Kiến thức cần nhớ Tóm tắt các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình * Bước 1: Lập phương trình

• Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn • Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng

đã biết • Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng * Bước 2: Giải phương trình * Bước 3: Trả lời: Xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm

nào thỏa mãn điều kiện của ẩn đã nêu ở bước 1, nghiệm nào không

thỏa mãn rồi kết luận. Bài 33. Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó 3 đơn vị. Nếu

tăng cả tử và mẫu của nó thêm 2 đơn vị thì được phân số mới bằng 4. Tìm phân số ban đầu.

GIẢI Đặt x là tử số của phân số phải tìm. Điều kiện x + Z và x + – 3 Khi đó phân số phải tìm là *.

X + 3

X + 2 1 Theo đề bài ta có phương trình :

2(x + 2) = x + 5 X +5 2

– x — 1 (nhận) Trả lời: Vậy phân số phải tìm là “ = 4

x + 3

X

21

Bài 34. Học kì một, số học sinh giỏi của lớp 8A 1

học sinh

cả lớp. Sang học kì hai, có thêm 3 bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa, do đó số học sinh giỏi bằng 20% số học sinh cả lớp. Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh ?

GIẢI Gọi x (học sinh) là số học sinh của lớp 8A. (ĐK : x nguyên, dương). Số học sinh giỏi của lớp 8A ở học kì một là ở (học sinh)

X

x ..

tức là 1.20

Số học sinh giỏi của lớp 8A ở học kì hai là 2 + 3 (học sinh) Theo đề bài thì số học sinh giỏi học kì hai bằng 20% số học sinh cả lớp

> (học sinh) 100 5 Ta có phương trình x + 3 = X (MSC = 40)

– 5x + 120 = 8x + 3x = 120 ° x = 40 (nhận) Trả lời: Vậy số học sinh của lớp 8A là 40 học sinh. Bài 35. (Bài toán nói về cuộc đời nhà toán học Đi-ô-phăng, lấy trong

Hợp tuyển Hi Lạp – cuốn sách gồm 46 bài toán về số, viết dưới dạng thơ trào phúng). Thời thơ ấu của Đi-ô-phăng chiếm 1 cuộc đời

6 cuộc đời tiếp theo là thời thanh niên sôi nổi Thêm 1 cuộc đời nữa ông sống độc thân Sau khi lập gia đình được 5 năm thì sinh một con trai Nhưng số mệnh chỉ cho con sống bằng nửa đời cha Ông đã từ trần 4 năm sau khi con ông mất Đi-ô-phăng sống bao nhiêu tuổi, hãy tính cho ra.

GLÁI Gọi x(tuổi) là tuổi của Đi-ô-phăng. Điều kiện x nguyên, dương. Thời thơ ấu là K (tuổi), thời thanh niên là B (tuổi), thời kì độc thân sau tuổi thanh niên 8 (tuổi), lập gia đình sau 5 năm (tức là thêm 5 tuổi) mới có con. Tuổi của con Đi-ô-phăng cho đến khi chết (tuổi), Đi-ô-phăng sống thêm 4 năm nữa (tức là thêm 4 tuổi) mới từ trần.

X X X X Ta có phương trình C+ ++ 5++ 4 = x (MSC = 84)

14x + 7x + 12x + 42x + 756 = 84x

8 75x + 756 = 84x + x = 84 (nhận) Trả lời: Vậy Đi-ô-phăng sống được 84 tuổi.

Bài 36. Lúc 6 giờ sáng, một xe máy khởi hành từ A đến B. Sau đó 1

giờ, một ô tô cũng xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình lớn hơn vận tốc trung bình của xe máy 20km/h. Cả hai xe đến B đồng thời vào lúc 9 giờ 30 phút sáng cùng ngày. Tính độ dài quãng đường AB và vận tốc trung bình của xe máy.

GIẢI Gọi x (km) là độ dài quãng đường AB thì vận tốc của xe máy là ga (km/h), vận tốc xe ô tô là 25 (km/h) (9 giờ 30 phút – 6 giờ = 3 giờ 30 phút) Vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 20km/h. Do đó ta có phương trình ” ” = 20 = x = 175 (nhận) Trả lời:

Vậy quãng đường AB dài 175km. Vận tốc xe máy là 878 = 50(km/h) Bài 37. Điểm kiểm tra Toán của một tổ học tập được cho trong bảng sau:

Điểm số (x) Tần số (f) | 1 | * | 2 | 3 | = | n = 10 – Biết điểm trung bình của cả tổ là 6,6. Hãy điền giá trị thích hợp vào hai ô còn trống (được đánh dấu *).

