A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

– Định nghĩa: Cho mặt phẳng (α). Nếu vectơ   và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì được gọi là vectơ pháp tuyến của (α).

Chú ý: Nếu là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì k với k ≠ 0 cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. .

– Tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ


Chú ý:

– Nếu hai vectơ không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (α)) thì mặt phẳng (α)) nhận làm vectơ pháp tuyến.

– Để dễ nhớ, người ta thường kí hiệu vectơ như sau:

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

– Phương trình tổng quát

Trong không gian, phương trình tổng quát của mặt phẳng là:

(P): Ax+By+Cz+D = 0;   A2 + B2 +C≠ 0.

Chú ý: + Trong phương trình tổng quát thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:

= (A; B; C).

+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0) và có vectơ pháp tuyến =(A; B; C) là:

A(x – x0) +B(y-yo) +C(z-zo)=0.

– Các trường hợp riêng

+ D = 0 ⇒ Mặt phẳng (P) đi qua gốc toạ độ.

+ Nếu một trong ba hệ số A, B, C bằng 0 thì mặt phẳng (P) song song với một trục toạ độ, hoặc chứa một trục toạ độ.

A = 0 ⇒ (P) // Ox hoặc Ox ⊂ (P)

B = 0 ⇒ (P) // Oy hoặc Oy ⊂ (P)

C = () ⇒ (P) // Oz hoặc Oz ⊂ (P)

+ Nếu hai trong ba hệ số A, B, C bằng 0 thì mặt phẳng (P) song song với một mặt phẳng toạ độ, hoặc trùng với một mặt phẳng toạ độ.

A = B = 0 và C ≠ 0 =(P) // Oxy hoặc (P) trùng với mặt phẳng Oxy.

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:

3. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

– Hai mặt phẳng cắt nhau

Cho hai mặt phẳng (P): A1x + B1y+C1z+D = 0

(Q): A1x+B1y+C2z+D2 = 0

Điều kiện để hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau là:

A1 : B1 : C1 ≠ k(A1 : B2 : C3 ) tức là các hệ số không tỉ lệ với nhau.

– Hai mặt phẳng song song

Nghĩa là các hệ số tỉ lệ với nhau và không tỉ lệ với hạng tử độc lập.

– Hai mặt phẳng trùng nhau

Nghĩa là các hệ số tỉ lệ với nhau đồng thời tỉ lệ với hạng tử độc lập.

– Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

(P) ⊥ (Q) ⇔ A1A2 +B1B2 +C1C2 = 0

4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Định lí:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình: Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M(xo; yo; zo). Khoảng cách từ điểm Mo đến mặt phẳng (P), kí hiệu là d(Mo, (P)) được tính theo công thức như sau:

5. Góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình lần lượt là:

(P): A1x+B1y+C1Z+D1 = 0;

(Q):A2X+B2y+C2+D2 = 0.

Gọi φ là góc giữa (P) và (Q) thì 0° < φ < 90° và

Nguồn website giaibai5s.com

  1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

– Định nghĩa: Cho mặt phẳng (d). Nếu vectơ + 0 và có giá vuông góc với mặt phẳng (d) thì n được gọi là vectơ pháp tuyến của (a).

Chú ý: Nếu n là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì kỉ với k = 0 cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. .

– Tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ Cho hai vectơ –=(a; a, a, ), b=(bộ; b; b,).

Vectơ i = (a,b, -a,b,, a,b -ab,; a,b, “a,b) được gọi là tích có hướng của hai vectơ a, b kí hiệu f = a. b.

Chú ý:

– Nếu hai vectơ a, b không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (a) thì mặt phẳng (d) nhận n làm vectơ pháp tuyến.

– Để dễ nhớ, người ta thường kí hiệu vectơ h như sau: ñ = láöl_(a, a, a, a, a, a,1)

ñ = lä, b1 =11b, balb, b, l’|b, b21)

  1. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

– Phương trình tổng quát Trong không gian, phương trình tổng quát của mặt phẳng là: (P): Ax+By+CZ+D = 0; A? + B2 +C? 0. – Chú ý: + Trong phương trình tổng quát thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:

ñ = (A; B; C). + Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(x ; y ; 2) và có vectơ pháp tuyến i=(A; B; C) là:

A(X — X,) +B(y-yo) +C(2-2,)=0. – Các trường hợp riêng + D = 0 = Mặt phẳng (P) đi qua gốc toạ độ.

