1. CÂU HỎI

0 Phát biểu và viết tỉ lệ thức biểu thị hai đoạn thẳng AB và CD tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ và CD. Trả lời Định nghĩa: Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng AB và CD nếu có tỉ lệ thức

AB A’B’ by AB CD

 

= c. hay HD – up

Phát biểu, vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận của định lí Ta-let trong tam giác. . Trả lời Định lí Talet: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Giả | Tam giác ABC, BC // BC thiết | (B’ = AB, C < AC)

B/ C Kết | AB’ AC’. AB’ AC’. B’B C’C

B man | AB – ACB’B – C’C: AB – ĀC

3 Phát biểu, vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận của định lí Talet đảo.

Trả lời • Định lí Ta-let đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam

giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác đó.

Giả thiết

Tam giác ABC, BE AB, C < AC AB’ AC’ AB – AC

В?

Kết luận

B’C’ // BC

+ Phát biểu, vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận về hệ quả của định

lí Tablet. Trả lời Hệ quả của định lí Tablet Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

Giả Tam giác ABC, B’C’ // BC | thiết (BE AB, C < AC).

Kết | AB’ AC’ B’C’ luận | ABAC BC

BE

(5) Phát biểu định lí về tính chất của đường phân giác trong tam

giác (vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận) Trả lời Định lí: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kế hai đoạn ấy

Giả | Tam giác ABC, AD là tia thiết | phân giác của BAC (D 6 BC) Kết DB AB luận

DC=

>c

Chú ý: Định lí vẫn đúng với tia phân giác của góc ngoài tam giác ABC. Gọi AD là tia phân giác ngoài tại A của tam giác ABC,

ta có DB AB

: D’L

D’ C

AC

© Phát biểu định nghĩa hai tam giác đồng dạng.

Trả lời: Định nghĩa Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu

A’B’ A’C’ B’C’ A = 4; B = ; C = C và A

AB AC BC & Phát biểu định lí về đường thẳng song song với một cạnh của

tam giác và cắt hai cạnh (hoặc phần kéo dài của hai cạnh) Trả lời • Định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song

song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho. Chú ý: Định lí cũng đúng cho trường hợp đường thẳng a cắt phần kéo dài hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại.

Giả thiết | Tam giác ABC, BC // BC (BE AB, C < AC) Kết luận AA’B’C’AABC

a CB

a BYNO

>

BL

B

8 Phát biểu định lí về ba trường hợp đồng dạng của hai tam

giác. Trả lời

Trường hợp đồng dạng thứ nhất Định lí: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng (c.c.c) Trường hợp đồng dạng thứ hai Định lí: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng (c.g.c) . Trường hợp đồng dạng thứ ba Định lí: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng (g.g).

(9) Phát biểu định lí về trường hợp đồng dạng đặc biệt của hai tam

giác vuông (trường hợp cạnh huyền và một cạnh góc vuông) Trả lời Định lí: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia

thì hai tam giác vuông đó đồng dạng. B. TÓM TẾT CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

AB

A’B’

1 Đoạn thẳng tỉ lệ a) Định nghĩa: AB, CD tỉ lệ với AB, CD = AB = AB.

AB.C’D’ = CD.A’B’

AB A’B’ AB + CD A’B’ C’D’ b) Tính chất B C D = 1

C’D’ CD

C’D’ | AB A’B’ AB + A’B’

(CDC’D’ CD + C’D’ 2 Định lí Tablet thuận và đảo Cho tam giác ABC (BE AB, C < AC)

AB’ AC AB AC

AB’ AC B’C’ // BC =

B’B C’C AB – AC

8 Hệ quả của định lí Tablet

a By

а

в

• AABC • B’C’ // BC (B’E AB , C’E AC)

AB’ AC’ B’C’ AB AC BC

B

D

© Tính chất của đường phân giác trong tam giác • AD là tia phân giác của BAC (D + BC) AE là tia phân giác của BAX (E 6 tia CB)

DB EB AB Ta có

DC-EC AC 9 Tam giác đồng dạng a) Định nghĩa AA’B’C’S AABC

A’ = A; B’ = Ê ; C = Ĉ (tỉ số đồng dạng là k) – A’B’ A’C’ B’C’