GIẢI Gọi x là số học sinh đạt điểm 9 (x là số tự nhiên) Khi đó tần số điểm 9 là 10 – (1 + x + 2 + 3) = 4 – x Theo công thức tính số trung bình (điểm trung bình) ta có : 4×1 + 5* x + 7× 2 + 8×3 + 9(4 – x)

9 = 6,6 10 e 78 – 4x = 66 x = 3 (nhận) Kết quả ta có bảng tần số điểm kiểm tra Toán của tổ học tập là :

Điểm số (x) 4 5 7 8 9 Tần số (f)

2 2 3 1 n = 10 Bài 38. Lan mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 120 nghìn đồng,

trong đó đã tính cả 10 nghìn đồng là thuế giá trị gia tăng (viết tắt là thuế VAT). Biết rằng thuế VAT đối với loại hàng thứ nhất là 10%, thuế VAT đối với loại hàng thứ hai là 8%. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì Lan phải trả mỗi loại hàng bao nhiêu tiền ? Ghi chú: Thuế VAT là thuế mà người mua hàng phải trả, người bán hàng thu và nộp cho Nhà nước. Giả sử thuế VAT đối với mặt hàng A được quy định là 10%. Khi đó nếu giá bán của A là a đồng

10x

(110 – x).8% = 8(110 – x)

thì kể cả thuế VAT, người mua mặt hàng này phải trả tổng cộng là a + 10%a đồng.

GIẢI Giá tiền hai món hàng không kể thuế là 120 – 10 = 110 (nghìn đồng) Gọi x (nghìn đồng) là giá tiền món hàng thứ nhất (không kể thuế) thì giá tiền món hàng thứ hai (không kể thuế) là (110 – x) (nghìn đồng). Điều kiện 0 < x < 110. • Tiền thuế VAT của loại hàng thứ nhất là x.10% = 10K (nghìn đồng) • Tiền thuế VAT của loại hàng thứ hai là :

^2 (nghìn đồng) 100

10x 8(110 – ) – 10 Theo đề bài ta có phương trình

100 100 Giải phương trình ta được x = 60 (nhận) Trả lời: Vậy số tiền Lan phải trả cho món hàng thứ nhất là 60 nghìn

đồng, và trả cho món hàng thứ hai là 50 nghìn đồng (không kể thuế). Bài 39. Năm nay, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương. Phương tính rằng

13 năm nữa thì tuổi mẹ còn gấp 2 lần tuổi Phương thôi. Hỏi năm nay Phương bao nhiêu tuổi ?

GIẢI Gọi x (tuổi) là tuổi của Phương hiện nay (ĐK: x nguyên dương), thì tuổi của mẹ Phương là 3x (tuổi) Mười ba năm sau thì tuổi của Phương là x + 13, tuổi của mẹ Phương là 3x + 13 (tuổi). Theo đề bài, ta có phương trình 3x + 13 = 2(x +13) > x = 13 (nhận)

Trả lời: Vậy năm nay Phương 13 tuổi. Bài 40. Một số tự nhiên có hai chữ số. Chữ số hàng đơn vị gấp hai

lần chữ số hàng chục. Nếu thêm chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số ấy thì được một số mới lớn hơn số ban đầu là 370. Tìm số ban đầu

GIẢI Gọi x là chữ số hàng chục. Điều kiện: x nguyên dương và 0 < x < 9. khi đó chữ số hàng đơn vị là 2x. Khi xen chữ số 1 vào giữa hai chữ số thì x là chữ số hàng trăm và 2x là chữ số hàng đơn vị. Như vậy số ban đầu là 10x + 2x, số mới là 100x + 10.1 + 2x Theo đề bài ta có phương trình (100x + 10 + 2x) – (10x + 2x) = 370

= 100x + 10 + 2x – 10x – 2x = 370 e x = 4 (nhận) Trả lời: Vậy số đã cho là 48.

Bài 41. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm một

chữ số 2 vào bên trái và một chữ số 2 vào bên phải số đó thì ta được một số lớn gấp 153 lần số ban đầu.

