Định nghĩa Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song. Tính chất Trong hình bình hành :

1) Các cạnh đối bằng nhau. 2) Các góc đối bằng nhau.

3) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. GT | ABCD là hình bình hành

A AC ; BID cắt nhau tại 0 KL AB = CD ; AD = BC

 = Ĉ; B = Ô | OA = OC ; OB = OD

B.

III | Các dấu hiệu nhận biết một tứ giác là hình bình hành

1) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành. 2) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành. 3) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành 4) Tứ giác có các góc đổi bằng nhau là hình bình hành. (5) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của nồi đường

là hình bình hành.

BAITAP

Bài 43. Các tứ giác ABCD, EFGH, MNPQ trên giấy kẻ ô vuông ở hình 71 có là hình bình hành hay không ?

GIẢI

BEF

ABCD là hình bình hành vì có :

AB // DC ; AB = DC EFGH cũng là hình bình hành vì có :

EF // HG ; EH // FG (hoặc vì EH || FG và EH = FG) MNPQ cũng là hình bình hành vì có :

OM = OP ; ON = OQ (có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm của mỗi đường) Hoặc vì MN = PQ và NP = MQ.

Hình 71 Bài 44. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung

điểm của BC. Chứng minh rằng BE = DF.

GIẢI

DE = EA == — AD (gt)

Ta có

BF = FC = – BC (gt)

D (gt)

2

Mà AD // BC và AD = BC (cạnh đối của hình bình hành ABCD) = DE || BF và DE = BF

Do đó tứ giác BFDE là hình bình hành (dấu hiệu 5) = BE = DF Bài 45. Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt

AB ở E, tia phân giác của góc B cắt CD ở F. a) Chứng minh rằng DE || BF. b) Tứ giác DEBF là hình gì ? Tại sao ?

GIẢI a) Ta có B = B (gt) và Di mà B = D (góc đối của hình bình hành ABCD)

Е В → ßi = hi

TV 177 Lại có D = E1 (so le trong) – B1 = E:

=DE || BF (dpcm) b) Tứ giác DEBF có :

DF J DE // BF (cint) | EB // DF (thuộc cạnh đối của hình bình hành ABCD) Vậy DEBF là hình bình hành (theo định nghĩa)

LUYỆN TẬP Bài 46. Các câu sau đúng hay sai ?

1. a) Hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau là hình bình hành. b) Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành. c) Tứ giác có hai cạnh đối bằng nhau là hình bình hành. d) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình bình hành.

GIẢI a) Đúng (dấu hiệu 5) b) Đúng (định nghĩa) c) Sai

47. d) Sai (vì hình thang cân cũng có hai cạnh bên bằng nhau). Bài 47. Cho hình 72, trong đó ABCD là hình

bình hành. a) Chứng minh rằng AHCK là hình

bình hành. b) Gọi O là trung điểm của HK. Chứng minh ba điểm A, O, C thẳng hàng.

Hình 72

GIẢI a) Xét hai tam giác vuông AHD và CKB có :

EH / BD và EH = BD

(1)

[ AD = BC (cạnh đối của hình bình hành ABCD) 1 D = B (so le trong) Do đó AAHD = ACKB > AH = CK

(1) Ta còn có AH | CK (vì cùng vuông góc với BD) (2)

Từ (1) và (2) suy ra AHCK là hình bình hành (dấu hiệu 5) b) Tứ giác AHCK là hình bình hành nên hai đường chéo AC và HK cắt

nhau tại trung điểm của mỗi đường, tức là đường chéo AC cắt HK tại

trung điểm O của HK. Vậy ba điểm A, 0, C thẳng hàng. Bài 48. Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì ? Vì sao ?

GIAI Theo đề bài thì EH là đường trung bình của tam giác ABD

A Tương tự thì FG là đường trung bình của tam giác BCD

| FG || BD và FG = BD (2) Từ (1) và (2) suy ra EH | FG và EH = FG

Do đó tứ giác EFGH là hình bình hành (dấu hiệu 5). Chú ý Có thể chứng minh cách khác

hoặc * Các cạnh đối song song, loặc * Các cạnh đôi bằng nhau Bài 49. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD,

AB, Đường chéo BD cắt AI, CK theo thứ tự M và N. Chứng minh rằng : a) AI // CK

1. b) DM = MN = NB GIẢI

Α a) AI // CK.

AK – AB (gt) (1) Ta có :

CI = LCD (gt) (2)

Mà AB // CD và AB = CD (cạnh đối của hình bình hành ABCD) Từ (1) và (2) suy ra AK = CI và AK || CI

– AKCI là hình bình hành (dấu hiệu 5) – AI || CK (đpcm) b) DM = MN = NB

Trong tam giác BAM có KA – KB (gt) và KN | AM (cmt) Suy ra NB = MN

(3) Trong tam giác DCN có ID = IC (gt) và IM = CN (cmt) Suy ra DM = MN

(4) Từ (3) và (4) suy ra DM = MN = NB (đpcm)