Kiến thức cần nhớ 

Trường hợp đồng dạng thứ nhất

Định lí: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Tam giác ABC và

tam giác A’B’C’ có : thiết

A’B’ A’C’ B’C’

AB AC BC Kết luận | AA’B’C’ o AABC Trường hợp đồng dạng thứ hai Định lí: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác ấy đồng dạng với nhau

Tam giác ABC và Giả tam giác A’B’C’ có : thiết AB. AC

… BL c Bl Kết luận | AA’B’C’ AABC 3 Trường hợp đồng dạng thứ ba

Định lí: Nếu hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Tam giác ABC và

tam giác A’B’C’ có : Giả A = ; B = B thiết

(hoặc A = A và C = 6 / hoặc B – B và C – Ô BA SC BẢ –

A’B’

A’C’ : Â – Â

Ket luan | ΔAB’C’ ο ΔABC

Bài 29. Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có kích thước như trong hình 35.

1. a) AABC và AA’B’C’ có đồng dạng với nhau không ? Vì sao ? b) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đó.

12

c BL 8c Hình 35

1. –

–

GIẢI A’B’ 4 2 . A’C’ _ 6 2 B’C’ AB53;

AC 9 3′ BC

2

12

3

= AB = AC = BC = Do đó AABC – AABC (c.c.c) b) Chứng minh tương tự bài 28 ta có tỉ số chu vi của hai tam giác đồng

dạng bằng tỉ số đồng dạng. Do đó ABC) = =

10 CV ABC)

3

Bài 30. Tam giác ABC có độ dài các cạnh là AB = 3cm, AC = 5cm,

BC = 7cm. Tam giác A’B’C đồng dạng với tam giác ABC và có chu vi bằng 55cm. Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác A’B’C’ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

GIẢI Do AA’B’C – AABC suy ra : A’B’ A’C’ B’C’ A’B’+ A’C’ + B’C’ 55 11 AB AC BC AB + AC + BC 3+5+7 3

AB

• A’B’ = A’B’ = H AB = 11 3 = 11 (cm) · A’C’ = A’C’ = 11 AC = 12,5 = 18,33 (cm)
• BC = BC BO 7 = 25,67 (cm) Bài 31. Cho hai tam giác đồng dạng có tỉ số chu vi là 8 và hiệu độ

AC

Вс

dài hai cạnh tương ứng của chúng là 12,5. Tính hai cạnh đó,

GIẢI Giả sử AA’B’C’ AABC có hai cạnh tương ứng là A’B’ và AB.

(AB – A’B’ = 12,5 (1) Theo đề bài ta có {A’B’ 15

| AB 17

A’B’ 15 Kết hợp (1) và (2) ta có : =

AB 17

–

A’B’ AB – A’B’

12,5

15 17 – 15

=> A’B’ = 15x 12,5 z 93,75 (cm)

2

Từ (1) = AB = 12,5 + A’B’ = 12,5 + 93,75 = 106,25 (cm)

Vậy A’B’ = 93,75cm và AB = 106,25cm. Bài 32. Trên một cạnh của góc xOy (xOy + 180°) đặt các đoạn thẳng

OA = 5cm, OB = 16cm. Trên cạnh thứ hai của góc đó, đặt các đoạn thẳng OC = 8cm, OD = 10cm. a) Chứng minh hai tam giác OCB và CAD đồng dạng. b) Gọi giao điểm của các cạnh AD và BC là I. Chứng minh rằng hai tam giác IAB và ICD có các góc bằng nhau từng đôi một.

GIẢI a) Xét hai tam giác OCB và OAD có :

OC OA / 8 501 OB OD ( 16 10 4) do đó AOCB o AOAD (c.g.c)

ô chung b) Xét hai tam giác IAB và ICD có :

1 = 12 (đối đỉnh) IBA = IDC (do AOCB ( AOAD) = 180° – (1, + IBA) = 180° – (12 + IDC) IAB

ICD Vậy các góc của hai tam giác AB và ICD bằng nhau từng đôi một. Bài 33. Chứng minh rằng nếu tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam

giác ABC theo tỉ số k thì tỉ số của hai trung tuyến tương ứng của hai tam giác đó cũng bằng k..

