Câu hỏi và bài tập 1. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Hãy chỉ ra các vectơ bằng AB có – điểm đầu và điểm cuối là 0 hoặc các đỉnh của lục giác. 2. Cho hai vectơ a và b đều khác 0. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Hai vectơ a và b cùng hướng thì cùng phương; b) Hai vectơ b và kb cùng phương; c) Hai vectơ a và (-2)à cùng hướng,

d) Hai vectơ a và b ngược hướng với vectơ thứ ba khác 0 thì cùng phương. 3. Tứ giác ABCD là hình gì nếu AB = DC và AB = BC. 4. Chứng minh rằng a + b <li + b. 5. Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Hãy xác định các

điểm M, N, P sao cho

a) OM =OA+OB; b) ON =OB+OC; c) OP=OC+OA. 6. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính

a) AB+AC; b) AB – AC. 7. Cho sáu điểm M, N, P, Q, R, S bất kì. Chứng minh rằng

MP+NQ+RS = MS+NP+RQ. 8. Cho tam giác OAB. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Tìm

các số m, n sao cho a) OM = MOA + NOB;

b) AN = mOA + NOB; c) MN = mOA + nOB;

c) MB = m0A + NOB. 9. Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC

và A’B’C’ thì 3GS = AA + BB’+CC.

Ỗ10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Hai vectơ đối nhau thì chúng có hoành độ đối nhau; b) Vectơ a= 0 cùng phương với vectơ i nếu a có hoành độ bằng 0;

c) Vectơ a có hoành độ bằng 0 thì cùng phương với vectơ j. 11. Cho a = (2; 1), 5 = (3; -4), Č= (-7; 2). | a) Tìm tọa độ của vectơ u=3a + 26 – 4c;

b) Tìm tọa độ vectơ 3 sao cho x + 4 = 6-c

c) Tìm các số k và h sao cho cska + b. 12. Cho u=i-5ị v=mi-4) Tìm m để u và v cùng phương. 13. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

a) Điểm A nằm trên trục hoành thì có hoành độ bằng 0; b) P là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi hoành độ của P bằng

trung bình cộng các hoành độ của A và B; c) Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì trung bình cộng các tọa độ tương | ứng của A và C bằng trung bình cộng các tọa độ tương ứng của B và D.

Giải 1. Các vectơ bằng AB có điểm đầu và điểm cuối I là 0 hoặc các đỉnh của lục giác là OC, FO, ED. 2. a) Đúng;

b) . Đúng; c) Sai;

d) Đúng. 3. Nếu AB =DC thì tứ giác ABCD là hình bình hành

Mà AB = BC nên AB = BC

Do vậy tứ giác ABCD là hình thoi. 4. Từ một điểm 0 trong mặt phẳng ta dựng

OA = a, OB = b và dựng hình bình hành OACB – AC=OB Do đó OA = OA = | |, OB = OB| = | | | = AC=AC| = 16] OC=OA +OB=OČ=a+ő OC = loc! =la +6] Xét ba điểm O, A, C ta có: OC <OA + AC Vậy la + b = a + b.

E

a + b

 Các điểm M, N, P lần lượt là các điểm đối xứng với C, A, B qua tâm O. Thật vậy:

A Ta có OM = OA (= R)

. – AOAM cân tại O.

. . M Mà AOM = 2OCA = 60° Nên AOAM đều Tương tự AOBM đều = BM = OB = R – Tứ giác OAMB có OA = AM = BM = OB (=R) nên là hình thoi N Do đó OA +OB =OM

Chứng minh tương tự cũng có ON=OB+OC, OP =OC+OẢ. 6. a) Vẽ AH là đường cao của tam giác đều ABC

AH là đường trung tuyến của tam giác ABC

AH = ABsinABH = a

Ta có AB + AC = 2AH

Nên AB + AC = 2|AH| = 2.43 =a43 b) |ĀB – AC| = |CB| = a 7. Ta có MP + NQ+ RS = MS + SP + NP +PQ+kQ+QS

= MS+NP+RQ+(SP +PQ+Qs)