GIẢI Gọi ab là số có hai chữ số cần tìm (ĐK: a, b c N, 0 < a < 9 và 0 < b < 9) Khi thêm một chữ số 2 vào bên trái và một chữ số 2 vào bên phải của số ab thì ta có số mới là:

2ab2 = 2000 + 100a + 10b + 2 = 2000 + 10 ab + 2 Theo đề bài ta có phương trình :

2ab2 = 153. ab hay 2000 + 10 ab + 2 = 153 ab

e 153 ab – 10 ab = 2002 = 143 ab = 2002 e ab = 14 (nhận) Trả lời: Vậy số tự nhiên cần tìm là 14. Bài 42. Tìm phân số có các tính chất sau:

1. a) Tử số của phân số là số tự nhiên có một chữ số b) Hiệu giữa tử số và mẫu số bằng 4 c) Nếu giữ nguyên tử số và viết thêm vào bên phải của mẫu số

một chữ số đúng bằng tử số, thì ta được một phân số bằng phân số 5.

GIẢI Nếu gọi x là tử số của phân số ban đầu Điều kiện x nguyên, dương và x < 10 suy ra phân số ban đầu là ^.

X-4 Khi viết thêm chữ số bằng tỷ số lúc đầu vào bên phải thì giá trị của mẫu số sẽ là 10(x – 4) + x (vì lúc này x – 4 là chữ số hàng chục và x là chữ số hàng đơn vị). Theo đề bài ta có phương trình :

X = 2 = 5x = 11x – 40 @ 6x = 40 e x = 4 (loại) 10(x-4) + x 5 Trả lời: Vậy không có phân số nào có đủ tính chất đã cho. Bài 43. Điểm kiểm tra Toán của một lớp được cho trong bảng dưới đây: | Điểm số (x) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | Tần số (n) | 0 1 0 1 2 1 * | 10 | 12 | 7 | 6 | 4 | 1 | n = *

Trong đó có hai ô còn trống (thay bằng dấu *). Hãy điền số thích hợp vào ô trống, nếu điểm trung bình của lớp là 6,06.

GIẢI Gọi x là tần số của điểm 4 thì tổng số học sinh tham gia kiểm tra là:

n = 2 + x + 10 + 12 + 7 + 6 + 4 + 1 = x + 42 (x E N) Điểm trung bình kiểm tra là :

20

3

1x + 2x + 3×2+4*X+5×10 + 6×12 + 7 x 7 + 8×6+9×4 + 10×1

= 6,06 X + 42 e 4x + 271 = 6,06(x + 42) = 2,06x = 16,48 e x = 8 (nhận) Ta có kết quả ở trong bảng là Điểm số (x) 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | Tần số (n) | 0 | 0 | 2 | 8 | 10 | 12 | 7 | 6 | 4 | 1 | n = 50 |

Trả lời: Vậy hai số phải tìm là 8 và 50. Bài 44. Một xí nghiệp kí hợp đồng dệt một số tấm thảm len trong 20

ngày. Do cải tiến kĩ thuật, năng suất dệt của xí nghiệp đã tăng 20%. Bởi vậy chỉ trong 18 ngày, không những xí nghiệp đã hoàn thành số thảm cần dệt mà còn dệt thêm 24 tấm nữa. Tính số tấm thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng.

GIAI Gọi x (tấm) là số thảm len theo kế hoạch phải dệt trong một ngày. Điều kiện x nguyên dương Số thảm len xí nghiệp kí hợp đồng là 20x (tấm) Số tấm thảm len thực tế đã dệt được trong một ngày (nhờ cải tiến kĩ

120 thuật) là 4x = 1,2x (tấm)

100 Theo đề bài ta có phương trình:

| 18.(1,2x) = 20x + 24 = 1,6x = 24 + x = 15 (nhận) Trả lời: Vậy số thảm len phải dệt theo hợp đồng là 300 tấm. Bài 45. Một người lái ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 48km/h.

Nhưng sau khi đi được một giờ với vận tốc ấy, ô tô bị tàu hỏa chắn đường trong 10 phút. Do đó, để kịp đến B đúng thời gian đã định, người đó phải tăng vận tốc thêm 6km/h. Tính quãng đường AB.

