1| Phân thức đối

• Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0. • Tổng quát Với phân thức

A

Do đó là phân thức đối của Và ngược lại ý là phân thức đối của Phân thức đối của phân thức A được ký hiệu – A

[2] Phép trừ

Qui tắc

Muốn trừ phân thức đ cho phân thức , ta cộng 8 với phân thức đối của

Chú ý Thứ tự thực hiện các phép tính về phân thức cũng giống

như thứ tự thực hiện các phép tính về số.

BÀI TẬP Bài 28. Theo qui tắc đổi dấu ta có

Do đó ta cũng có

Α B

–

— B

–

—

—

—

Chẳng hạn, phân thức đối của ~*~

5 –

x 5 – X – (5 – x) X – 5 Áp dụng điều này hãy điền những phân thức thích hợp vào những chỗ trống dưới đây

4x + 1 = ……. = …….. 1 – 5x

.

5- X

a)

x + 2

b)

GIẢI

–

——–

–

x2 + 2 x2 + 2 x2 + 2

4x + 1 4x + 1 1 – 5x -(1 – 5x) 5x – 1

5- X 8-5 Bài 29. Làm tính từ các phân thức sau 4x -1 7x – 1

4x + 5 5 – 9x 3x’y 3x y

2x – 1 2x – 1 11x x – 18

2x – 7 3x + 5 2x — 3 3 – 2x

10x – 4 4 – 10x

GIẢI 4x-1 7x-1 4x-1-(7x – 1) 4x – 1 – 7x +1 -3x 1 3x y 3xy 3x”y

3xy

3x y XV 4x + 5 5-9x 4x + 5 — (5-9x) 4x + 5 -5 + 9x 13x b) 2x – 1 2x —

1 2x – 1

2 8 -1 2x – 1 11x X-18 11x x – 18 11x + x – 18 2x – 3 3 – 2x 2x-3 2x – 3 2x – 3

12x – 18 6(2x – 3)

2x – 3 2x – 3 2x – 7 3x +5 2x – 7 3x +5 2x – 7 + 3x + 5 10x -4 4-10x 10x – 4 10x -4 10x – 4

5x – 2 5x – 2 1

10x – 4 2(5x – 2)2 Bài 30. Thực hiện các phép tính

– 3 X -6 2x + 6

1. b) 2×2 + 6x

X +1— 2

GIẢI – 3 X -6 3x 8-6 3x – x + 6 2x + 6 . 1

2x + 6 2×2 + 6x 2×2 + 6x 2×2 + 6x 2×2 + 6x x(2x+6) X b) x2 +1 _ ** – 3×2 + 2 _ (x+ +1)(x° -1)-(x* – 3xo + 2) x2-1

x= -1 x*- 1 – x4 + 3×2 – 2 3x” – 3 3(x – 1)

– — = 3 x2 1 2 1

—-

+

–

1. b) x2 +1x – 3×2 + 2

xo-1

b)

X

Bài 31. Chứng tỏ rằng mỗi hiệu sau đây bằng một phân thức có tử bằng 1. a) 11 X X + 1

xy – x y z

GIẢI 1 1 X+1-X 1

x x+1 x(x +1) x(x+1) h 1_ 1_ 1_ 1_

MTC = xyly – X) xy – x y2 – xy x(y — x) y(y — x)

y – x 1

xy(y – x) xy Bài 32. Đố. Đố em tính nhanh được tổng sau

—

=

–

–

–

+

–

-.

x(x + 1) (x + 1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x +4)

_ 1_ 1 (x+4)(x + 5) (x + 5)(x + 6)

GIẢI 1 1 X + 1-X 1 X X+1 x(x + 1) x(x + 1)

1 1 X+6 – X-5 X +5 X+6 (x + 5)(x+6) (x + 5)(x + 6)

Ta có

x+bx+62 *** *.6) 18+5)* + 6) Do đó A ( ) (x – 1)(x – 2) (x + 2)(x + 3) (x – 3)(x – 1)

+

+

Do đó A = —

x(x + 1)

+

(x + 1)(x + 2)

(x + 2)(x + 3)

(x+3)(x + 4)

–

–

1 X

–

–

1 X+1

(x + 4)(x + 5) 1 1 1 1 X+1 X + 2 x + 2 x + 3

1 1

x+4 +5 X+6 – X 6 x(x + 6) X(X+6)

(x + 5)(x + 6)

1 1 x + 3 x + 4

1 1 + 5 + 6

—

– +

—-

1 X

1 X + 6

b)

