Bài 1 (Trang 91, SGK)

1. a) Ta chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Cách 1:

Vì A, B, C lần lượt nằm trên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz và khác gốc toạ đó, nên chúng không thẳng hàng. Mặt phẳng (ABC) có phương trình dạng:

x + y + z-1=0. Thay toạ độ của điểm D thấy nó không thoả mãn nên D không thuộc mặt phẳng (ABC). Do đó bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng và ABCD là một tứ liên.

Cách 2: Xét ba vectơ sau: AB=(-1; 1; 0), AC =(-1; 0; 1), AD= (–3; 1; – 1).

Vì [AB,AC]=(1; 1; 1) [AB,AC]AD = -3 = 0 nên ba vectơ AB, AC, AD không đồng phẳng.

Do đó bốn điểm A, B, C, D không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Vậy ABCD là một tứ diện. | b) Trong hình học không gian lớp 11, ta đã biết góc giữa hai đường thẳng trong không gian thì bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng nếu góc này nhỏ hơn hoặc bằng 90°, và bằng góc bù với góc giữa hai vectơ chỉ phương nếu góc này lớn hơn 90°. Do đó, ta sẽ tính góc giữa hai vectơ chỉ phương của AB và CD.

A(1; 0; 0), B(0; 1; 0) =AB=(-1;1;0) C(0; 0; 1), D( – 2; 1; -1)=CD=(-2; 1; – 2)

Ta có: cos(AB, CD = ABCD

|

V2.3

2

Ta có: S PABCD Trong đó: ABCD=(-1).(-2) +1.1+0.(-2) =3;

AB = V-1° +1° +0* = V2;

CD = V(-2)2 +1° +(-2)2 = 19 = 3. = cos(AB,CD) – 12 (AB, CD) = 45°. | Do góc giữa hai vectơ chỉ phương AB, CD của hai đường thẳng AB, CD là góc nhọn nên góc này cũng là góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

| Vậy, góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 45°.

1. c) Đường cao hình chóp ABCD ke tù B . đỉnh A chính là khoảng cách từ A đến mặt phăng (BCD).

Ta có: CD=(-2; 1;-2), BC=(0;-1; -1).

Vậy vectơ n =[BC, CD]= (1;-2; -2) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BCD).

Mặt phẳng (BCD) có phương trình dạng: X-2y – 2z+2 = 0. Điểm A có toạ độ A(1; 0; 0). Ta có: AH = d(A, (BCD))

11-2.0-2.0+2 31-1.

V1+2° +(-2)2 V9 Bài 2 (Trang 91, SGK)

1. a) Tâm I của mặt cầu (S) là trung điểm của đoạn thẳng AB. Áp dụng công thức trung điểm của đoạn thẳng, ta có:

x = -(6-4)=1 7. = = (2+0)=1 = f(1; 1; 1). 24 =-(-5+7)=1

r là bán kính của mặt cầu (S) nên r= AB. AB? = (-4-6)2 + (0 – 2)+ (7 + 5)2 = 248 = AB = 2V62 >r = 162. b) Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; 1; 1) và bán kính r= 462 là: (S): (x – 1)2 +(y – 1)? +(z – 1)2 = (162) + (x – 1)? +(y – 1)2 + (2-1)2 = 62.

1. c) Mặt phẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A có vectơ pháp tuyến IA = (5; 1; 26) nên phương trình (a) có dạng:
2. x-6)+(y-2)-6(2+5) = 0 5x – y – óz-62 = 0.

Nhận xét:

Khi biết đường kính AB của mặt cầu (S), M(x, y, z) < (S) thì M sẽ nhìn A, B dưới một góc vuông. Do đó, AMI BM hay AM.BM=0.

Từ đó sẽ suy ra được phương trình mặt cầu (S). Bài 3 (Trang 92, SGK)

1. a) BC=(-1; 2; – 7), BD=(0; 4;-6).

Ta có: n =[BC, BD]= (16; 6; – 4) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BCD). Mà Bé (BCD) nên phương trình của mặt phẳng (BCD) có dạng là:

16(x – 1)-6(y-0) -4(2-6)=0 € 8x-3y – 2z+4 = 0. Thay toạ độ của điểm A vào phương trình trên, ta thấy A < (BCD). Như vậy, ABCD là một tứ diện. b) Chiều cao AH của tứ diện bằng khoảng cách từ A đến mp(BCD). AL- A (RODU_18.(-2) – 3.6–2.3+4 36177

18? +(-3)? +(-2) 77 c) Ta có: AB = (3;-6; 3),CD=(1; 2; 1).

Mặt phẳng (a) chứa AB và song song với CD nên nhận vectơ i =[AB, CD] làm vectơ pháp tuyến.