GIẢI Do AA’B’Co AABC suy ra : (Â = Â ; Ê’ = Ê ; Ĉ = Ĉ

A’B’ – BC = A’C = k | AB

BS BC – AC

C BM Gọi AM’ và AM là hai trung tuyến tương ứng Xét hai tam giác A’B’M’ và ABM có

B’M’ B’C’ B’C’

BM

1

BCL

}

B’M’ A’B’ (vì (ÊS = B) (cmt) = BM AB

A

mà

B’C’

nà BC

AB (cmt).

A’M’ A’B’ Do đó AA’B’M AABM (c.g.c) – ABM (c.8.c) – AM – AB = R

– = k (dpcm) Bài 34. Dựng tam giác ABC cho biết góc A = 60°, tỉ số 48 = 3 và

SO ACĞ va đường cao AH = 6cm.

GIẢI

Dựng góc xOy = 60°

Trên cạnh Ax lấy điểm B sao cho AB = 4cm, trên cạnh Ay lấy điểm C” sao cho AC = 5cm. Ta xác định được tam giác AB’C’. Dựng tia AH 1 BẮC (H 6 BC). Trên tia AH” lấy điểm H sao cho AH = 6cm. Qua H kẻ đường thẳng song song với BC cắt Ax tại B và

Ay tại C. Tam giác ABC là tam giác cần dựng. * Chứng minh: Ta có AH 1 BC vì BC // BC và AH = 6cm (theo cách dựng). Do đó AH là đường cao của tam giác ABC. Ngoài ra, theo định . AB AC

AB AB’ 4 lí Ta-let ta có . AB’ AC’

AC AC 5 Vậy ta dựng được tam giác ABC thỏa mãn đề bài.

hay –

_

X

B’B

4cm

6cm

Bài 35. Chứng minh rằng nếu tam giác A’B’c đồng dạng với tam

giác ABC theo tỉ số k thì tỉ số của hai đường phân giác trong tương ứng của chúng cũng bằng k.

GIẢI Do tam giác ABC • AABC suy ra :

A’ = A ; B = B và tỉ số đồng dạng k =

A’B’

АВ

Gọi A’D và AD là hai phân giác tương ứng ta có :

Į

A = Ã

Xét hai tam giác A’B’D’ và ABD có : A = Âu và B = B (cmt)

A’D’

Do đó AA’B’D’ và AABD (g.g) =

A’B’ = k (dpcm).

AD

AB

A 12,5ý

Bài 36. Tính độ dài x của đoạn thẳng

BD trong hình 43 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất). Biết rằng ABCD là hình thang (AB // CD);

28,5 AB = 12,5cm CD = 28,5cm, DAB = DBC D Hình 43

GIẢI Xét hai tam giác ABD và BDC có DAB = DBC (giả thiết),

ABD = BDC (so le trong) Do đó AABD • ABDC = 3

AB BD

DC > BD2 = AB.DC = 12,5 x 28,5 = 356,25

= BD = 1356, 25 – 18,9 (cm). Vậy x = 18,9cm. Bài 37. Hình 44 cho biết EBA = BD. a) Trong hình vẽ có bao nhiêu tam giác vuông? Hãy kể tên các

tam giác đó. b) Cho biết AE = 10cm, AB = 15cm,

BC = 12cm. Hãy tính độ dài các đoạn thẳng CD, BE, BD và ED (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

TN3 c) So sánh diện tích tam giác BDE

15 B 120 với tổng diện tích của hai tam giác

Hình 44 AEB và BCD.

18/3

BDE

AL

1. b) Đường thẳng qua 0 vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H

ОН АВ và K. Chứng minh rằng = a.

GIẢI

a)

Do AB || CD (giả thiết) suy ra AOAB / AOCD có tỉ số đồng dạng OA. OB AB

2 (1) OCOD CD Từ OA OB = OA.OD = OB.0c (đpcm).

OD

ОН ОА

1. b) Tương tự AOHA

AOKC có tỉ đồng dạng –

Từ (1) và (2) suy ra 3R AB

та

8) (dpen).

AT 5 còn có 4 chung

Bài 40. Cho tam giác ABC trong đó AB = 15cm, AC = 20cm. Trên hai

cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm D và E sao cho AD = 8cm, AE = 6cm. Hỏi rằng hai tam giác ABC và ADE có đồng dạng với nhau không ? Vì sao ?

