|
I. Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa Cho số k ≠ 0 và Ta quy ước: 0 2. Tính chất Với hai vectơ
3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có
b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có
Điều kiện cần và đủ để hai vectơ – Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để 5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương Cho |
≠ 
. Tích của 
bất kì, với mọi số h và k, ta có
4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương
cùng phương có một số k để
không cùng phương. Khi đó mọi vectơ x đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ 
Nguồn website giaibai5s.com
- Tóm tắt lý thuyết
- Định nghĩa
Cho số k = 0 và a = 0. Tích của a với số k là một vectơ, kí hiệu là ka, cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k < 0 và có độ dài
bằng k|a. – Ta quy ước: 0a = 0, k] = 0.1.
- Tính chất
– Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số h và k, ta có k(a + b)=kā + kb;
(h+k)ā= hä+ka; h(ka) = (hk)ā;
1.a = a, (-1).a = -a.
- Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
- a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có
MA+MB = 2MI.
- b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có
MA+MB+MC = 3MG. 4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương . . Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b (6 + 0) cùng phương là có một
số k dě a = kb. – Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k
khác 0 để AB = AAC 5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
Cho a, b không cùng phương. Khi đó mọi vectơ x đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ a, b tức là có duy nhất một cặp số m, n sao cho
X = ma + nb. II. Câu hỏi 4 1. Cho vectơ a = 0. Xác định độ dài và hướng của vectơ a + a.
Tìm vectơ đối của các vectơ ka và 3a – 4b. .. 3. Hãy sử dụng mục 5 của bài 2 để chứng minh các khẳng định: a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì mọi điểm M ta có
MA+MB = 2MI. b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì mọi điểm M ta có MA+MB+MC = 3MG.
Giải A 1. Cho AB = ā
Dựng BC = a Ta có a + a = AB + BC = AC AC = a + a cùng hướng với a = AB
AC| = 2lal A 2. Vectơ đối của ka là “ka. | Vectơ đối của 34 – 46 là
(-1)(3a – 45)=(-1)(+36)+(-1)(-4)5=-3ā +46 10
- a) I là trung điểm của đoạn thẳng AB IA + IB =0
IM + MA+IM + MB=Ö OMA+MB = 2Mİ b) G là trọng tâm của tam giác ABC GA +GB+GC =ÖGM+MA+GM +MB+GM +MC =ő
AMA+MB+MC = 3MG. III. Câu hỏi và bài tập. 1. Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: AB + AC + AD = 2AC. 2. Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các
vectơ AB, BC, CA theo hai vectơ u=AK, v = BM. 3. Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho
MB = 3MC. Hãy phân tích vectơ AM theo hai vectơ u=AB, v = AC. 4. Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM.
Chứng minh rằng .. a) 2DA +DB + DC = 0;
- b) 20A +OB+ OC = 4OD, với O là điểm tùy ý. 5. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ giác
ABCD. Chứng minh rằng: 2MN = AC + BD = BC + AD. 6. Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho 3KA + 2KB = 7. Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho MẢ + MB+ 2MC= 0. 8. Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS
có cùng trọng tâm. 9. Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam
giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng: MD+ME + MF = MO.
Giải 1. Ta có ABCD là hình bình hành = AB + AD = AC (Quy tắc hình bình hành) Do đó AB+AC+ AD=(AB + AD) + AC
= AC + AC = 2AC 2. Gọi G là giao điểm của hai đường trung tuyến AK, BM của tam giác ABC.
G là trọng tâm của tam giác ABC
.
= AG-AK -u và BG=BM
Do đó: AB=AG + GB=3u-Gv
BC = 2BK = 2 (AK – AB)
)
2 – 21 U —
3
U
+
2 – 3
V
IN
(1 – 2 – 2 –
-ut-v(3 3 3 2- 2- 2- 4- 4- -U V–0–V=– U 3 3 3 3 3
.
2 – -V
3
.
.. CA = BA – BC = __u+?v= 3. Ta có: MB = 3MC = 3(MB+ BC) = 3MB+ 3BC
= -2MB = 3BC =-MB = 2BC . Do đó: AM = AB + BM = AB – MB
= AB + BBC = AB+ 3 (AC – AB) = ū+3(3-ü) B_
– 3 + 3 + =ut-V–0 1 2 2
1 – 3+ –U+-V 2 2
– BR
M
- a) M là trung điểm của đoạn thẳng BC
DB+DC = 2DM Do đó 2DA + DB+DC=2DA + 2DM
=2(DA+DM)=2.7=7 / b) M là trung điểm của đoạn thẳng BC
= OB+OC = 20M D là trung điểm của đoạn thẳng AM -QA+OM = 20D
Do vậy 2O4 + OB+OC = 2O4 + 2OM =2O4 + OM=2.(2OD) = 4OD. 5. N là trung điểm của đoạn thẳng CD = 2MN = MD+ MC Theo quy tắc ba điểm, ta có: MD+MC = MB+BD+MA+AC
= (MB+MA)+(BD+AC)=BD+AC Vậy 2MN = BD+ AC
Chứng minh tương tự cũng có 2MN = BC + AD 6. 3KA+2KB =Ö 3KA+2(KA+ AB)=Ő
=KA=__AB KA = BA Như vậy K nằm trên đoạn thẳng AB và AK = 2AB.
- Gọi N là trung điểm của AB
Ta có: MA + MB =2MN.
Do đó: MA + MB+2 | 8 MN +MC=0BM là trung điểm của đoạn CN 8. Gọi G, GỖ lần lượt là trọng tâm của tam giác MPR, NQS. Ta có: GM + GP+ GR=0;
G’N+G’O+G’S =0 Mà M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Do đó: GM + GP + GR – GA+ GB+ GC + GD + GE+ GF) =0 . G’N +G’Q+G’S=_(G’A+GB+G’C+G’D+G’E+G°F) = 7 Do đó: GA+GB+GC +GD+GE+GF =G’A+GB+G’C+G’D+G’E+G’F
=6GG’=GGʻ=Ö=G=G’. 9. Qua M vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB,
AC lần lượt tại CB, C. Qua M vẽ đường thẳng song song với AB cắt BC, AC lần lượt tại B1, B2. Qua M vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB, BC lần 1 lượt tại B, C. Dễ thấy các tứ giác ABMB3, MCCC, MC,BB là các hình bình hành; D, E, F lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, BC, BL
Ᏼ Ꭰ C
C,
B3C3.
Do đó: MD + ME + MF =}(MB + MC + MB, +MC, + MB, + MC,)
: – (MA + MB + MC) = 4.3M0 = MO