Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương

Tính chất: Với ba số a, b, c là c > 0, ta có : • Nếu a < b thì ác ý bc

• Nếu a < b thì ac < bc • Nếu a > b thì ac > bc
• Nếu a > b thì ac > bc * Khi nhận cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương ta được

| bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. 2 Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số âm

Tính chất: Với ba số a, b, c mà c < 0 thì: • Nếu a < b thì ac > bc

• Nếu a < b thì ac > bc • Nếu a > b thì ac < bc
• Nếu a > b thì ac < bc + Khi nhận cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta

được bất đẳng thức với ngược chiều với bất đẳng thức đã cho. 3 Tính chất bắc cầu của thứ tự

Với ba số a, b, c ta có • Nếu a < b và b < c thì a < c • Nếu a > b và b > c thì a > 0 • Nếu a < b và b < c thì a < c • Nếu a > b và b > c thì a > c.

Bài 5. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai ? Vì sao ? a) (- 6).5 < (-5).5

1. b) (-6).(-3) < (- 5)(-3) c) (-2003)(- 2005) 5 (- 2005).2004 d) – 3×2 so

GIẢI a) Đúng, vì – 6 < – 5, khi nhận hai vế cùng số 5 > 0, ta có (- 6).5 < (- 5.5 b) Sai, vì – 6 < – 5, khi nhân hai vế với cùng số (- 3) < 0, bất đẳng thức

niới lại không đổi chiều. Phải là (- 6) – 3) > (- 5)(- 3) c) Sai, vì – 2003 < 2004, khi nhận cả hai vế với cùng số (- 2005), bất

đẳng thức mới lại không đổi chiều. Phải là (- 2003) – 2005) > (- 2005).2004

1. d) Đúng, ta có x > 0 vì – 3 < 0 nên – 3x < 0. Bài 6. Cho a < b, hãy so sánh 2a và 2b; 2a và a + b; – a và – b.

GIẢI • Áp dụng tính chất : Nếu a < b thì ac < bc nếu c > 0

Do đó a < b = 2a < 2b với c = 2 > 0 | Áp dụng tính chất : Nếu a < b thì a + c < b + c

Do đó a < b = a + a = a + b = 2a = a + b • Áp dụng tính chất : Nếu a < b thì ac > bc nếu c < 0

Do đó a < b = a(- 1) > (- 1) + – a > – b với c = – 1 < 0 Bài 7. Số a là số âm hay dương nếu 12a < 15a ; 4a = 3a ; – 3a 2 – 5a

GIẢI • Ta có : 12 < 15 (1)

Đã nhân hai vế của (1) với a được (2) vẫn 12a < 15a (2) cùng chiều với (1). Do đó a > 0

Ta có

4 > 3

(1)

> Đã nhân hai vế của (1) với a được (2) đã 4a < 3a (2) ngược chiều với (1). Do đó a < 0

Tương tự a) ta có – 3a 2 – 5a cùng chiều với – 3 > – 5. Do đó a > 0. Bài 8. Cho a < b (1). Chứng tỏ : a) 2a – 3 < 2b – 3

1. b) 2a – 3 < 2b + 5

GIẢI a) Nhân hai vế của (1) với 2 > 0 ta được 2a < 2b (2)

Cộng hai vế của (2) với cùng số (- 3) ta được 2a – 3 < 2b – 3 b) Tương tự câu a), a < b + 2a < 2b = 2a – 3 < 2b – 3 (1)

mà 2b + (- 3) < 2b + 5 (vì – 3 < 5) (2) Từ (1) và (2) ta có 2a – 3 < 2b – 3 < 2b + 5

Vậy, theo tính chất bắc cầu của thứ tự, ta có 2a – 3 < 2b + 5 Bài 9. Cho tam giác ABC. Các khẳng định sau đúng hay sai ? a) Â+ + Ĉ > 180°

1. b) A + B < 1800 c) Ê + Ĉ < 180°
2. d) Â +ß > 180°

GIẢI a) Ta đã biết tổng các góc trong tam giác ABC là A + B + C = 180° (1)

Vậy khẳng định A + B + C > 180° là sai. b) Từ (1) suy ra A + B = 180° – C < 180°.