GIẢI Xét hai tam giác ABC và AED có: AB 15 5 và AC 20 5 AE 5 2 4 AD 82

AB

A Do vậy AABC • AAED (d.g.e) Bài 41. Tìm các dấu hiệu để nhận biết hai tam giác cân đồng dạng.

GIẢI Từ ba trường hợp đồng dạng của tam giác thường suy ra các trường hợp đồng dạng của tam giác cân như sau: • Nếu hai tam giác cân có góc tại đỉnh (cân) bằng nhau hoặc một góc kề

đáy bằng nhau thì hai tam giác cân đó đồng dạng với nhau. Nếu một cạnh bên và cạnh đáy của tam giác cân này tỉ lệ với một cạnh bên và cạnh đáy của tam giác cân kia thì hai tam giác cân đó

đồng dạng với nhau. Bài 42. So sánh các trường hợp đồng dạng của tam giác với các

trường hợp bằng nhau của tam giác (nêu lên những điểm giống nhau và khác nhau)

GIẢI

AA’B’C’ o AABC nếu A’B’ A’C’ B’C’ AB AC

Dic BC

(c.c.c) 2) AB = AG”, Â’ = Â, (c.g.c) – AB – ACA A , 10.8.c) 3) Ê’ = B, Ĉ = Ĉ (g.g)

AA’B’C’ = AABC nếu 1) A’B’ = AB, A’C’ = AC,

B’C’ = BC (c.c.c) 2) A’B’ = AB, Â’ = Â, A’C’ = AC (c.g.c) 3) B’ = Ê, B’C’ = BC, Ô’ = Ĉ (g.c.g)

Bài 43. Cho hình bình hành ABCD (hình 46) có độ dài các cạnh là AB = 12cm, BC = 7cm. Trên cạnh AB lấy một điểm E sao cho AE = 8cm. Đường thẳng DE cắt cạnh CB kéo dài tại F..

De a) Trong hình vẽ đã cho có bao nhiêu Hình 46

cặp tam giác đồng dạng với nhau ?

Hãy viết các cặp tam giác đồng dạng theo các đỉnh tương ứng. b) Tính độ dài các đoạn EF và BF, biết rằng DE = 10cm.

GIẢI a) Ta có ba cặp tam giác đồng dạng theo các đỉnh tương ứng sau đây :

AFEB 2 AFDC (vì EB // CD); AFEB 0 4DEA (vì BF // AD);

AFDC – ADEA (vì cùng đồng dạng với tam giác FEB) b) DO AFEB ADEA » ED = DATA hay 10 = 7 PER ADEA – EF FB EB how EF FB_4_1

5 -5 (vì AD = BC = 7cm, EB = AB – AE = 12 – 8 = 4 (cm)) EF 1

FB 1 Do đó = => EF = 5cm,

FB = 3,5cm 10 2 Vậy EF = 5cm, BF = 3,5cm. Bài 44. Cho tam giác ABC có các cạnh AB = 24cm, AC = 28cm. Đường

phân giác của góc A cắt cạnh BC tại ID. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD. a) Tính tỉ số 5

1. b) Chứng minh A

Chứng minh AN^ DN

DM

CN

GIẢI

.

AAMB AANC

1. a) Ta • Al = A2 (giả thiết)

. AMB = ANC = 90° BM AM AB 24 6 CN AN AC287

M 6

(dpcm) CN 7 b) Ta có :

• D = D () • DMB = DNC = 90° (giả thiết) → ADMB -> ADNC DM BM_6

(2) > DN CN 5

AM DM 6

Từ (1) và (2)

AN DN7

(dpcm).

Bài 45. Hai tam giác ABC và DEF có A = 0, B = Ê, AB = 8cm,

BC = 10cm, DE = 6cm. Tính độ dài các cạnh AC, DF và EF biết rằng cạnh AC dài hơn cạnh DF là 3cm.

GIẢI

10

Ta có A = D (giả thiết)

→ AABC S ADEF B = Ê (giả thiết)

AB AC BC_8_4 cinco > DE – DF – EF 55″

AB = 8cm, DE = 6cm) (1) AC – DF 4-3 = ^ ^ * * hay – (vì AC – DF = 3(cm) > DF = 9cm AC = 3 + DF = 3 + 9 = 12 (cm)

30 (1) –

EF = = = 7,5 (cm) EF 3

(1)

BC

4

10

4

EF

3

Vậy AC = 12cm, DF = 9cm, EF = 7,5cm.