Định nghĩa Hình vuông là tứ giác có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau. Từ định nghĩa hình vuông, suy ra :

– Hình vuông là hình chữ nhật có 4 cạnh bằng nhau.

– Hình vuông là hình thoi có 4 góc bằng nhau. Như vậy, hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi. Tính chất Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi. Dấu hiệu nhận biết một tứ giác là hình vuông 1) Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông 2) Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông. 3) Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc

là hình vuông. 4) Hình thoi có một góc vuông là hình vuông. 5) Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

BÀI TẬP Bài 79. a) Một hình vuông có cạnh bằng 3cm. Đường chéo của hình vuông đó

bằng 6cm ; 18 cm ; 5cm hay 4cm ? b) Đường chéo của một hình vuông bằng 2dm. Cạnh của hình vuông đó

bằng 10m, 3 dm, 2 dm hay 4 dm ? Gợi ý Nếu gọi a (c) là độ dài cạnh hình vuông và d (c) là độ dài đường chéo hình vuông, theo định lý Pitago, ta có d = a + a = 2a Suy ra d = a/2 loặc a =

3

L

idy

* Học sinh tự làm tính.

1. a) Đáp số d = 18 (cm)
2. b) Đáp số a = V2 (dm) Bài 80. Hãy chỉ rõ tâm đối xứng của hình vuông, các trục đối xứng của hình vuông.

GIẢI Hình vuông có một tâm đối xứng là giao diện của hai đường chéo. Hình vuông có 4 trục đối xứng gồm : + hai đường chéo ((d1) và (d))) + hai đường thẳng là trung trực của hai cạnh liên tiếp (d1) và (d))

(dar Bài 81. Cho hình 106. Tứ giác AEDF là hình gì ? Vì sao ?

B

GIAI Ta có : – Tứ giác AEDF có AE // DF và DE // AF

nên AEDF là hình bình hành. – Hình bình hành AEDF có đường chéo AD

Ep là phân giác của góc A (gt) nên AEDF là | hình thoi. Hình thoi AEDF có A = 2.45° – 90°.

Hình 106 Vậy AEDF là hình vuông. Bài 82, Cho hình 107, trong đó ABCD là hình vuông. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình vuông.

GIẢI ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA HK mà AE = BF = CG = DH (gt) BE = CF = DG = AH

Hình 1070 Từ kết quả trên ta chứng minh được

А

Е

В

AAEH = ABFE = ACGF = ADHG > HE = EF = FG = GH – EFGH là hình thoi (1) Từ AAEH = ABFE > H = Ê mà H + 2 = 90° = 6 + 2 = 90° Suy ra HEF = 90° (2) Từ (1) và (2) suy ra EFGH là hình vuông.

HK

LUYỆN TẬP

Bài 83. Các câu sau đúng hay sai ?

1. a) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi. b) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của

mỗi đường là hình thoi. c) Hình thoi là tứ giác có tất cả các cạnh bằng nhau. d) Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông. e) Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

GIẢI a) Câu a sai. Tứ giác ABCD (hình vẽ bên)

có hai đường chéo vuông góc với nhau nhưng không phải là hình thoi vì các

cạnh không bằng nhau. b) Câu b đúng. Vì OA = OC và OB = OD

= ABCD là hình bình hành. Hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại

0 là hình thoi (dấu hiệu 3). c) Câu c đúng. (định nghĩa) d) Câu này sai vì hình chữ nhật đã có hai

đường chéo bằng nhau còn thiếu điều

kiện vuông góc với nhau (dấu hiệu 2). e) Câu này đúng. Bài 84, Cho tam giác ABC, D là một điểm nằm giữa B và C. Qua D kẻ các

đường thẳng song song với AB và AC, chúng cắt các cạnh AC và AB

theo thứ tự ở E và F. a) Tứ giác AEDF là hình gì ? Vì sao ? b) Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình thoi ? c) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác AEDF là hình gì ? Điểm D vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình vuông ?

GIẢI a) Tứ giác AEDF có AE // DF (gt) và DE // FA (gt)

Vậy AEDF là hình bình hành (định nghĩa) (Ha)

1. b) Để hình bình hành ABDF trở thành hình thoi thì đường chéo AD là

phân giác của góc A. Vậy điểm D là giao điểm của phân giác góc A

với cạnh BC thì AEDF là hình thoi (H.b). c) Nếu ABC là tam giác vuông tại A thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật

(H.c). Trong câu b ta thấy, nếu AD là đường phân giác trong cua góc A (D 6 BC) thì AEDF là hình thoi và nếu tam giác ABC vuông tại A thì hình thoi AEDF trở thành hình vuông. Vậy để tứ giác AEF là hình vuông thì tam giác ABC vuông tại A và D là giao điểm của phân giác góc A và BC. A

B.

D (H.a)

BSD

(H.b)

1. (H.c)

2

Tóm lại Tam giác ABC có 2 c BC ; DE // AC ; DF // AB a) DE // AC và DF // AB b) Hình bình hành 1 c) Hình thoi AEDF + => AEDF là hình | AEDF + A = A) | BAC = 90° bình hành

= AEDF là hình thoi – AEDF là hình vuông Bài 85. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung

điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm

của BF và CE. a) Tứ giác ADFE là hình gì ? Vì sao ? b) Tứ giác EMFN là hình vì ? Vì sao ?

GIÁL a) Ta có AE = EB = AB (gt), FC = FD = CD (gt) và AD = BC = AB (gt) mà AB = CD (cạnh đối của hình chữ nhật ABCD)

| AB // CD = AE = DF và AE // DF Do đó ADFE là hình bình hành Ta còn có AE = AD = AB (gt) Vậy AEFD là hình thoi (1) Lại có A = 90° (gt)

(2) Từ (1) và (2) suy ra AEFD là hình vuông. b) Ta có AE song song và bằng CF (gt) nên tứ giác AECF là hình bình

hành ở AF || CE (1) Tương tự ta có tứ giác BFDE là hình bình hành – )// DE (2) Từ (1) và (2) = EMFN là hình bình hành. Do ADFE là hình vuông có :

ME = MF (bằng nửa đường chéo)- Hanh bình hành EMFN là hình thoi • EMF = 90° (hai đường chéo vuông góc với nhau)

Hình thoi EMFN là hình vuông. Vậy EMFN là hình vuông. Bài 86. Đố. Lấy một tờ giấy gấp làm tư rồi cắt chéo theo nhát cắt AB (h.108).

Sau khi mở tờ giấy ra, ta được một tứ giác, tứ giác nhận được là hình gì ? Vì sao ? Nếu ta có OA = OB thì tứ giác nhận được là hình gì ?

GIAI

Tứ giác nhận được có bốn cạnh bằng nhau : đồng thời có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và vuông góc với nhau.

Vậy tứ giác nhận được là hình thoi.

–

11ình 108

Nếu có tên OA = OB (gt) thì hình thoi đó có hai đường cho bằng nhau nên tứ giác đó trở thành hình vuông.