàn phần của một hình lập phương là 486m. Thể | tích của nó là bao nhiêu ?

GIẢI a) Gọi a(cm), b(cm) và c(cm) là các kích thước của hình hộp chữ nhật

Theo đề bài ta có :

CUI

5 k3 – a.b.c _ 480

= 8

=k = 2

3.4.5

6

Suy ra : 4 = 2 = a = 6

ra

->

a

=

b = 2 = b = 8

• $ = 2 = c = 10

Vậy các kích thước của hình hộp chữ nhật là:

a = 6cm, b = 8cm, c = 10cm b) Hình lập phương có sáu mặt là sáu hình vuông bằng nhau.

Gọi a(m) là cạnh của một hình vuông. Ta có diện tích hình vuông a? = 486 : 6 = 81 (mol) = a = 481 = 9 (m)

Vậy thể tích của khối lập phương là V = a* = 9° = 729m”. Bài 12. A, B, C và D là những đỉnh của hình hộp chữ nhật cho ở

hình 88. Hãy điền số thích hợp vào các ô trống ở bảng sau:

AB | 6 | 13 14 BC 15 16

34 CD 42

70 62 DA

45 75 75 (1) (2) (3) (4)

Hình 88 Kết quả bài 12 minh họa công thức quan trọng như sau : DA = VAB? + BC2 + CD2

GIẢI

Kết quả của bảng: Cột 1) DA = 16? + 15% + 42 = 45

AB 6 | 13 | 14 25 • Cột 2) CD = 45° – (13? + 16°) = 40 | BC | 15 | 16 | 23 | 34 • Cột 3) BC = 75° – (70° + 14) = 23

CD 42 | 40 | 70 | 62

| DA | 45 45 | 75 75 | • Cột 4) AB = 75 -(62 + 34°) = 25

(1) (2) (3) (4) Bài 13. a) Viết công thức tính thể tích của hình hộp chữ nhật

ABCD.MNPQ (hình 89). b) Điền số thích hợp vào các ô trống ở bảng sau:

Chiều dài | 22 | 18 | 15 | 20 Chiều rộng

ID 14 | Chiều cao Diện tích một đáy

260 Thể tích

1320 2080

Hình 89 (1) (2) (3) (4)

| GIẢI a) Thể tích V = AB.AD.AM hay V = SABCD.AM b) Các số cần điền vào ô trống trong bảng

, (Diện tích một đáy 22.14 = 308 • Cột 1

(Thể tích 308.5 = 1540

Chiều rộng 90 : 18 = 5 • Cột 2

Thể tích 90.6 = 540

(Diện tích một đáy 1320 : 8 = 165 • Cột 3

Chiều rộng 165 : 15 = 11 Cột 4

(Chiều cao 2080 : 260 = 8

Chiều rộng 260 : 20 = 13 Kết quả của bảng : Chiều dài 22 |

20 Chiều rộng

13 Chiều cao Diện tích một đáy | 308 90 165 260

| Thể tích 1540 540 1320 | 2080

LUYỆN TẬP

Bài 14. Một bể nước hình hộp chữ nhật có chiều dài 2m. Lúc đầu bể

không có nước. Sau khi đổ vào bể 120 thùng nước, mỗi thùng chứa 20 lít thì mực nước của bể cao 0,8m. a) Tính chiều rộng của bể nước. b) Người ta đổ thêm vào bể 60 thùng nước nữa thì đây bể. Hỏi bể

cao bao nhiêu mét ? * Hướng dẫn Thể tích của hình hộp chữ nhật được tính theo công thức V = a,b,c hay V = Diện tích đáy (S) x chiều cao (h)

GIẢI a) Lượng nước được đổ vào bể lần đầu là :

V = 120 thùng x 20 lít = 2400 lít = 2,4m* (vì 1000 lít = 1m*)

Diện tích đáy của bể là S =

3 = 3 (mo)

Đáy bể là hình chữ nhật nên Sháy = dài x rộng

Sday 3 Suy ra chiều rộng của đáy bể là :

= 1,5 (m)