= MS + NP + RQ 8. a) Ta có: OM-FOA

Vậy m = 3, n=0 b) AN=ON – 7A = LOB-OA=(-1)]A+LOB | Vậy m = -1; n= c) MN =B= (05-)=4-08-04

=(?)A+40B

|

Vậy m = 3 = 3

d) MB =OB-OM = 0B – 40A=C10A+OB

Vậy m = 3; n=1 9. G là trọng tâm tam giác ABC = A + B + CG =]

G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’ >G’A +G’B+ G’C=0 Do đó AA’ +BB’+CC = AG + GGP+G’A’+BG+GGP+G’B’+CG+GG’+G’C’

= 3GG+(AG+BG+CG)+(G’A+G’B’+G”C”) = 3GG® 10. a) Đúng

b) Sai c) Đúng. 11. a) u = (3.2 + 2.3 – 4(-7); 3.1 + 2.(-4) – 4.2) = (40; -13) b) Gọi trục tọa độ vectơ X là (m; n)

Ta có: x += (m + 2, n+ 1), 6-e= (10; 6) Do đó

(m =8 In+1=-6 {n=-7 Vậy x= (8; -7) c) ka + hb = (2k + 3h, k – 4h) Mà c=ka+hő (2k + 3h=-7 2k +3h =-7 52k + 3h =-

7 2k + 3(-1)=-7 | Do đó -4h =2 = 2k – 8h =4 11h =-11 Ch=-1

(k = -2

m+2=10

———–…

CN

n=-1

u=(:-s ); v= (m: – 4)

Hai vectơ u và ở cùng phương

Khẳng định đúng c . II. Câu hỏi trắc nghiệm 1. Cho tứ giác ABCD. Số các vectơ khác ở có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh

của tứ giác bằng: . (A) 4; . . (B) 6; ; ;

(D) 12. (C) 8;:. (B) 0;

Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Số các vectơ khác 0 cùng phương với | OC có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác bằng: (A) 4;

(B) 6; (C)7;

(D) 8. 3. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Số các vectơ bằng OC có điểm đầu và

điểm cuối là đỉnh của lục giác bằng: (A) 2;

(B) 3; . (C) 4;

(D) 6. . 4. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3, BC = 4. Độ dài của vectơ AC là: (A) 5; . (B)6;

(C) 7;

(D) 9. 5. Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Đẳng thức nào sau đây là đúng? (A) CA – BA = BC;

(B) AB+ AC = BC; (C) AB+CA =CB; ..

(D) AB – BC =CA. 6. Cho hai điểm phân biệt A và B. Điều kiện để điểm I là trung điểm của đoạn | thẳng AB là:

(A) IA = IB; (B) IA = IB; (C) TĀ=-IB; (D) AT = Bİ. 7. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm của đoạn thẳng BC. | Đẳng thức nào sau đây là đúng?

(A) GA = 2GI; (C) GB+GC = 261;

(D) GB+GC =GA. 8. Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây là đúng? (A) AC + BD = 2BC;

(B) AC + BC = AB; (C) AC-BD=2CD;

(D) AC-AD=CD. 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành OABC, C nằm trên Ox.

Khẳng định nào sau đây là đúng? (A) AB có tung độ khác 0; . (B) A và B có tung độ khác nhau; (C)C có hoành độ bằng 0;

(D) XA + Xc — XB = 0. 10. Cho u= (3; -2), v = (1; 6). Khẳng định nào sau đây là đúng?

(A) u + V và a=(-4; 4) ngược hướng; (B) ủ và ý cùng phương; (C) u-v và b = 16; -24) cùng hướng,

(D) 2u+v và v cùng phương. 11. Cho tam giác ABC có A(3; 5), B(1; 2), C(5; 2). Trọng tâm của tam giác ABC là: , (A) G (-3; 4);

(B) G2(4; 0); (C) G3(V2; 3);

(D) G4(3; 3).