GIẢI Gọi x (km) là độ dài quãng đường AB (x > 48), thời gian dự định đi là

(h). Sau khi đi được 1 giờ với vận tốc 48km/h thì quãng đường AB còn 48 lại là (x – 48) (km). Vận tốc ô tô sau khi bị chặn đường là 48 + 6 = 54 (km/h) Thời gian đi hết quãng đường còn lại là :

–

(h)

54

1

Theo đề bài ta có phương trình –

in X X — 48

1+ –

54 X X 7 8

48 54 6 9 Trả lời: Vậy quãng đường AB dài 120km.

e x = 120 (nhận).

Bài 46. Bà An gửi vào quỹ tiết kiệm x nghìn đồng với lãi suất mỗi

tháng là a% (a là một số cho trước) và lãi tháng này được tính gộp vào vốn cho tháng sau. a) Hãy viết biểu thức biểu thị:

• Số tiền lãi sau tháng thứ nhất ; • Số tiền (cả gốc lẫn lãi) có được sau tháng thứ nhất ;
• Tổng số tiền lãi có được sau tháng thứ hai. b) Nếu lãi suất là 1,2% (tức a = 1,2) và sau hai tháng tổng số tiền

lãi là 48,288 nghìn đồng, thì lúc đầu bà An đã gửi bao nhiêu tiền tiết kiệm. ?

GIẢI a) • Số tiền lãi sau một tháng gửi với lãi suất 4% của số tiền gửi x nghìn

đồng là ax. Số tiền có được (cả gốc lẫn lãi) sau tháng thứ nhất là :

x + ax = x(1 + a) (nghìn đồng) • Số tiền lãi (STL) sau hai tháng là :

STL = ax + ax(1 + a) = x(ao + 2a) (nghìn đồng) b) Thay a = 1,2 và STL = 48,288 ta được : 144 24

48,288 (nghìn đồng) + x = 2000 (nghìn đồng) (1000000 1000) hay x = 2 000 000 đồng.

Trả lời: Vậy lúc đầu bà An gửi tiết kiệm là hai triệu đồng. Bài 47. Năm ngoái, tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu. Năm

nay, dân số của tỉnh A tăng thêm 1,1%, còn dân số của tỉnh B tăng thêm 1,2%. Tuy vậy số dân của tỉnh A năm nay vẫn nhiều hơn tỉnh B là 807200 người. Tính số dân năm ngoái của mỗi tỉnh.

GIẢI Gọi x (triệu) là số dân năm ngoái của tỉnh A(ĐK x > 0) thì số dân năm ngoài của tỉnh B là (4 – x) (triệu) Số dân tỉnh A và số dân tỉnh B năm nay là : Tỉnh A là 1000000x(1,011) người, Tỉnh B là 1000000(4 – x)(1,012) người. Theo đề bài ta có phương trình :

1,011 ~ 1000000x = 1,012 1000000(4 – x) + 807200 Giải phương trình ta được x = 2,4 (nhận) Trả lời: Vậy số dân năm ngoái của tỉnh A là 2,4 triệu người và của tỉnh B là 1,6 triệu người.

3cm

D

E

Bài 48. Đố. Lan có một miếng bìa hình tam

giác ABC vuông tại A, cạnh AB = 3cm. Lan tính rằng nếu cắt từ miếng bìa đó ra một hình chữ nhật có chiều dài 2cm như hình 5 thì hình chữ nhật ấy có diện tích bằng một nửa diện tích của miếng bìa ban đầu. Tính độ dài cạnh AC của tam giác ABC.

GIẢI Gọi x (cm) là độ dài cạnh AC (ĐK: x – 2) Diện tích tam giác ABC là

A

2cm G Hình 5

Suy ra diện tích hình chữ nhật ADEG là S = Js = 3X (cm?)

Chiều rộng hình chữ nhật ADEG là

11

Do S = 3s nên diện tích hình chữ nhật (S) bằng tổng diện tích hai tam giác BDE và CEG hay hay S’ = { DE.DB + {GC.GE = 2(3-3) + 2(x – 2). in Ta có phương trình Ảx = 3.

+

0

1 1 3

= 23 – 28 3x 1

+-IX –

8

21

3x

3×2 6x (MSC = 16)

3cm

12x = 48 – 6x + 3×2 – 6x

3×2 – 24x + 48 = 0 0 x? – 8x + 16 = () > (x – 4)^ = 0 + x = 4 (nhận) Trả lời: Vậy độ dài cạnh AC của tam giác ABC là 4cm.

A

2cm

xcm