1. Tóm tắt lý thuyết 
2. Định lí cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng. 

Ta có các hệ thức sau: a = b + c – 2bc.cosA (1)

b = a? + c – 2ac.cosB (2

c = a + b2 – 2ab.cosC . (3) 

Hệ quả: Từ định lí cosin suy ra:

b +c-a a? +c? – b2 cor-a2 + b2-c? cos A

– cos B=

2bc Áp dụng: tính độ dài đường trung tuyến của tam giác

Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b và AB = c. Gọi mạ, m và mc là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B và C của tam giác. Ta có: . .

2ac

2ab

m- 2(b? +c)-a?

4

m? – 2(a2 +c?)-b2

4

mz – 2(a2 + b2)-c?

2

B

M

2. Định lí sin | Định lí: Trong tam giác ABC bất kì, tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác, nghĩa a b c

.” = 2R với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. sin A sin B sin C Công thức tính diện tích tam giác:

Ta kí hiệu hay ho và h là các đường cao của tam giác ABC lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C và S là diện tích tam giác đó. Diện tích S của tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau:

s = absinC = bcsin A = – casin B

2

abc

(2) 4R S = pr.

S = (p-a)(p- b)(p-c) (công thức Hê-rông) (4) 3. Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc

Giải tam giác: Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi đã biết các yếu tố khác của tam giác đó. Muốn giải tam giác ta cần tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho với các yếu tố chưa biết của tam giác thông qua các hệ thức đã được biết. II. Câu hỏi 8 1. Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = h và BC = a, CA = b,

AB = c. Gọi BH = c và CH = b. Hãy điền vào các ô trống trong các hệ thức sau đây để được các hệ thức lượng trong tam giác vuông.

a = b2 + . . b? = a x.. c? = ax. h? = b’x. ah = bx…

h

c

в на . ;

..sinB = cos C=

sin C = cos B=

1

tan B=cotC=

cot B = tanC=L

4 2. Hãy phát biểu định lí cosin bằng lời. 2 3. Khi tam giác ABC là tam giác vuông định lí cosin trở thành định lí quen | thuộc nào? . 3 4. Cho tam giác ABC có a = 7cm, b = 8cm và c = 6cm. Hãy tính độ dài đường

trung tuyến ma của tam giác ABC đã cho. 4 5. Cho tam giác ABC vuông ở A nội tiếp trong đường tròn bán kính R và có BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng ..=.

cab

=. – C=2R..

= 2R. sin A sin B sin C

6. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Hãy tính bán kính đường tròn , ngoại tiếp tam giác đó. A 7. Hãy viết các công thức tính diện tích tam giác theo một cạnh và đường

cao tương ứng.

| Dựa vào công thức S = absinC=4bc

A =

ca sin B và định lí sin,

2

abc

A

.

hãy chứng minh sẽ đọc 8 9. Chứng minh công thức S = pr (hình vẽ).

4R

b

Giải

B

À 1. a? = b +c?

ah = bx .

-ax2

ау

12 =bxic

62 = ax [b” 11.1 | 621 62c2

sinB =cosc=b.

sin C =cos B=

tan B=cot C =

cot B = tan C=

2

.

4 2. Trong một tam giác, bình phương một cạnh bằng tổng bình phương của hai | cạnh kia trừ hai lần tích của chúng và côsin của góc xen giữa hai cạnh đó,

2 3. Khi ABC là tam giác vuông, định lí côsin trở thành định lí Py – ta – go. A4 m2 _ 2(b? +c?)-a? _2682 +62) – 72_151 m _V151

med ma = 4.

4

4 4 5. AABC vuông tại A= BC là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC BC = 2R Ta có: AB = BCsinC, AC = BCsinB, sinA =1

a b c . Do vậy: –

-=2R. sinA.sinB sin C AABC đều = AB = BC = CA = a, A = . Ta có: a = 2R R = a = a = a/3 sin A

2 sin A 2 sin 60°

A 7. s=_C.h = zah.

(h, ho, h. là các đường cao của tam giác ABC lần | lượt vẽ từ A, B, C. S là diện tích của tam giác ABC)

: s= ab.h = a.che

2 38

sin A

4 8. Ta có = 2R (định lí sin)

= = sinA. .

vay s= zbesin a-3 bedzie ale A 9. Sabc = SOBc + SOAC + SOAB

АВ

= = r.a + -r.b+=r.c=-r(a + b + c)=p.r . 2 2 2 III. Câu hỏi và bài tập 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, B = 58° và cạnh a = 72cm. Tính C, cạnh b,

cạnh c và đường cao h.. 2. Cho tam giác ABC biết các cạnh a = 52,1cm, b = 85cm, c = 54cm. Tính các – góc A, B và C. 3. Cho tam giác ABC có A =120°, cạnh b = 8cm và c = 5cm. Tính cạnh a và

các góc B, C của tam giác đó. 4. Tính diện tích S của tam giác có số đo các cạnh lần lượt là 7,9 và 12. 5. Cho tam giác ABC có A = 120°. Tính cạnh BC cho biết cạnh AC = m và AB =n. 6. Tam giác ABC có các cạnh a = 8cm, b = 10cm và c = 13cm.