AB AC BC b) Tính chất

AA’B’C’ về AABC có

|k là tỉ số đồng dạng h’ ; h là đường cao tương ứng p’ ; p là nửa chu vi tương ứng s’; S là diện tích tương ứng

р

B

Η

BU 6 Liên hệ giữa các trường hợp đồng dạng và các trường hợp bằng nhau của hai tam giác ABC và A’B’C’. AA’B’C’ AABC

AA’B’C’ = AABC A’B’ – B’C’ – C’A’ (c.c.c) a) A’B’ = AB ; B’C’ = BC ; A’C’ = AC (c.c.c)

1. a) AB’= AB BC CA b) AB = BC và B = B (c.g.c) b) A’B’ = AB ; BC = BC và B = 8 AB BC

(c.g.c) c) A = A và B = B (g.g) c) A = A, AB = AB; B = B (g.c.g)

Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông ABC và ABC (A = A = 90°).

A’B’ A’C’ a) AB – AC b) B = B hoặc C = 0 A’B’ B’C’

A BALLAB’ C) AB BC

1. BÀI TẬP

Bài 56. Xác định tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD trong các trường hợp sau: a) AB = 5cm, CD = 15cm b) AB = 45dm, CD = 150cm c) AB = 5CD

GIẢI Nhắc lại: Muốn xác định tỉ số của hai đoạn thẳng thì độ dài của hai đoạn thẳng đó phải cùng đơn vị đo.

AB 5 1

CD 15 3 b) Ta có AB = 45dm và CD = 150cn = 15cm _AB 45(dm) – 3 CD 15 (dm)

AB 5CD c) Ta có AB = 5CD, lấy CD làm đơn vị đo = AB = = 5

CD CD Bài 57. Cho tam giác ABC (AB < AC). Vẽ đường cao AH, đường phân

giác trong AD, đường trung tuyến AM và giải thích tại sao điểm D nằm giữa hai điểm H và M (H, D, M thuộc đường thẳng BC).

GIẢI Tia AD là phân giác của BAC. Theo tính chất đường phân giác trong tam

giác ta có DC AC

Mà AB < AC (giả thiết) = DB < DC Cộng hai vế của (1) với DB ta có 2DB < DC + DB Mà DC + DB = BC = 2BM (vì MB = MC = BC)

(1) – (2)

Từ (2) suy ra 2DB < 2BM lay DB < BM

A

B

Ta còn có BAH = 90° – B =

2+2+Y

Tam giác ABC có AB < AC = B > 0 = B-C > 0 Ta còn có BAH = 90 – 8 9 9 9 – 8 / (vì A + B + C = 180° nên = 90°, B/ 45 BAHAD A (:6). À «2 53 € 50

Sc

А

BAH =

в —

с –

–

+

=

Suy ra BAH < BAD

= BAD

Do đó tia AH nằm giữa hai tia AB và AD hay BH < BD (4)

Từ (3) và (4) suy ra BH < BD < BM. Vậy D nằm giữa hai điểm H và M. Bài 58. Cho tam giác cân ABC (AB = AC),

vẽ các đường cao AH và CK (hình 66). a) Chứng minh BK = CH. b) Chứng minh KH // BC. c) Cho biết BC = a, AB = b.

к. Ін Tính độ dài đoạn thẳng HK.

GIẢI a) Xét hai tam giác vuông BHC và CLB có

| Hình 66 • BC chung

} = ABHC = ACKB • C = B vì tam giác ABC cân tại A.

> BK = CH (dpcm) b) Ta có

AB = AC (giả thiết) BK = CH (cmt) – tam giác AHK cân tại A AB – BK = AC – CH

AK

AH

Do đó K =

= 180° – A . Vậy KH || BC (đpcm)

2

1. c) Vẽ đường cao AI (I 6 BC) của tam giác ABC cân tại A nên AI cũng là

trung tuyến.

