A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Ôn tập i) Phương trình bậc nhất
ii) Phương trình bậc hai
2. Định lí Vi-ét Nếu phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠b) có hai nghiệm x1, x2 thì :
Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là các nghiệm các phương trình X2 – SX + P = 0 với điều kiện S2 – 4P ≥ 0 3. Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai • a) Phương trình chứa giá trị tuyệt đối Cách 1: i) Loại bỏ dấu | | bằng công thức :
ii) Đưa môi trường hợp về dạng bậc nhất hoặc bậc hai iii) Kiểm tra lại giá trị tìm thấy của X có thỏa mãn đề bài hay không? iv) Ghi rõ tập nghiệm Cách 2: i) Bình phương hai vế đưa về dạng bậc nhất hoặc bậc hai ii) Thử lại để xác định nghiệm thích hợp iii) Ghi rõ tập nghiệm b) Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai i) Điều kiện để các biểu thức chứa căn tồn tại ii) Bình phương để loại bỏ dấu căn bậc hai rồi thu về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai iii) Thử lại các giá trị của x tìm thấy iv) Ghi rõ tập nghiệm |
Nguồn website giaibai5s.com
- KIẾN THỨC CƠ BẢN
- Ôn tập
- i) Phương trình bậc nhất
ax + b = 0 Hệ số
Kết luận (1) có nghiệm duy nhất: x = “
(1)
a
X
=
b 4.0 (1) vô nghiệm a = 0
B = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x ii) Phương trình bậc hai .
ax2 + bx + c = 0 (a = 0) TA = b2 – 4ac
. Kết luận A > 0
:: -b + A 1 (2) có x1,2 ==
2a
A = 0
(2) có nghiệm kép: x =
2a
et
A < 0 1 (2) vô nghiệm 3. Định lí Vi-ét
Nếu phương trình bậc hai: ax^+ bx + c = 0 (a + b) có hai nghiệm X1, X2 thì :
- X1 + X2 = -b
- X1X2
–
Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + y = S và tích uv = P thì u và v là các nghiệm các phương trình x? – SX + P = 0 với điều kiện S2 – 4P 20 2. Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai • a) Phương trình chứa giá trị tuyệt đối
Cách 1: i) Loại bỏ dấu || bằng công thức :
nếu A > 0 . .
-A nếu A < 0 ii) Đưa môi trường hợp về dạng bậc nhất hoặc bậc hai
I
TAI = A
nếu
2
iii) Kiểm tra lại giá trị tìm thấy của X có thỏa mãn đề bài hay không? iv) Ghi rõ tập nghiệm
Cách 2: i
) Bình phương hai vế đưa về dạng bậc nhất hoặc bậc hai
- ii) Thử lại để xác định nghiệm thích hợp
iii) Ghi rõ tập nghiệm
- b) Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai
- i) Điều kiện để các biểu thức chứa căn tồn tại
- ii) Bình phương để loại bỏ dấu căn bậc hai rồi thu về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai
iii) Thử lại các giá trị của x tìm thấy
- iv) Ghi rõ tập nghiệm .
- BÀI TẬP 1. Giải các phương trình x2 + 3x + 2 – 2x – 52
2x + 3 4 2x + 3 4
X-3 X + 3
2 _9 c) (3x – 5 = 3 ;
- d) (2x + 5 = 2.
Giải a) • Tập xác định : 2x + 3 + 0 + x + 3 • Quy đồng và bỏ mẫu chung:
4(x2 + 3x + 2) = (2x – 5)(2x + 3) . 6 16x = -23 x = – (nhận)
- Vậy, T= -73 b) • Tập xác định: x2 – 9 + 0 + x + +3 • Quy đồng và bỏ mẫu chung
(x + 3)(2x + 3) – 4(x – 3) = 24 + 2(x^ – 9) + x = -3 (loại) • Vậy, T = Ø c) • Tập xác định : 3x – 5 tồn tại e 3x – 5 > 0 x2 • Bình phương hai vế : V3x – 5 = 3
+ 3x – 5 = 9 + x (nhận) • Tập nghiệm : T-{4}
X
+
22
16
116)
X
- d) • Tập xác định : 2x + 5 206 x 2-3
IV
|
- Bình phương hai vế : 2x + 5 = 4 x
(nhận)
- Tập nghiệm : TB2. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m a) m(x – 2) = 3x + 1 ;
- b) mox + 6 = 4x + 3m; c) (2m +1)x – 2m = 3x – 2.