(B) IG=TA;

L

Cho bốn điểm A(1; 1), B(2; -1), C(4; 3), D(3; 5). Chọn mệnh đề đúng:

(A) Tứ giác ABCD là hình bình hành; (B) Điểm G 2: là trọng tâm của tam giác BCD; (C) AB =CD;

(D) AC, AD cùng phương. 13. Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A(-5; -2), B(-5; 3), C(3; 3), D(3; -2).

Khẳng định nào sau đây là đúng? (A) AB và CD cùng hướng; (B) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật;

(C) Điểm I(-1; 1) là trung điểm AC; (D) OA + OB = OC. 14. Cho tam giác ABC. Đặt a= BC, b = AC.

Các cặp vectơ nào sau đây cùng phương? (A) 2a + b và a+ 2b; | (B) a – 2b và 2a – b;

(C) 5a + b và – 10a – 2b; (D) a + b và a- b. 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có gốc O là tâm của

hình vuông và các cạnh của nó song song với các trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây là đúng? (A) OA + OB = AB;

(B) OẢ -OB và DC cùng hướng, (C) XA =-xc và yA =yc;

(D) xy = -xc và yc =-yB.. 16. Cho M(3; –4). Kẻ MM, vuông góc với Ox, MM, vuông góc với Oy. Khẳng

định nào sau đây là đúng? (A) OM, = -3;

(B) OM, = 4; (C) OM-OM, có tọa độ (-3; 4); (D) OM +OM, có tọa độ (3; 4). 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(2; -3), B(4; 7). Tọa độ trung điểm I của

đoạn thẳng AB là

(A) (6; 4); (B) (2; 10); (C)(3; 2); (D) (8; -21). 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1; 2), B(10; 8). Tọa độ của vectơ AB là:

(A) (15; 10); (B) (2; 4); (C)(5; 6); (D) (50; 16). 19. Cho tam giác ABC có B(9; 7), C(11; -1), M và N lần lượt là trung điểm của

AB và AC. Tọa độ của vectơ MN là (A) (2; −8); (B) (1; -4); (C)(10; 6); (D) (5; 3).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A(3; -2), B(0; 1), C(0; 1), | D-8; -5). Khẳng định nào sau đây là đúng? (A) AB và CD đối nhau; (B) AB và CD cùng phương nhưng ngược hướng; (C) AB và CD cùng phương và cùng hướng;

(D) A, B, C, D thẳng hàng. 21. Cho ba điểm A(-1; 5), B(5; 5), C(-1; 11). Khẳng định nào sau đây là đúng?

(A) A, B, C thẳng hàng; (B) AB và AC cùng phương; (C) AB và AC không cùng phương;

(D) AC và BC cùng phương. . 22. Cho a= (3; –4), = (-1; 2). Tọa độ của vectơ a + b là:

(A) (-4; 6); (B) (2; -2); (C)(4; -6); (D) (-3; -8). 23. Cho a= (-1; 2), B = (5; -7). Tọa độ của vectơ -6 là:

(A) (6; -9); (B) (4; – 5); (C)(-6; 9); (D) (-5; -14). 24. Cho a = (-1; 0), b = (4; x). Hai vectơ a và b cùng phương nếu số x là

(A) – 5; (B) 4 (C) 0; (D) -1. 25. Cho a= (x; 2), B = (-5; 1), = (x; 7). Vectơ = 2a + 3b nếu

(A) x = -15; (B) x = 3; (C) x = 15; (D) x = 5. 26. Cho A(1; 1), B(-2; -2), C(0; 7). Khẳng định nào đúng?

(A) G(2; 2) là trọng tâm của tam giác ABC; (B) Điểm B ở giữa hai điểm A và C; (C) Điểm A ở giữa hai điểm B và C;

(D) Hai vectơ AB và AC cùng hướng. 27. Các điểm M(2; 3), N(); –4), P(-1; 6) lần lượt là trung điểm các cạnh BC,

CA, AB, của tam giác ABC. Tọa độ đỉnh A của tam giác là: (A) (1; 5);

(B)(-3; -1); (C)(-2; -7); (D) (1; -10). 28. Cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc tọa độ O, hai đỉnh A và B có tọa độ

là A(-2; 2), B(3; 5). Tọa độ của đỉnh C là:

(A) (-1; – 7); (B) (2; -2); (C)(-3; – 5); (D) (1; 7). 29. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng?