+ Nếu một trong ba hệ số A, B, C bằng 0 thì mặt phẳng (P) song song với một trục toạ độ, hoặc chứa một trục toạ độ.

A = () = (P) // Ox hoặc Ox cP) B = 0 =(P) | Oy hoặc Oy c(P) C = () = (P) // Oz hoặc Oz c (P)

+ Nếu hai trong ba hệ số A, B, C bằng 0 thì mặt phẳng (P) song song với một mặt phẳng toạ độ, hoặc trùng với một mặt phẳng toạ độ. A = B = 0 và C + 0 =(P) {} Oxy hoặc (P) trùng với mặt phẳng Oxy.

X Y Z + Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: “+3+=1.

a b c

  1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

– Hai mặt phẳng cắt nhau Cho hai mặt phẳng (P): Ax + 3y+Cz+D = 0 (Q): A,x+By+C2z+D, = 0 Điều kiện để hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau là: A B C = k(A, B, C, ) tức là các hệ số không tỉ lệ với nhau.

– Hai mặt phẳng song song (P)/(0) JA:B, :C) =k(A2:B, :C,)

” D#KD Nghĩa là các hệ số tỉ lệ với nhau và không tỉ lệ với hạng tử độc lập. – Hai mặt phẳng trùng nhau (P) = (0) {(A, :B, :C)=k(A, :B, :C,)

D, = KD, Nghĩa là các hệ số tỉ lệ với nhau đồng thời tỉ lệ với hạng tử độc lập. – Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

(P).I(Q) A,A, +B,B2 +C,C2 = 0. 4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Định lí:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình: Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M(x0; yo; Zo). Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), kí hiệu là d(M), (P)) được tính theo công thức như sau:

d(M,, (P)) = /Axo +Byo +CLO+D/

VA? +B? +C?

  1. Góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình lần lượt là: (P): A,x+By+CZ+D, = 0; (Q):A2X+B2y+C2+D2 = 0. Gọi ọ là góc giữa (P) và (Q) thì 0° < 0 < 90° và

COS¢ = cos(n

)

__A,A, +B,B+C,C,/

VA +B; +CJA +B; +C} B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK) Bài 1 (Trang 80, SGK)

  1. a) Để viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(x, y, z ) và nhận i=(A; B; C) làm vectơ chỉ phương, ta sử dụng công thức:

A(X — X,)+B(y-yo)+C(2-2) = 0.

Trong bài này, với M(1;-2; 4) thì xo = 1; y0 =-2; Z = 4; với n =(2; 3; 5) thì A = 2, B = 3, C = 5. Ta có phương trình của mặt phẳng cần tìm là:

2(x – 1)+3(y-(-2)) + 5(2-4)= 0

2x – 2+ 3y +6+52-20 =0 @2x + 3y +52-16=0. b) Gọi mặt phẳng cần tìm là (P).

Đầu tiên, ta cần tìm một vectơ pháp tuyến của (P). Theo giá thiết, vì (P) song song với giá của hai vectơ ủ và ý nên rõ ràng là vectơ pháp tuyến n của (P) phải vuông góc với cả ủ và ý:

lũ và lý Nếu gọi ủ = (u, ; up, u,),ỹ =(v); v ; v,) thì ta có: ñ = (u_V3 – U3V2; U, V, – u, V3; U2V2 – 02V) Theo giả thiết ta có: u = 3;u, = 2;u, =1 V, = -3; v2 = 0; v; = 1 Như vậy ta có i=(2;-6; 6).

Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(0; -1; 2) và có vectơ pháp tuyến n =(2; -6; 6) nên có phương trình là: 2(x-1)-6(y-(-1)) + 6(z – 2) = 0

2x -6y-6+62–12 = 0 € 2x-6y +62-18 = 0. Chia cả hai vế của phương trình trên cho 2, ta được một phương trình ngắn gọn hơn: (P):x −3y+37-9=0.

  1. c) Đối với trường hợp mặt phẳng đi qua ba điểm A(-3; 0; 0), B(0; -2; 0), C(0; 0; – 1) ta thấy các điểm A, B, C chính là giao điểm của mặt phẳng với các trục toạ độ Ox, Oy, Oz nên ta áp dụng công thức cho phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn và được phương trình:

X+Y+2=1. -3.-2.-1 Quy đồng mẫu để đưa về phương trình: 2x + 3y +62 =-6 + 2x + 3y +62+6=0.

