Định nghĩa 

Với mỗi góc a (0 <a <180°) ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM = a và giả sử điểm M có tọa độ M(x0; y). Khi đó ta định nghĩa:

sin của góc A là yo, kí hiệu sinx = yo; 

cosin của góc a là xo, kí hiệu cosx = xo; 

tang của góc a là 70 (x) = 0).

-.

-..

.

.

.

M

.

Kí hiệu tana = 70,

Wia

cotang của góc a là ^(y + 0),

-1

Xo

Kí hiệu cota=0.

-.

OY

Các số sinc, cosa, tana, cota được gọi là các giá trị lượng giác của góc a. 2. Tính chất Sự liên hệ giữa giá trị lượng giác của các góc bù nhau

sina = sin(180° – a) cosa = -cos(1809 –a) tana = – tan(180″ -a)

cota = -col(180° -a) Hai góc bù nhau thì có sin bằng nhau còn cos, tan, cot thì đối nhau. 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Giá trị lượng giác của các góc bất kì có thể tìm thấy trên bảng số hoặc máy tính bỏ túi. Chúng ta cần ghi nhớ giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt sau:

|

0°

|

Giá trị

lượng giác

180°

sina

en slansla –

cosa

tana

V3 1

cota

Trong bảng, kí hiệu || để chỉ giá trị lượng giác không xác định. 4. Góc giữa hai vectơ

Định nghĩa Cho hai vectơ a và b đều khác 0. Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA =a và OB = b. Góc AOB với số đo từ 0° đến 180° được gọi là góc giữa hai vectơ a và b. Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ a và b là (a, b). Nếu (a, b) = 90° thì ta nói rằng a và b vuông góc với nhau, kí hiệu alb

Chú ý: (a, b)=(6, a) II. Câu hỏi A 1. Tam giác ABC vuông tại A có góc nhọn

ABC = a. Hãy nhắc lại định nghĩa các tỉ số

lượng giác của góc nhọn a đã học ở lớp 9. 8 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa

đường tròn tâm O nằm phía trên trục hoành bán kính R = 1 được gọi là nửa đường tròn đơn vị. Nếu cho trước một

of M(xo; Yo) góc nhọn a thì ta có thể xác định một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM = a. Giả sử điểm

XO) X M có tọa độ (x0; y0).

Xo

Hãy chứng tỏ rằng sinx = y), cosx = X, tan

Xo

yo

2 3. Tính giá trị lượng giác của các góc 120°, 150”. 8 4. Khi nào góc giữa hai vectơ bằng 0°? Khi nào góc giữa hai vectơ bằng 180??

N

Giải

A 1. sina = sinABC = A

_AC

.

.. cosa = cosABC

ВС

tana = tanABC =

cota = cotABC

214

AB A 2. Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của M trên Ox, Oy. Tứ giác OEMA là

hình chữ nhật

vo

MA OB • sina =

OM OM

OA COSC =- =XO:

OM

.

–AM

tang = MA_OB yo

OA OA Xo

cota = OA_0A Xo

MA OB yo 43. • sin120o = sin(180o – 60″)=sin 60°

cos120o = cos(180o – 60°) = -cos 60″ = tan120o = ta n(180° -60°) =-ta n60° =-13

cot120° = -cot (180o – 60°) = -cot 60o = • sin 150° = sin(180° – 30°) = sin 30o = 1

cos150o = cos(180o – 30°)=-cos 30° tan150° = tan(180° – 30°) = -tan 30° – 3

cot150o = cot(180° -30°) =-cot 30o =-v3. A4. .

. Khi hai vectơ cùng hướng thì góc giữa hai vectơ bằng 0. . Khi hai vectơ ngược hướng thì góc giữa hai vectơ bằng 180°.

III. Câu hỏi và bài tập | 1. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: a) sinA = sin(B+C);

b) cosA = -cos(B+C). 2. Cho AOB là tam giác cân tại 0 có OA = a và có các đường cao OH và AK. | Giả sử AOH = a. Tính AK và OK theo a và a. . 3. Chứng minh rằng:

a) sin105o = sin75o; b) cos 170° = -cos 10°; c) cos122° = -cos58o.. 4. Chứng minh rằng với mọi góc a(0° <a<180°) ta đều có cos^4 + sinx = 1.. 5. Cho góc x, với cosx = 1. Tính giá trị của biểu thức: P = 3sinox + cos2x. 6. Cho hình vuông ABCD. Tính:

cos(AC, BA), sin(AC, BD), cos(AB, CD).

SX

Giải

AABC có A+B+C=180° A = 180° – (B+C)

a) sinA = sin(1809 – A)=sin(B+C)

b) cosA = -cos (180o – A)=-cos(B+C) 2. AOAB cân tại 0 (gt), OH là đường cao (gt)

> OH là đường phân giác Nên AOB = 2a .. ΔKOA vuong tai K

AK = OAsinAOK = asin2a Và OK = OAcosAOK = acos2a. 3. a) sin 105o = sin(1809 – 105″) = sin 750

b) sin 170° = -cos(180o – 170°)=-cos 10°

c) cos122″ = -cos(1809 – 122″)=-cos 580 4. Theo định nghĩa giá trị lượng giác của góc a | bất kì (0° <<180°) ta có cosx = X, sing = yo

Mà x3 + y3 = OM^ =1

Do đó sinx + cos^4 = 1. 5. Ta có sinx + cos2x = 1 = sinx = 1 – cosx – Do đó: P = 3(1 – cos x) + cos2x = 3 – 3cosx + cos^x

= 3-2cos*x +3 -2 (1)*==-

cos(AC, BĂ) = cos 135o = _v2

sin(AC, BD) = sin 90o = 1 cos(AB, CD)=cos 180o = -1

1.