ñ =[AB,CD) = (–12; 0; 12).

Phương trình mặt phẳng (a) là: -12(x-1)+07-0)+12(z-6) = 0 ex-2+5=0. Bài 4 (Trang 92, SGK) a) Đường thẳng AB đi qua hai điểm A(1; 0; -3) và B(3; -1; 0) nên nhận

A(1; 0; -3) AB làm vectơ chỉ phương. {

8. B(3; -1; 0)

AB = (2;-1; 3).

AB đi qua điểm A(1; 0; -3) và có vectơ chỉ phương AB=(2; -1; 3) nên có phương trình tham số là:

x=l+20 AB: y = -t ,te R.

| z=-3+37

1. b) Đường thẳng A có vectơ chỉ phương là a=(2;-4;-5).

Đường thẳng A, song song với đường thẳng A nên A cũng nhận làm một vectơ chỉ phương. Mà A lại đi qua điểm M(2; 3; -5) nên có phương trình tham số là:

[x = 2 + 2t’ 1′: {y=3-4ť t’ER.

(z=-5 – 5t Bài 5 (Trang 92, SGK) | Mặt cầu (S) có tâm I(3; -2; 1) và bán kính r = 100 Pr= 10.

Đường tròn (C) là giao tuyến của mặt cầu (S) với mặt phẳng (a). (C) có tâm J là hình chiếu vuông góc tâm I của mặt cầu (S) trên mặt phẳng (d). Nói cách khác, J là giao điểm của mặt phẳng (a) với đường thẳng d đi qua I và vuông góc với (a).

| Mặt phẳng (d) có vectơ pháp tuyến n = (2; -2;-1). Đường thẳng d vuông góc với (a) nên d nhận n làm vectơ chỉ phương. Mà d đi qua điểm A(3; -2; 1) nên phương trình tham số của đường thẳng d là:

x = 3+2t d: y=-2-2t,te R. a

z=1-t Muốn tìm giao điểm J của d và (a), ta thế các biểu thức của x, y, z theo t trong phương trình tham số của d vào phương trình mặt phẳng (a). Khi đó ta có:

2(3-+ 2t) – 24-2-2t) – 1(1 – t)+9=0

6+46 +4+4t-1+t+9=0 At=-2 | Thay giá trị t = -2 vào phương trình tham số của d, ta được toạ độ của giao điểm 3, tức là toạ độ của tâm đường tròn giao tuyến (C).

x = 3+2.(-2) J: {y=-2 -2.(-2) = |(-1;2;3).

z=1-(-2)

Gọi A là một điểm thuộc đường tròn (C). Ta có: IA là bán kính mặt cầu (S) = IA = 10. JA là bán kính đường tròn (C) => JA =r. IJ là khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (d). IJ = d(I,(a)) = 1 2.3-2.(-2)-1.1+91 [18]

56.

(-2)2 +(-1 Vì II I (a) nên IJL AJ. Do đó, tam giác IIA vuông tại J. Xét tam giác AJA, theo định lí Pi-ta-go ta có: . IA’ = AI? + IJ? AJ’ = IA” – DJ= 102 – 62 => AJ = V64 = 8

Vậy đường tròn giao tuyến (C) của mặt cầu (S) và mặt phẳng (d) có tâm J(-1; 2; 3) và có bán kính r = 8. Bài 6 (Trang 92, SGK)

| a) Thay toạ độ x, y, z trong phương trình đường thẳng d vào phương trình mặt phẳng (a) ta có: 3(12+4t) +509 +3t)-1(1+t) -2=0

36+12t+45+15t-1-1-2=0 26t+78=0 t= -3. Thay thế giá trị t= -3 vào phương trình của d, ta được toạ độ giao điểm M:

x = 12+4.(-3) M: y = 9+3.(-3) -> M(0; 0; – 2).

12=1+(-3) b) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương 4 =(4; 3; 1).

Mặt phẳng (P) vuông góc với d nên (8) nhận ả làm vectơ pháp tuyến. Mặt khác (B) đi qua điểm M(0; 0; -2). Vậy phương trình của mặt phẳng (8) là:

(B): 4(x-0)+3(y-0)+1(2+2) = 0 + 4x + 3y + 2 + 2 = 0. Bài 7 (Trang 92, SGK)

| a) Vectơ 4 = (6; –2; -3) có giá vuông góc với mặt phẳng (a) nên ta có thể lấy vectơ ã làm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (a). Như vậy (a) là mặt phẳng đi qua A(-1; 2; -3) và có vectơ pháp tuyến 4 = (6; –2; -3 nên có phương trình:

(a): 6(x+1) – 2(y-2) – 3(2+3)= 0 6x – 2y – 3z +1=0.”