Bài 2 (Trang 80, SGK)

Cách 1:

Mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB chính là mặt phẳng đi qua trung điểm của AB và vuông góc với AB.

Ta có: AB = (2;-2; -4) và I(3; 2; 5) nên phương trình mặt phẳng (P) là: 2(x-3), 2(y-2) – 4(2-5)=0

x-y-2z+9=0. Cách 2:

Mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB là tập các điểm M(x, y, z) trong không gian sao cho: MA = MB MA? = MB

(x – 2)2 +(y – 3)2 +(2-7)2 = (x – 4)2 +(y – 1)? +(z – 3)? –4x +4-6y +9-142+49 =-8x+16– 2y +1-62 +9 4x – 4y – 8z + 36 = ( x-y-2z+9=0.

N

Bài 3 (Trang 80, SGK)

  1. a) Trong hệ toạ độ (0; 1; j; k) thì các | vectơ đơn vị trên các trục toạ độ là:

i =: (1; 0; 0) {j=(0; 1; 0)

k == (0; 0; 1)

Mặt phẳng (Oxy) đi qua gốc O(0, 0, 0) . và vuông góc với trục Oz nên nhận vectơ. k = (0; 0; 1) làm vectơ pháp tuyến.

Vậy mặt phẳng (Oxy) có phương trình là: 0(x –0)+0(y –0)+1(2-0)=0 &z=0.

Mặt phẳng (0yz) đi qua gốc O(0, 0, 0) và vuông góc với trục Ox nên nhận vectơ i = (1; 0; 0) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

1(x-0)+0(y-0) +0(2-0) = 0 6x=0. | Mặt phẳng (Ozx) đi qua gốc 070; 0; 0) và vuông góc với trục Oy nên nhận vectơ j = 0; 1; 0) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

0(x -0)+1(y-0)+0(2-0)= 0 4 y=0. Như vậy: Phương trình mặt phẳng (Oxy) là: 2 = 0.

Phương trình mặt phẳng (Oyz) là: x = 0. Phương trình mặt phẳng (Ozx) là: y = 0.

  1. b) Mặt phẳng (a) đi qua M(2; 6; -3) và song song với mặt phẳng toạ độ (Oxy) nên nhận vectơ k = 0; 0; 1) làm vectơ pháp tuyến và có phương trình là:

0(x – 2)+((y-6)+1(2+3)=0 € 2+3=0. Mặt phẳng (8) đi qua M(2; 6; -3) và song song với mặt phẳng toạ độ (Oyz) nên nhận vectơ i = (1; 0; 0) làm vectơ pháp tuyến và có phương trình là:

1(x – 2) +0(y-6) +0(2+3) = 0 AX-2=0. Mặt phẳng (Ý) đi qua M(2; 6; -3) và song song với mặt phẳng toạ độ (Ozx) nên nhận vectơ j = (0; 1; 0) làm vectơ pháp tuyến và có phương trình là:

0(x – 2)+1(7-6)+0(2+3)=0 @y-6=0. Bài 4 (Trang 80, SGK)

| a) Gọi (a) là mặt phẳng qua P và chứa trục Ox, thì (a) qua điểm 0(0, 0, 0) và chứa giá của các vectơ OP(4; -1; 2), (; 2; 0). Khi đó:

n = OP, i = 02; 1) là vectơ pháp tuyến của (a). Phương trình mặt phẳng (a) có dạng là: 2y + z = 0. Chú ý: Ta cũng có thể giải như sau: Mặt phẳng (d) cần tìm có phương trình tổng quát dạng: Ax +By+Cz+D = 0. Do gốc toạ độ O(0, 0, 0)+ (a) nên D = 0.

Lấy điểm E(1; 0; 0) trên trục Ox. Khi đó E < (a). Thay toạ độ của E vào phương trình tổng quát của mp(a) ta có A = 0.

Vậy phương trình (a) có dạng By + Cz = 0. Vì P(4; -1; 2)+ (a) nên ta có JB+ 2C = 0 hay B = 2C.

Mặt khác A, B, C, D có thể chọn sai khác một hằng số khác 0 nên ta lấy C = 1.

Ta có phương trình mặt phẳng (d) là: 2y + z = 0.

  1. b) Tương tự như câu a), mặt phẳng (8) đi qua điểm Q(1; 4; -3) và chứa trục Oy thì (8) đi qua gốc toạ độ O(0, 0, 0). Ta có: O2 = (1; 4; -3) và j(0; 1; 0) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (8).