Vậy khẳng định A + B = 180° (2) là đúng. c) Ta đã có B + C < 180° (2). Vậy khẳng định B + C < 180” là sai vì

B + C không thể bằng 180°.

1. d) Ta đã có khẳng định B + C < 180° đúng, nên khẳng định

A + B > 180° là sai. Bài 10.

4. a) So sánh (- 2).3 và – 4.5 b) Từ kết quả câu a) hãy suy ra các bất đẳng thức sau: (-2).30 < – 45 ;

(-2).3 + 4,5 <0

GIẢI a) Ta có – 2 < – 1,5 (- 2).3 <(- 1,5).3 = (- 2).3 < – 4,5 b) * Do (-2).3 <- 4,5 (-2).3.10 <- 4,5.10 (10 > 0)

(-2).30 < – 45 * Do (-2).3 < – 45 (-2).3 + 4,5 <- 4,5 + 4,5 = 0

1-2).3 + 4,5 <0 Bài 11. Cho a < b, chứng minh: a) 3a + 1 < 3b + 1

1. b) – 2a – 5 > – 2b – 5

GIẢI a) Áp dụng các tính chất : * Nếu a < b thì ac < bc nếu c > 0; * Nếu a < b thì a + c < b + c.

Ta có a < b (giả thiết) = 3a < 3b (nhân hai vế với 3 > 0) (2) Do đó 3a + 1 < 3b + 1 (cộng hai vế của (2) với 1)

Vậy nếu a < b thì 3a + 1 < 3b + 1 (đpcm). b) Tương tự a < b = – 2a 2 – 2b (nhân hai vế với – 2 < 0 nên đổi chiều)

= – 2a – 5 > – 2b – 5 (cộng hai vế với(- 5))

Vậy nếu a < b thì – 2a – 5 > – 2b – 5 (đpcm). Bài 12. Chứng minh a) 4.(-2) + 14 < 4.(-1) + 14 b) (-3).2 + 5 < (-3).(-5) + 5

GIẢI a) Vì 4 > 2 + 4(- 2) = 2(- 2)

4(-2) + 14 < 2(-2) + 14 [2(- 2) = 4(- 1)] Vậy 4(-2) + 14 < 4(- 1) + 14 (đpcm) b) Ta có 2 > – 5 = (- 3).2 = (- 3) – 5) (nhân hai vế với – 3 < 0 nên đổi chiều)

Cộ (- 3)2 + 5 < (- 3).(- 5) + 5 (cộng hai vế với 5) Vậy (- 3)2 + 5 < (- 3).(-5) + 5 (đpcm). Bài 13. So sánh a và b nếu: a) a + 5 < b + 5

1. b) – 3a > — 3b c) 5a – 6 2 5b – 6
2. d) – 2a + 3 5 – 2b + 3

GIẢI a) a + 5 < b + 5 B a + 5 + (-5) < b + 5 + (-5)

a<b

1. b) Ta có – 3a > – 3b

– 3a –

a<b

1. b) Ta có – 3a > – 3b – 3a(- ) <-36( – ) c) 5a – 6 2 5b – 6 5a – 6 + 6 2 5b – 6 + 6

3)

caso

5a 256

.5b saab

5 d) – 2a + 3 5 – 2b + 3 – 2a 5 – 2b a 2b Bài 14. Cho a < b, hãy so sánh 2a + 1 với 2b + 1; 2a + 1 với 2b + 3

GIẢI a <b 2a < 2b = 2a + 1 < 2b + 1 (1) 1<3 @ 2b + 1 < 2b + 3

(2) Từ (1) và (2) suy ra 2a + 1 < 2b + 1 < 2b + 3 Vậy 2a + 1 < 2b + 3