1. b) Giá trị tham số t ứng với toạ độ giao điểm M của d và (a) là nghiệm của phương trình sau: 6(1+3t)–2(-1+2t) – 3(3-5t)+1=0 29t=0 t=0.

x=1+3.0 Suy ra toạ độ giao điểm M là: y =-1+2.0 = M(1;-1; 3)

12 = 3-5.0 c) A và M cùng nằm trong mặt phẳng (a) nên đường thẳng AM nằm trong mặt phẳng (d). Mà mặt phẳng (d) lại vuông góc với giá của ã nên suy ra: ..

AM vuông góc với giá của ä.(1)

Mặt khác M là giao điểm của d và (d) nên AM cắt đường thắng d. (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM là đường thẳng thoả mãn điều kiện đi qua điểm A, vuông góc với giá của a và cắt đường thẳng d.

Vậy, AM chính là đường thẳng A cần tìm. AM nhận AM làm vectơ chỉ phương.

Ta có A(-1; 2; -3), M(1; -1; 3)= AM=(2; -3; 6). Đường thẳng AM đi qua điểm M(1; -1; 3) và có vectơ chỉ phương AM

x=1+2t nên có phương trình là:A:/y=-1-3t,te R.

z = 3+60

Bài 8 (Trang 93, SGK)

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương 4=(2; -3; 2). Đường thẳng d có vectơ chỉ phương a =(3; –2; 0).

Vì mặt (a) song song với d và do nên vectơ pháp tuyến n của (a) phải vuông góc với cả hai vectơ 4 và 4. Đặt i =[a, J. (a = (2; – 3; 2)

(oñ=[ā, a’] = (4; 6; 5) la’ = (3; – 2; 0) >

Mặt phẳng (d) có vectơ pháp tuyến i = (4; 6; 5) nên phương trình của (0) có dạng:

(a): 4x+6y +5z+D=0.

Ta cần tìm giá trị của hạng tử D để mặt phẳng (3) tiếp xúc với mặt cầu (S), hay xác định giá trị của D để khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (a) bằng bán kính r của (S).

Mặt cầu (S) có tâm(5;-1;-13) và bán kính = 5 +(-1)^ +(-13)? – 170 =5. Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (d) là: _14.5+6.(-1)+5.(-13)+D. D-511

14? +62 +52 777 Để mặt phẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) ta cần: d(1,(a) =* d(I,(a)=r =5 = |D-511=5777. Trường hợp 1: D-51=577 #D=5/77 +51. Khi đó phương trình mặt phẳng (d) là: 4x+6y +5z+51+5 /77 =0. Trường hợp 2: D-51-5/77 8D=51-5,77.

Khi đó phương trình mặt phẳng (a) là: 4x +6y +5z+51+5/77 =0. Bài 9 (Trang 93, SGK)

Gọi A là đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (a).

Vì H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (d) nên H là giao điểm của mặt phẳng (d) với đường thẳng A.

Mặt phẳng (a) có vectơ pháp tuyến là n = (2; -1; 1). Đường thẳng A vuông góc với (a) nên nhận n làm vectơ chỉ phương. A lại đi qua điểm M(1; -1; 2) nên có phương trình tham số là:

x=1+2t A: y=-1-t

2=2+2t.

Thế các biểu thức của x, y, z theo t trong phương trình tham số trên vào phương trình mặt phẳng (d) ta có:

2(1+2t) – (-1- t) + 2(2+2t)+11=0 9t+18=0 @t=-2. Thế giá trị t=-2 vào phương trình tham số của A ta có:

x = 1+2.(-2) H: y =-1-(-2) = H(-3; 1;-2).

12=2+2.(-2)

Bài 10 (Trang 93, SGK)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (a). Mặt phẳng (d) có vectơ pháp tuyến n = (1; 3; -1).

| Đường thẳng A đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (a) nên nhận n làm vectơ chỉ phương. Do đó, A có phương trình tham số là:

x=2+t A: y=1+3+

z=-t Ta có phương trình: 1(2+t)+3(1+3t)-(-t)-27 = 0 sult-22=16t=2.

x = 2+2 Do đó toạ độ hình chiếu H là: y =1+3.2

z=-2

=

H(4; 7; – 2).

M và M đối xứng nhau qua mặt phẳng (a) nên H là trung điểm của đoạn

thân MM. Suy ra ta có MM = 2MH.

Gọi x, y, z) là toạ độ điểm. M.MM =(x-2; y-1; z). Vì M(2; 1; 0), H(4; 7; -2) nên MH = (2; 6; -2).