Chiều dài 2 b) Lượng nước đổ vào bể cả hai lần là

V = (120 + 60) thùng x 20 lít = 3600 lít – 3,6m. Vậy chiều cao của bể là h = X = = 1,2 (m)

S

Bài 15. Một cái thùng hình lập phương cạnh 7dm, có chứa nước với

độ sâu của nước là 4dm. Người ta thả 25 viên gạch có chiều dài 20m, chiều rộng 10m và chiều cao 0,5dm vào thùng. Hỏi nước trong thùng dâng lên cách miệng thùng bao nhiêu đềximét ? (Giả thiết toàn bộ gạch ngập trong nước và chúng hút nước không đáng kể).

GIẢI • Thể tích của 25 viên gạch là V = (2.1.0,5).25 = 25 (dmo)

Diện tích đáy thùng là 7.7 = 49 (dmo) Chiều cao của nước dâng lên thêm khi bỏ gạch vào thùng là : V 25

– = 0,51 (dm) (vì thể tích của nước dâng lên thêm bằng

h

–

–

–

thể tích của gạch choán chỗ trong nước). Vậy mực nước trong thùng cách miệng thùng là 7 – (4 + 0,51) = 2,49 (dm)

Bài 16. Thùng chứa của một xe chở hàng đông lạnh có dạng như

hình 90. Một số mặt là hình chữ nhật, chẳng hạn (ABKI), (DCCD),… Quan sát hình và trả lời các câu hỏi sau: a) Những đường thẳng nào song song với mặt phẳng (ABKI) ? b) Những đường thẳng nào A

vuông góc với mặt phẳng

(DCC’D’) ? c) Mặt phẳng (ADCB) có A…

vuông góc với mặt phẳng (DCCD) hay không ?

Hình 90

GIẢI a) Có tám đường thẳng AB, BC, AD, CD, CD, DI, HI, HC cùng

song song với mp(ABKI). b) Có sáu đường thẳng AD, BC, AI, BK, I’D và HC cùng vuông góc với

mp(DCC’D’) c) mp(A’D’C’B’) I mp(DCC’D’) : Ta thấy B’C’I CC’, B’C’ I C’D’ mà CC’

và C’D’ cắt nhau tại C đều thuộc mp(DCCD) còn BC không thuộc

mp(DCC’D’). Vậy mp(A’D’C’B’) I mp(DCC’D’). Bài 17. Cho hình hộp chữ nhật ABCDEFGH a) Kể tên các đường thẳng song

song với mp(EFGH). b) Đường thẳng AB song song với những mặt phẳng nào ?

El. com c) Đường thẳng AD song song với | những đường thẳng nào ?

GIẢI a) AB, BC, CD, AD cùng song song với mp(EFGH) b) AB // mp(EFGH); AB // mp(DCGH) c) AD song song với các đường thẳng BC, FG, EH.

AD

Bài 18. Đố. Các kích thước của một

hình hộp chữ nhật là 4cm, 3cm và 2cm. Một con kiến bò theo mặt của hình hộp đó từ 2 đến P.

2cm

3cm |

4cm

1. a) Hỏi con kiến bò theo đường nào là ngắn nhất ? b) Độ dài ngắn nhất đó là bao nhiêu xentimét ?

GIẢI Theo đề bài “kiến bò theo mặt của hình hộp từ 2 đến P” như vậy là kiến không được bò theo các cạnh của hình hộp đó. Muốn biết đường ngắn đi từ 2 đến B ta mở hộp rồi trải phẳng ra (hình dưới đây). Lúc này đỉnh P sẽ có hai vị trí là P và P. Áp dụng định lí Pi-ta-go vào các

I 4 P tam giác vuông QIP và QHP ta có : • QP2 = (3 + 2)2 + 42 = 41 > QP = 41 = 6,4 (cm) (1) QP2 = (4 + 2)2 + 32 = 45

2 4 24 > QP’ = 145 ~ 6,7 (cm) (2) Từ (1) và (2) suy ra QP < QP. Vậy kiến bò theo đường QP là ngắn nhất và độ dài ngắn nhất đó là 6,4cm.