Đường trung bình của tam giác

Định lý 1 Đường thẳng đi qua trung điểm tuột cạnh của tam giác và song song với canh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba. Tam giác ABC DA = DB

EA = EC DE // BC

Định nghĩa Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tan1 giác.

(la)

DA = DB Tam giác ABC có

EA = EC » DE là đường trung bình của tam giác ABC Định lý 2 Đường trung bình của tam giác thì s011g so11g với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

// BC J DA = DB và EA = EC Tam giác ABC có

(Hall (thì DE là đường trung bình)

DE

BC

Đường trung bình của hình thang • Định lý 3 Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì di qua trung điểm cạnh lên thứ hai

B ABCD là hình thang EA – ED

> FB = FC EF || AB ; EF // CD

А.

(H.b) Định nghĩa Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang. ABCD là hình thang EA = ED

– EF là đường trung bình của ABCD (H.1) FB = FC Định lý 4 Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

(EF || AB ; EF || CD ABCD là hình thang

> ( EF là đường trung bình

. AB + CD (H.b)

EF =

BÀI TẬP ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC Bài 20. Tính giá trị x trên hình 41.

| GIẢI KA = KC = 8 (gt) Ta có

K = Ĉ = 50° → KI // BC (2) Theo định lý 1 về đường trung bình của Btam giác, từ (1) và (2) suy ra I là trung

Hình 41 điểm của cạnh AB hay x = 1A = IB = 10. Bài 21. Tính khoảng cách AB giữa hai mũi của compa

trên hình 42, biết rằng C là trung điểm của OA, D là trung điểm của AB và CD = 3cm.

10

–

50

GIẢI

2

CO = CA (gt) Ta có : DO = DB (gt)

3cm -> CD là đường trung bình của tam giác OAB – CD = AB hay AB = 2CD = 2.3 = 6 (cm)

А ов Vậy khoảng cách AB giữa hai mũi của compa là 6cm. Bài 22. Cho hình 43. Chứng minh rằng AI = IM.

Hình 42 | GIẢI Chứng minh AI = IM

MB = MC (gt) Ta có :

EC = ED (gt) ME là đường trung bình của tam giác CBD ME // BD DA = DE (gt)

” M

(1) Xét tam giác AEM có :

Hình 43 DI // ME (cmt) (2) Theo định lý 1 về đường trung bình của tam giác, từ (1) và (2) suy ra là trung điểm của AM. Vậy AI = IM (đpcm)

ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG Bài 23. Tính giá trị x trên hình 44

GIẢI

.MN MP 1 PQ Ta có :

* — MP || NQ = MNQP là hình thang (NQ 1 PQ (IKIPQ = IK // MP (1)

phodm xd MP 1 PQ

Hình 44 Ta còn có IM = IN (gt) (2) Theo định lý 3 về đường trung bình hình thang nên từ (1) và (2) suy ra KP= KQ hay x = 5dm.

KUQ

Bài 24. Hai điểm A và B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng

1. Khoảng cách từ điểm A đến xy bằng 12cm, khoảng cách từ điểm B đến xy bằng 20cm. Tính khoảng cách từ trung điểm C của AB đến xy

GIẢI Gọi AH và BK là khoảng cách từ A và B đến xy, ta có : AH I ху

> AH | BK + ABKH là hình thang BK 1 xy Ta có CA = CB (gt)

(1) Kě CM 1 xy = CM || AH // BK (2) Từ (1) và (2) = MH = MK (3) Từ (1) và (3) suy ra CM là đường trung bình của hình thang ABKH.

I 20 = CM = }(AH + BK) = 2(12 + 20) = 16 (cm) Vậy khoảng cách từ C đến xy là 16cm.

X H M K y Bài 25. Hình thang ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, K theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, BD. Chứng minh rằng ba điểm E, K, F thẳng hàng.

GIẢI Chứng minh E, K, F thẳng hàng

ED = EA (gt) Ta có

KD = KB (gt) = EK là đường trung bình của tam giác DAB >> EK || AB (1)

ED = EA (gt)

FC = FB (gt) + EF là đường trung bình của hình thang ABCD = EF // AB (2) Từ (1) và (2) ta thấy EK và EF cùng vẽ từ E và cùng song song với AB nên theo tiên đề dclít thì EK và EF phải trùng nhau. Vậy E, K, F thẳng hàng.

| LUYỆN TẬP Bài 26. Tính x, y trên hình 45, trong đó AB // CD // EF 1/ GH

GIẢI

A 8 Ta có • CD là đường trung bình của hình thang ABFE

> x = CD = (AB + EF) = 5(8 + 16) = 12 of Vậy x = 12 EF là đường trung bình của hình thang CDHG = EF = (x+y) hay 16 = (12+y) L

Hình 45 = 12 + y = 32 = y = 32 – 12 = 20. Vậy y = 20.

Còn có 3

>

X

=

E

Bài 27. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, K theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC. a) So sánh các độ dài EK và CD, KF và AB.

AB + CD b) Chứng minh rằng EF < :

GIẢI a) Ta có :

EK là đường trung bình của tam giác ACD = EK – CD KF là đường trung bình của tam giác CAB

→ KF = AB b) Từ tam giác EKF ta có EF < EK + KF

Từ kết quả câu a suy ra EF = AB + cp hay EF < (AB + CD) Dấu “=” xảy ra khi ba điểm A, E, F thẳng hàng. Trong trường hợp này,

tứ giác ABCD là hình thang (AB // CD). Bài 28. Cho hình thang ABCD (AB // CD), E là trung điểm của AD,F là trung

điểm của BC. Đường thẳng EF cắt BD ở I, cắt AC ở K. a) Chứng minh rằng AK = KC, BI = ID. b) Cho AB = 6cm, CD = 10cm. Tính các độ dài EI, KF, IK.

GIẢI EA = ED (gt) a) Ta có

– EF là đường trung bình của hình thang ABCD FB = FC (gt) = EF // AB và EF || CD Trong tam giác ADB có E là trung điểm của AD và EI || AB lên Em đi qua trung điểm của BD hay IB = ID.

Chứng minh tương tự với tam giác ABC, ta được AK = KC. b) Từ kết quả câu a, ta có EI là đường trung bình của tam giác DAB EI = AB = 3 (cm)

A

B KF là đường trung bình của tam giác CAB

IXK => KF = – AB = 3 (cm)

EL

EF là đường trung bình của hình thang ABCD

>> EF = (AB + CD) = (6 + 10) = 8 (cm) Ta có IK = EF -(EI + KF) = 8- (3+3) = 2 (cm)

Vậy EI = KF = 3cm và IK = 2cm.