(x – 2 = 2.2 (x=6 MM’ = 2MH y-1=6.2 {y=13

z=-2.2 z=-4 Như vậy, M(6; 13; -4) là điểm cần tìm. Bài 11 (Trang 93, SGK)

Cách 1: Giả sử đường thẳng A cắt đường thẳng d tại M và cắt do tại N. Ta có: Một; 4 + tỷ 3 – t) và N(1 – 2t; -3 + t ; 4 – 5t). Khi đó A có vectơ chỉ phương MN = (1 – 2t – t; 1 + t – t; 1 – 5t + t). A vuông góc với mặt phẳng (Oxz) có phương trình y = 0. Mặt khác n (0; 1; 0) (Oxz) nên nó là một vectơ chỉ phương của A.

t =

Ta có: MN =km và 1-2 -t=0

va (1–5t’+t=0]=

Thay t=2; t= vào toạ độ N và M ta có: M(3:35, 19). Ne 3 =125)

Phương trình tham số của A có dạng: y=a+t

18 Z-.–

.

Cách 2: Vì đường thẳng A song song với Oy (do vuông góc với mặt phẳng (Oxz) nên A có vectơ chỉ phương q = (0; 1; 0).

Vì A cắt d qua điểm M(0; 24; 3) và có vectơ chỉ phương u = (1; 1; -1) nên A nằm trong mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với vectơ n = {u, u] = (1; 0; 1).

Phương trình mặt phẳng (P1) có dạng: x + z– 3 = 0 (1)

Tương tự, vì A cắt d mà d qua M(1; -3; 4) và có vectơ chỉ phương u, = (-2; 1; -5) nên A nằm trong mặt phẳng (P) qua My và vuông £óc với n. =ļu,, u 1 = (5:0:- 2).

Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: 5x – 2z + 3 = 0 (2) Do vậy nên A=(P1) (P2), và các toạ độ của A thoả mãn hệ phương trình sau: (x +z-3=0)

5x – 22+3=0. Thay z = 3 – x từ phương trình (1) vào phương trình (2) ta có: 5x –2(3-x)+3=0 x=2

X

e=*, còn lấy tùy ý. Lấy y= 0 ta có điểm M(ệ: 0 ) thuộc A,

Vì 4 có vectơ chỉ phương

=(0; 1; 0) nên ta có phương trình của A là:

A: y=t, teR.

18 z =

H.

loa do

Tài 12 (Trang 93, SGK)

Đầu tiên, ta tìm điểm H, hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng A.

Đường thẳng A có vectơ chỉ phương <=(2;-1; 2).

Điển H thuộc A nên H có toạ độ – là (1 + 2t; -1 – t; 2t).

Từ đó suy ra: AH = (1+2t -1; -1-t+2; 2t +5) = (2t; 1- t; 2t+5) Để H là hình chiếu của A trên A thì AHLA. Khi đó: AHIZ AH.a=0 9+9=16t=-1. Do vậy toạ độ của điểm H là:

x=1+2(-1) H:{ y=-1-(-1) = H(-1;0;-2).

12=2.(-1) A và A đối xứng với nhau qua đường thẳng A nên H là trung điểm của đoạn thẳng AA’. Suy ra AA’ = 2AH.

Gọi x, y, z) là toạ độ của A . Ta có: AA’ = (x – 1; y + 2; z + 5) Mặt khác A(1;-2; -5), H(-1; 0; -2) nên AH = (-2; 2; 3). Theo trên thì AA’ = 2AH nên ta có hệ sau:

x-1= 2.(-2) {y+ 2 = 2.2 = A'(-3; 2; 1). z+5 = 2.3

Chú ý:

Ta có thể tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của A trên đường thẳng A bằng cách xem H là giao điểm của A với mặt phẳng (a) đi qua A và vuông góc với A. Với cách làm này, ta cần thực hiện hai bước như sau:

– Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua A và vuông góc với A; – Tìm toạ độ giao điểm H của (a) và A. Đối với bài này, ta có:

Đường thẳng A có vectơ chỉ phương ã=(2;-1; 2).

Mặt phẳng (a) vuông góc với A / A # # A’ nên nhận ã làm vectơ pháp tuyến. Mà (a) đi qua điểm A(1;-2; -5) nên (a) có phương trình là:

2(x-1)-1(y+2)+2(2+5)=0 + 2x – y +22+6=0.

Để tìm giá trị tham số t ứng với giao điểm H của (a) và A ta giải phương trình sau: 2(1 + 2t)-(-1-t) + 2.2t +6=0 9+9=0 t=-1.

x=1+2.(-1) Như vậy ta có toạ độ điểm H là: y=-1-1.(-1)= H(-1; 0; -2).

(z = 2.(-1) Vì A là điểm đối xứng của A qua A nên: AA = 2AH nên ta có hệ sau:

x-1= 2.(-2) {y+2 = 2.2 = A'(-3; 2; 1) Z+5= 2.3