1. a) Tam giác đó có góc tù không?
2. b) Tính độ dài trung tuyến MA của tam giác ABC đó. . 7. Tính góc lớn nhất của tam giác ABC biết . . .
3. a) Các cạnh a = 3cm, b = 4cm và c= 6cm;
4. b) Các cạnh a = 40cm, b = 13cm và c = 37cm. 8. Cho tam giác ABC biết cạnh a = 137,5cm, B = 83° và C = 57. Tính góc A, .

| bán kính R của đường tròn ngoại tiếp, cạnh b và c của tam giác. 9. Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, BD = m và AC = n. Chứng

minh rằng mo +no = 2(a^2 + b^). 10. Cho hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300m. Từ P và Q thẳng hàng với

chân A của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển người ta nhìn chiều cao AB của tháp dưới các góc BPA = 35° và BQA = 48°. Tính chiều cao của tháp.

11. Muốn đo chiều cao của Tháp Chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận (h.2.23),

người ta lấy hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách AB = 12m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế (h.2.24). Chân của giác kế có chiều cao h = 1,3m. Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm A, B, cùng thẳng hàng với C, thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo được DAC = 499 và DBC = 35°. Tính chiều cao CD của tháp đó.

cao

1. 191A, 12m 351 B,

11,3m : N | C A 12m B

. . h.2.24

LA

h.2.23

а

cos A=

260)

Giải 1. Ĉ = 90° – B = 90° – 58° = 32

b=asinB = 72.sin580 61,06 (cm) c= asinC = 72.sin32° ~ 38,15 (cm)

2. = be x32,36 (cm) 2. Ta có: – COSA-b?+c? – a_7225 +2916 – 2714,41 < 0.8090

2.85.54 a? + b2 –c2_2714,41 +2916 – 7225 ~ -0.2834 >>106’23”

2ac 2 .52,1.54 Ĉ = 180° – (â+B) – 37°32′. 3. Theo định lí côsin ta có: a’ = b + c? – 2bccosA = 82 + 52 – 2.8.5.cos120°

= 64 + 25 – 2.8.5. (1= 129 =a=11,36 cm

2bc

cosB=

cios B – a2 +c? – b? _129+54 -8% -0.79 Ô 106’23’

B= 2ac2 .11,36.5 * Ĉ= 180o – Câ+B) – 22°12′. 4. Ta có: p= a + b + c)= 7+9+12)=14

Do đó S = {14 (14 – 7).(14 – 9) (14 –12) = 31,3 (4vdt). 5. Theo định lí côsin ta có: a’ = b + c? – 2bccosA = n2 + m2 – 2n.m.cos 120° =n? +m? – 2.n.m. ( )=n’+mo+ n. a = Vn? + m2 + n.m.

=> Ĉ=91°47′

2.8.10 | Vậy tam giác ABC có góc tù.. . b)m2 – MA2 – 2(b+c?)– a? _ 2(102 +132)– a? nues

4 – 4 =m, 210,89 cm. 7. a) Vìc>b> a (6cm > 4cm > 3cm)

Nên C là góc lớn nhất của tam giác ABC c_a? + b2 – c2_32 +42 – 62

– -11_

Ĉ=117016 2ab2 .3.4 24 b) Vì a >c> b (40cm > 37cm x 13cm) Nên A là góc lớn nhất của tam giác ABC

b? +c? – a2 132 +372 – 402 cos A = ” +

-=-0,064 = Â293°41′. -2bc2.13.375 8. Â=180° – (+C) = 180o – (83° +57°) = 40

6. a) cosC – a2 + b2 -c2

2ab

–

=

Ta có: 4 – 5

• sin A – sink

sinc = 2R

Do đó: 2R __ a _ 137,5, 137,5. .

z_131,3= 214 (cm) sin A sin 40° 0,6429 b=2RsinB = 2Rsin83″ z212;31 (cm) c = 2RsinC = 2Rsin57″ – 179,4 (cm).

9. Gọi O là giao điểm của AC và BD, Vì ABCD là hình bình hành

30 là trung điểm của AC, BD AABD có AO là đường trung tuyến 3 A02 – 2(AB? + AD2)-BD2

4 = n2 = 2(a2 +62)– m2 = m2 + n2 = 2(a2 + b2). 10. Xét tam giác PBQ: PBQ=489 – 35° =139 T. .. BQ PQA BQ – 300 * sin P sin B sin 350 sin 130

300.sin 350 Do đó: BQ=20 2=BQ-764,935 (m)

<350 300m Chiều cao AB của tháp là:

AB = BQ.sin48° ~ 764,935.sin48″ – 568,457 (m). . 11. Tam giác DA,B, có: DAB = 499 – 35° = 14°. Theo định lí sin ta có:

A,B – AD-12 – AD sin D sin 350 * sin 140 sin 350

sin 130

480

1. A

Pb

Q

.

* A,D

12.sin 350

-228,451 (m)

Sin1002

Trong tam giác vuông A,C,D ta có:

CD= A Dsin49° 28,451.sin49″ 21,472 (m) Chiều cao CD của Tháp Chàm là:

CD=C,D+CC21,472 + 1,3 = 22,772 (m).

L: (1914A, 12m3511 B, 11,3m A

A 12m B . h.2.24

ÔN TẬP CHƯƠNG II I. Câu hỏi và bài tập 1. Hãy nhắc lại định nghĩa giá trị lượng giác

của một góc 2 với | 0 <a<

180°. Tại sao khi a là góc nhọn thì giá trị lượng giác này | lại chính là các tỉ số lượng giác đã được học ở lớp 9? 2. Tại sao hai góc bù nhau lại có sin bằng nhau và côsin đối nhau? 3. Nhắc lại định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ a và b. Tích vô hướng này

với lạ và bị không đổi đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất khi nào? 4. Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ a= (-3; 1) và vectơ a = (2; 2), hãy tính tích

vô hướng a.6. 42 .