(A) Hai vectơ a= (-1; 0) và b = (-4; 0) cùng hướng, (B) Vectơ c= (7; 3) là vectơ đối = (-7; 3);

(C) Hai vectơ u= (4; 2) và y= (8; 3) cùng phương;

(D) Hai vectơ a = (6; 3) và b = (2; 1) ngược hướng. 30. Trong hệ trục (oi, j), tọa độ của vectơ i+j là: (A) (0; 1); (B) (-1; 1); (C) (1; 0); (D) (1; 1).

Giải 1. Với hai đỉnh khác nhau A và B ta có hai vectơ AB và BẢ. Có 6 cặp đỉnh

khác nhau nên có 12 vectơ.

Chọn (D). 2. Có 6 vectơ cùng phương với OC ta có AB, BA, ED, | DE, FC và CF. Chọn (B). 3. Có hai vectơ bằng OC là AB và ED. Chọn (A). 4. AC = 3 + 4 = 5. Chọn (A). 5. AB+CẢ = AB+CB+ BẢ=CB. Chọn (C). 6. Để I là trung điểm của AB thì phải có IA = IB và A, I, B thẳng hàng. Chọn (C). 7. ABGC có, GI là đường trung tuyến 4 GB+ GC =2GÌ. Chọn (C). 8. Dễ thấy (B), (C), (D) sai

AC+ BD = AB + BC + CD = 2BC. Chọn (A). 9. Từ hình vẽ, ta thấy (A), (B), (C) sai.

XA + X – XB = 0. Chọn (D).

‘

y

–

X

u+y = (4, 4) nên (A) sai. “

+ nên u, v không cùng phương (B) sai. 2u+y=(7; 2) và v(1; 6) không cùng hướng (D) sai.

u-v=(2; -8). Do đó 6 = 3(x – y). Vậy chọn (C). 11. 3+1+5 = 3,5+2+3 =3. Vậy chọn (D). 12. AB = (1; -2), DC= (1; -2)= AB =DC= ABCD là hình bình hành. L. Vậy chọn (A).

V1

A, B có cùng hoành độ nên AB // Ox…

B, C có cùng tung độ nên BC || Oy. C, D có cùng tung độ nên CD || Ox. D, A có cùng tung độ nên DA // Oy. ABCD là hình chữ nhật.

Vậy chọn (B). 14. –104 – 25 =-25a + b). Vậy chọn (C). 15. Chọn (A). 16. XM = OM , Ym=OM, | OM + OM = OM. Vậy chọn (D). 17. x =^3 = 3; y) = 3 = 2. Vậy chọn (C). – 18. 10 – 5 = 5,8 – 2 = 6.

AB (5; 6). Vậy chọn (C). 19. MN = BC. Vậy chọn (B). 20. AB=(4; 3), CD=(-8, -6)=CD=-2AB. Vậy chọn (B). 21. AB =(6; 0), AC =(0; 6). Vậy chọn (C). 22. 3 +(-1) = 2, -4 + 2 = -2

a+b=(2; -2). Vậy chọn (B). 23. -1 – 5 = -6; 2-(-7) = 9= a- b=(-6; 9). Vậy chọn (C). 24. x = 0. Vậy chọn (C). 25. Hoành độ của c là 2x + 3.(-5). Ta có: 2x + 3.(-5) = x3x = 15.

Vậy chọn (C). 26. AB=(-3; – 3), AC=(6; 6)

AC=-2AB. Vậy chọn (B). 27. Vẽ hình, ta có PA=MN; PA=(x, +1, y, -6); MN =(-2; -3) – Ta có: XA +1= –

2 x = -3 . – lyA -6 = -7 – Vậy chọn (B). 28. 22+1Xc = 0,2*2*9c =0 Xc = -1; y = -7. Vậy chọn (A).

– 32, 3 29. Ta có 5 = -4). Vậy chọn (A). 30. i= (1; 0); j= (0; 1)=i+j= (1; 1). Vậy chọn (D).