Vậy phương trình mặt phẳng (8) có dạng: 3x + z = 0.

  1. c) Mặt phẳng (Y) qua điểm R(3; 24; 7) và chứa trục Oz thì (Y) đi qua gốc toạ độ O(0, 0, 0). Ta có: OR = (3; -4; 7) và k = 0; 0; 1) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (Y).

Vậy phương trình mặt phẳng (?) có dạng: 4x + 3y = 0. Bài 5 (Trang 80, SGK)

  1. a) Mặt phẳng (ACD) chứa hai đường thẳng AC và AD. Đường thẳng AC là giá của AC = (0; -1; 1). Đường thẳng AD là giá của AD = (-1; -1; 3).

Nếu gọi i là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ACD) thì 1 AC và ni AD. Do đó, ta có thể chọn n là vectơ tích có hướng của AC và AD. ñ =[AC, AD).

(AC = (0; – 1; 1). > ñ=(-2; – 1; -1).

AD =(-1; – 1; 3)

Mặt phẳng (ACD) đi qua điểm A(5; 1; 3) và có vectơ pháp tuyến n =(-2;-1; -1) nên có phương trình: (ACD): –2(x – 5)-1(y-1)-1(2-3) = 0.

-2x + 10-y + 1 – 2+3 = 0 .-2x – y – x + 14 = 0 + 2x + y + 2 – 14 = 0. Tương tự như trên, mặt phẳng (BCD) chứa các giá của hai vectơ BC và BD. Nếu gọi m là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) thì m = BC, BD. Với B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6) ta tính được: {

BC = (4; – 6; 2)

* BD = (3; – 6; 4) > m=(-12; -10; -6).

Suy ra mặt phẳng (BCD) đi qua B và có vectơ pháp tuyến m =(-12;-10;-6) nên mặt phẳng (BCD) có phương trình là: (BCD):–12(x – 1) –10(y-6)-6(z–2)=0

-12x + 12 – 10y + 60 -6x + 12 = 0 7–12x – 10y – 62 + 84 = 0 6x + 5y + 32 – 42 = 0

  1. b) Gọi D là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (d) cần tìm.

Vì (a) chứa AB và song song với CD nên dễ thấy 01 AB và DLCD. Do đó, ta có thể chọn p là vectơ tích có hướng của hai vectơ AB và CD. P=[AB, CD] Tom | A(5; 1; 3), B(1; 6; 2)= AB = (-4; 5; 1) C(5; 0; 4), D(4; 0; 6)=CD=(-1; 0; 2)

(15-1.|-1-4.|-451) Và p=

11 = (10; 9; 5).

021|2 -1|’|-101) Mặt phẳng (d) chứa AB nên chưa điểm A(2; 1; 3) và có vectơ pháp tuyến p = (10; 9; 5) nên (a) có phương trình là:

(a): 10(x – 5)+9(y-1)+5(2-3) = 0 10x + 4y + 5z – 74 = 0. Bài 6 (Trang 80, SGK)

Mặt phẳng (8) có vectơ pháp tuyến n = (2; -1; 3)

Vì nil (8) mà (8) || (0) nên n l (a). Do đó n cũng là một vectơ pháp tuyến của (a).

Mặt phẳng (d) đi qua điểm M(2; -1; 2) và có vectơ pháp tuyến i = (2; -1; 3) nên (a) có phương trình là:

2(x-2)-1(y+1)+3(2-2)=0 2x – y + 32-11 = 0. Chú ý:

Với loại bài toán này, ta thường sử dụng cách giải như sau: | Mặt phẳng (8) có phương trình: 2x – y + 3z + 4 = 0 nên mọi mặt phẳng (d) . song song với (8) đều có phương trình dạng: 2x -y+3/4-D=0.

Vì mặt phẳng (a) đi qua M(2; -1; 2) nên toạ độ của M phải thoả mãn phương trình (*). Thay toạ độ điểm M vào (*) ta có: 2.2-1.(-1)+3.2+D=0e D=-11.

Thay D = -11 vào phương trình (*) ta có phương trình mặt phẳng (d) là 2x – y + 32-11 = 0.

