Hai điểm đối xứng qua một điểm

Định nghĩa Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu ) là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm ấy.

A, 0, A’ thẳng hàng OA = OA

e 0 là tâm đối xứng của A và A’ | Điểm đối xứng của điểm O qua tâm O cũng là chính nó. II. Hai hình đối xứng qua một điểm • Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm 0 nếu mỗi điểm thuộc

hình này đối xứng qua 0 với một điểm thuộc hình kia và ngược lại. Nếu hai đoạn thẳng (hoặc hai góc, hai tam giác, hai hình tròn…)

đối xứng với nhau qua một điểm thì bằng nhau. Tâm đối xứng của một hình | Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi

điểm thuộc hình H qua điểm O cũng thuộc hình H. • Định lý Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối ‘ xứng của hình bình hành đó.

| BÀI TẬP

ALLI

Bài 50. Vẽ điểm A đối xứng với A qua B, vẽ

điểm C đối xứng với C qua B (1.81).

Gợi ý

Hình 81

Hình vẽ dưới đây cho ta thấy A đối xứng với A ; C đối xứng với C qua B.

B

**

2…………

Bài 51. Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm H có tọa

| Cộ (3 ;.2). Hãy vẽ điểm K đối xứng với H

qua gốc tọa độ và tìm tọa độ của K. Gợi ý Ta lấy điểm K(- 3 ; – 2) ; rồi chứng minh ACHI = OKL (xem hình U8) » H, O, K thẳng hàng và OH = OK để khẳng định K là điểm đối xứng của H qua 0.

……

2

Bài 52. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với D qua A, gọi

F là điểm xứng với D qua C. Chứng minh rằng điểm E đối xứng với

điểm F qua điểm B. Hướng dẫn Muốn có E và F đối xứng nhau qua B ta chứng mi E, B, F thẳng hàng và BE = BF.

GIẢI Tứ giác ABCD là hình bình hành (gt) => AB // DC và AB = DC Do AB // DC – A1 = D (đồng vị) Hai tam giác EAB và ADC có : (EA = AD (gt) Âu = D (đồng vị) AB = DC (cạnh đối của ABCD) Do đó đEAB = AADC (c.g.c) BE = AC và E = AB = BE // AC = A2 = B (so le trong) Tương tự, ta có ABCF = AADC 4 BF = AC và F = C3

BF || AC = C2 = B3 (so le trong) • Từ tam giác ABC có A2 + B + C = 180° do A2 = B ; C = B3 (cmt) BỊ + B + B3 = 180° – E, B, F thẳng hàng

(1) • BE = AC và BF = AC, ta suy ra BE = BF

(2) Từ (1) và (2) suy ra E đối xứng với F qua B. Bài 53. Cho hình 82, trong đó MD || AB, ME // AC. Chứng minh rằng điểm A đối xứng với điểm M qua điểm I.

GIẢI MD // AB (gt) Ta có

ME || AC (gt) – ADME là hình bình hành (định nghĩa) Ta biết rằng trong hình bình hành ADME thì hai đường chéo AM, ED cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, mà I là trung điểm của ED (gt) nên I

Hình 82 cũng là trung điểm của đoạn thẳng AM. Vậy điểm A đối xứng với điểm M qua điểm I.

M

LUYỆN TẬP

Bài 54. Cho góc vuông xOy, điểm A nằm trong góc đó. Gọi B là điểm đối

xứng với A qua Ox, gọi C là điểm đối xứng với A qua Oy. Chứng minh rằng điểm B đối xứng với điểm C qua O.

11.

GIẢI Do A và B đối xứng nhau qua đường thẳng Ox net Ox là đường trung trực của đoạn thẳng AB = OA = OB (1) Tam giác AOB cân tại () nên Ox cùng là

в , Б, А phân giác của AOB hay Ôi = O2 (2) Tương tự, Oy là trung trực của đoạn thẳng AC = OC = OA

(3) Tam giác AOC cân tại 0 nên Oy là phải giác của AOC hay Ô = Ôi

(4) Từ (1) và (3) suy ra OB = OC (= OA) (5) Từ (2) và (4)= BỌC = ÔI + O2 + 2 + 1 = 2003 + 0) . Mà O3 + OA = 90° (gt) nên BOC = 90° x 2 = 180°. Do đó ba điểm B, 0, C thẳng hàng (6)

Từ (5) và (6) suy ra B và C đối xứng nhau qua O. . Bài 55. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Một

đường thẳng đi qua 0 cắt các cạnh AB và CD theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng điểm M đối xứng với điểm N qua O.

(d)

GIẢI Xét hai tam giác AOM và CON có :

MB Ô] = 0 (đối định) . OB = OD (do 0 là giao điển hai đường chéo của hình bình hành ABCD) A1 = Ĉi (so le trong)

→ JAOM = ACON – OM = ON Ta còn có M, O, N đều thuộc đường thẳng (d) (gt).

Vậy M và N đối xứng nhau qua O. Bài 56. Trong các hình sau, hình nào có tâm đối xứng ?

1. a) Đoạn thẳng AB (1.83a) b) Tam giác đều ABC (1.83b) c) Biển cấm đi ngược chiều (h.83c) d) Biển chỉ hướng đi vòng tránh chướng ngại vật (1.83d)

ABLA

B

BL

b)

1. c) (nền đỏ)
2. d) (nền xanh)

Hình 83

ali

GIẢI Chỉ có hai hình trong 4 hình đã cho có tâm đối xứng là : • Hình 83a) Đoạn thẳng AB có tâm đối xứng là trung điện của nó.

• Hình 83c) Có tâm đối xứng là tân của đường tròn. Bài 57. Các câu sau đúng hay sai ?

1. a) Tâm đối xứng của một đường thẳng là điểm bất kỳ của đường thẳng đó. b) Trọng tâm của một tam giác là tâm đối xứng của tam giác đó. c) Hai tam giác đối xứng với nhau qua một điểm thì có chu vi bằng nhau.

GIẢI Câu a. Đúng ; Câu b. Sai Câu c. Tam giác ABC có hình đối xứng qua một điểm là tail giác ABC thì A’B’ = AB ; BC = BC ; CA’ = CA Do đó AB + BC + CA = A^B^ + BC + CA

cv (AABC) CV(AA’B’C’) Vậy câu c đúng.