LUYỆN TẬP Bài 33. Làm các phép tính sau: 4xy — 5 6y2 – 5

7x + 6 3x + 6 10x®y 10x’y

2x(x + 7) 2×2 + 14x

GIẢI 4xy -5 6y2 – 5 4xy – 5 – 6y2 +5 4xy – 6y2 2y (2x – 3y)_2x – 3y

10x®y 10x®y 10x®y 10x®y 10x’y 5×8 h 7X+6 3x + 6 7x+6 3x + 6 7x+6-3x – 6 1 2

2x(x+7) 2x? +14x 2x(x+7) 2x(x+7) 2x(x+7) 2x(x+7) x + 7

=

a)

—

—

=

Bài 34. Dùng qui tắc đổi dấu rồi thực hiện các phép tính 4x + 13 x – 48

1. b) _1 25x – 15 5x(x-7) 5x(7 – x)

” X – 5×2 25×2 – 1

GIẢI 4x + 13 X – 48 4x + 13 -48 4x + 13 + x – 48 a 5x(x – 7) 5x (7 – x) 5x(x – 7) * 5x(x – 7)” 5x(x – 7)

5x – 35 5(x – 7) 1

5x(x-7) 5x(x – 7) X b) – 1 25x – 15 1 25x – 15

25x — 15 X – 5×2 25×2 – 1 x(1 – 5x) * 1 – 25x? X(1 – 5x) *(1 + 5x)(1 – 5x)

1 + 5x + x(25x – 15) 1+ 5x + 25×2 – 15x *(1 + 5x)(1 — 5x) x(1+5x)(1 – 5x)

1-10x + 25x (1 – 5x)? 1 -5x

x(1 + 5x)(1 – 5x) *(1 + 5x)(1 – 5x) x(1 +5x) Bài 35. Thực hiện các phép tính X+1 1-X 2x(1-x)

3x + 1 1 x + 3 X – 3 x + 3 9 – x2

-1)2 x + 1 1 – x2

2

b)

GIẢI

–

—

–

–

—

+

—

X +1 1-X 2x(1-x) X+1 1-X 2x – 2x X-3 X+ 3 9 – X2 X-3 X+3 X -9 MTC = (x + 3)(x – 3) = x2 – 9 (x + 1)(x + 3) – (1 – x)(x – 3) + 2x – 2×2

(x+3)(x-3) x2 + 4x +3 – X+3 + x2 – 3x + 2x – 2×2

(x + 3)(x – 3) 2x+6 2(x+3) 2 (x+3)(x – 3) (x + 3)(x – 3) x-3

zun 1 x+3 3x +1 1. X+3 MTC = (x + 1)(x – 1)(x – 1)2 x+1′ 1- x? (x – 1)2 x + 1 x? – 1 (3x + 1)(x + 1) – (x – 1) – (x+3)(x – 1)

(x + 1)(x – 1) 3×2 + 4x + 1 – x2 + 2x – 1 – x? – 2x + 3 x2 + 4x + 3 x + 3x + x + 3

(x +1)(x – 1) (x + 1)(x – 1) (x + 1)(x – 1) x(x+3)+(x+3) (x + 3)(x + 1) + 3 (x + 1)(x – 1) (x+1)(x – 1) (x – 1)?

—

–

+

+

+

x

+

–

Bài 36. Một công ty may phải sản xuất 10000 sản phẩm trong 1 ngày. Khi

thực hiện không những đã làm xong sớm một ngày mà còn làm

thêm được 80 sản phẩm. a) Hãy biểu diễn qua x:

– Số sản phẩm phải sản xuất trong một ngày theo kế hoạch. – Số sản phẩm thực tế đã làm được trong một ngày.

– Số sản phẩm làm thêm trong một ngày. b) Tính số sản phẩm làm thêm trong một ngày với x = 25.

GIẢI

–

10000 Số sản phẩm phải sản xuất trong một ngày theo kế hoạch là 1000g (sản phẩm)

10080 – Số sản phẩm thực tế đã làm được trong một ngày là ” (sản phẩm)

X-1 –

10080 Số sản phẩm làm thêm trong một ngày là

10000

” (sản phẩm) (*)

X-1 x b) Thay x = 25 vào (*), ta được : 10080 1000

420 – 400 = 20 (sản phẩm) 25 -1 25

Bài 37. Đố. Cho phân thức “xt

Đố em tìm được một phân thức mà khi lấy phân thức đã cho trừ đi phân thức phải tìm thì được một phân thức bằng phân thức đối của phân thức đã cho. .

GIẢI Gọi a là phân thức phải tìm.

2x +1 P Theo đề bài ta có ý:

2x + 1 P 2x +1 2x +1 2(2x + 1) XP-3 Q x2 –

3 Q XP-3 X2 – 3 X2 – 3 Vậy phân thức phải tìm là P 2(2x+1)

a Q 2 – 3

IN

2