Bài 7 (Trang 80, SGK)

| Mặt phẳng (8) có vectơ pháp tuyến i = (2; -1; 1).

| Mặt phẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (8) nên (a) song song với giá của vectơ n. Mà mặt phẳng (d) chứa hai điểm A, B nên (a) chứa giá của AB. .

Gọi m là vectơ pháp tuyến của (0) thì ta có: m 1 n, mL AB nên m =[n, AB] A(1; 0; 1), B(5; 2; 3) = AB = (4; 2; 2)

m=[n, AB) =(1-1)1212-11)

=(-4; 0; 8).

Mặt phẳng (a) đi qua điểm A(1; 0; 1) và có vectơ pháp tuyến m = (-4; 0; 8) nên có phương trình là:

(a): -4(x-1)+((y-0)+8(2-1) = 0

-4x + 4 + 8z – 8 = 0 AX – 22 + 1 = 0.

Chú ý: Ta có: m =(-4; 0; 8)=-401; 0; -2). Gọi m = (1; 0; -2) thì m = 4m.

Hai vectơ m và m cùng phương nên ta có thể lấy vectơ m làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (d) và được phương trình: (a): x-2z+1=0. Bài 8 (Trang 81, SGK) a) Để hai mặt phẳng Ax+3y+Cz+D =0 và A,x +B,y+Cz+D, =0

: P song song với nhau thì cần thoả mãn điều kiện: 3 S :22:12)

” D, #kD, Điều kiện này có thể được hiểu là để hai mặt phẳng song song với nhau thì các hệ số tương ứng phải tỉ lệ với nhau và không tỉ lệ với các hạng tử độc lập AL_B_C_D

A,

B.,

m

3

Áp dụng vào giá thiết của bài này ta có: –

NIE

= -4

–om= 4

  1. b) Hoàn toàn tương tự ta có:

3

– 5

m

-3

In og

Win WIN

m

=

E

)

A

Bài 9 (Trang 81, SGK)

  1. a) Thế toạ độ của A(2; 4; -3) vào công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta được như sau: www 12.2–1.4 +2.(-3)-9| |-15|

V22 +(-1)2 + 22 b) Tương tự ta có: ara _ |12.2 +0.4 – 5.(-3) +5 _ _ V122 +0? +(-5)

169 c) Áp dụng công thức ta có: dia. Ouzi_11.2+0.4+0.(-3) 2

V1? +0? +02 1 Cách khác: Mặt phẳng x = 0 chính là mặt phẳng Oyz.. Do đó khoảng cách từ A(2; 4; -3) thì chính bằng tung độ của điểm A.

=>d(A, Oyz) = 2. Bài 10 (Trang 81, SGK)

Cách 1:

Xét hệ trục toạ độ Oxyz trong không gian sao cho A trùng với gốc toạ độ 0, AB là trục hoành, AD là trục tung còn AA là trục cao. Như vậy, ta có toạ độ các đỉnh của hình lập phường ABCD.A’B’C’D là:

A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), B(1; 0; 1), D(0; 1; 1) và C(1; 1; 1).

  1. a) Mặt phẳng (ABD) qua điểm A và nhận n =[AB, AD] làm vectơ pháp tuyến. Ta có: AB = {1; 0); 1), AD = (0; 1; 1) và n =(-1;-1;-1).

Phương trình mặt phẳng (ABD’) có dạng: x + y – z = 0. (1)

Tương tự, mặt phẳng (BCD) qua điểm B và nhận m =[BD, BC] làm Vectơ pháp tuyến.

Ta có BD=(-1; 1; 0), BC =(0, 1; 1) và m=(1; 1; -1). Phương trình mặt phẳng (BCD) có dạng: x + y – 2-1 = 0.

(2) So sánh hai phương trình (1) và (2), ta thấy hai mặt phẳng (ABD) và (BCD) song song với nhau.

Cách 2: (không dùng phương pháp toạ độ) Xét hai mặt phẳng (ABD) và (BCD), ta có: BD || BD, AD // BC và ABCD.ABCD là hình lập phương.

Do đó mặt phẳng (ABD) có hai đường thẳng cắt nhau BD và AD lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau BD và BC của mặt phẳng (BCD). Vì vậy (AB/D) || (BCD).

  1. b) Vì (ABD) || (BCD) nên khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng. Ta có:

h =d(A,(BC’D

Giải bài tập Hình học 12 (Chương trình cơ bản) – Chương 3, Bài 2: Phương trình mặt phẳng
Đánh giá bài viết