Suy ra IB = IC = = BC =

Xét hai tam giác vuông AIB và CKB có B chung nên AAIB < ACKB

а

PER A hay = BK =

B

a? 2b2 – a? – AK = AB – BK = b – ; 2b2b

Hình 66 Trong tam giác ABC có KH // BC (cmt)

2b2 – a? AK KH

2b I hav KH AB

Vâv ku – a(26“ – a ) BC • b a Bài 59. Hình thang ABCD (AB // CD) có AC và BD cắt nhau tại O, AD

và BC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng OK đi qua trung điểm của các cạnh AB và CD.

DA – AB

GIẢI Kẻ tia KO cắt AB tại M và cắt CD tại N, qua O kẻ đường thẳng song

song với AB và CD cắt AD tại E và cắt BC tại F • Tam giác DAB có EO || AB = PE =

(1)

CF OF • Tam giác AB có OF // AB =

FAB = CB – AB 8

(2) • Hình thang ABCD có EF // AB và CD = BC = 6 (3)

DA C Từ (1), (2) và (3) suy ra

OE = OF

= OF (4)

DE

EO OF

AB AB

Tam giác KEO có AM // EO

• Tam giác KFO có MB // OF =

Tam giác AEF có AB // EF =

KF

AM

De

(9)

M Từ (5), (6) và (7) suy ra A =

OE OF Vì OE = OF (4) nên AM = MB

(8) Chứng minh tương tự ta có CN = DN

Từ (8) và (9) suy ra tia KO đi qua trung điểm của hai cạnh đáy AB và CD Bài 60. Cho tam giác vuông ABC, có A = 90° , C = 30° và đường phân

giác BD (D thuộc cạnh AC). a) Tính tỉ số An

1. b) Cho biết độ dài AB = 12,5cm, hãy tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.

GIẢI a) Tam giác vuông ABC có C = 30° nên

bằng nửa tam giác đều cạnh BC, suy ra AB = ABC (cạnh AB đối diện góc 30°) – 2 30°C hay BC = 2AB = 2.12,5 = 25 (cm) Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có BD là phân

D AB 12,5 1 giác của 3

D BC 25 2

Vậy cô – 3

1. b) Từ tam giác ABC vuông tại A

> AC = /BC2 – AB? = 252 – (12,5)2 = 21,65 (cm) do đó CV LABC = 12,5 + 25 + 21,65 = 59,15 (cm)

SxABC = – AB.AC = –.12,5 x 21,65 = 135,31 (cm2) Bài 61. Tứ giác ABCD có AB = 4cm, BC = 20cm, CD = 25cm, DA = 8cm,

đường chéo BD = 10cm. a) Nêu cách vẽ tứ giác ABCD có kích thước đã nêu ở trên. b) Các tam giác ABD và BDC có đồng dạng với nhau không ? Vì sao ? c) Chứng minh rằng AB // CD.

GIẢI a) Giả sử tứ giác ABCD đã dựng được, ta thấy hai tam giác ABD và

BDC đã được xác định vì đã biết có độ dài các cạnh Cách dựng

(II) a Dựng đường thẳng a chia mặt phẳng ra hai nửa mặt phẳng (I) và

4 B (I) (II). Trên a lấy đoạn BD = 10cm. Trên nửa mặt phẳng (I) dựng hai cung tròn (B; 20cm) và (D; 25cm), (do 20 + 25 > 10) nên hai cung này

DK25 cắt nhau tại C. Nối C với B và C. với D. Trên nửa mặt phẳng (II) dựng hai cung tròn (B; 4cm) và (D; 8cm) (do 4 + 8 > 10) nên hai cung này cắt nhau tại A. Nối A với B và A với D thì ABCD là tứ giác cần dựng. | Chứng minh • Theo cách dựng, ta có A < (B; 4cm) → AB = 4cm, C e (B; 20cm) + BC = 20cm

C = (D; 25cm) = CD = 25cm, A < (I); 8cm) = DA = 8cm và hai tam giác ABD và BDC nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng a.

Vậy tứ giác ABCD thỏa mãn bài toán. b) Xét các tam giác ABD và BDC, ta có :

AB_4 2 AD 8 2 BD 10 2 BD 105 BC. 205′ CD255 Dada AB AD BD 2

04 BD BCCD 5

Vậy AABD o ABDC (c.c.c) (đpcm) c) Do AABD ABDC = ABD = BDC = AB || CD (dpcm).