Giải
m
–
mt
=
- a) m(x – 2) = 3x + 1 (1)
mx – 3x = 2m +1 (m – 3)x = 2m +1 (2) • m – 370 m+ 3 ; (2) x = 2m +1
m-3 • m-3 = 0.0 m = 3; (2) 0x = 7 (vn) Tóm lại, • Khi m + 3 thì (1) có tập nghiệm T = 2m+1
( m – 3 • Khi m = 3 thì (1) có T = 8 b) mox + 6 = 4x + 3m (1)
(m2 – 4)x = 3m – 6 (2). • (m? – 4) +0 m+2 = (1) ox=
3(m – 2) 3
m2 – 4 m+2
Tox = 0 :T=R • m2 -4 = 0 0 m = +2 → (2)
Ox = -12:T=Ø Tóm lại, • Khi m + +2 thì (1) có T = 3
.
(m
+ 2
10
(1)
- Khi m = 2 thì (1) có T = R
- Khi m = -2 thì (1) có T = 8 c) (2m + 1)x – 2m = 3x – 2 2(m – 1)x = 2(m -1)
(2) • m-1700m1 = (2) X=1
- m-1=0 m = 1, 0x = 0: T=R Vậy, • Khi m + 1, (1) có T = {1}
- Khi m = 1, (1) có T = R
- Có hai rổ quýt chứa số quýt bằng nhau. Nếu lấy 30 quả rổ thứ nhất
đưa sang rổ thứ hai thì số quả ở rổ thứ hai bằng 5 của bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất. Hỏi số quả quýt ở mỗi rổ lúc ban đầu là bao nhiêu ?
Giải Gọi x (x > 30) là số quýt của mỗi rổ lúc đầu. Số quýt lúc sau của tổ thứ nhất : x – 30 (quả) Số quýt lúc sau của tổ thứ hai : X + 30 (quả)
Ta có phương trình: x + 30 =.
3012
e xo – 63x + 810 = 0 e x = 45 x = 18 (loại)
Vậy, số quýt của mỗi rổ lúc đầu : 45 quả 4. Giải các phương trình a) 2×4 – 7×2 + 5 = 0;.
- b) 3×4 + 2×2 – 1 = 0
Giải a) Đặt t = x2, t > 0 thì to = x^ .
Phương trình 2x^ – 7x + 5 trở thành:
2t2 – 7t + 5 = 0 ot=1vt =
N107
x
=
:
Khi t = 1 thì x = +1 Khi t = 0 thì x= + Vậy, tập nghiệm : T- 1; 49
(2 – 50 [t = -1 (loại) b) 3x^ + 2x^ -1 = 0 at? + 2 -1=0?t=3 loại)
Vậy , T-3 5. Giải các phương trình sau bằng máy tính bỏ túi (làm tròn với ba chữ
số thập phân) . a) 2×2 – 5x – 4 = 0;
b) -3×2 + 4x + 2 = 0. c) 3×2 + 7x + 4 = 0);
d) 9×2 – 6x – 4 = 0. Hướng dẫn câu a) Nếu sử dụng máy tính CASIO f(x)-500 MS, ta ấn liên tiếp các phím
MODE MODE 1 2 2 05604E được x = 3, 137. Ấn tiếp = được X2 = -0, 637.
Giải a) 2×2 – 5x – 4 = 0
Ân liên tiếp các phím | MODE MODE 102 2 6056046 được x1 = 3, 137
Ấn tiếp =]được X2 = -0, 637 b) -3×2 + 4x + 2 = 0 Ấn liên tiếp các phím
MODE MODE) 10203000026 được x = 1,721
Ấn tiếp =] được X2 = -0, 387 c) 3×2 + 7x – 4 = 0 Ấn liên tiếp các phím
MODE MODE 1023 11000 được x = -1 Ấn tiếp [E] được X2 = -1,333 x? – 6x + 4 = 0 Ân liên tiếp các phím
MODE MODE 1 029906643 được x1 = 1, 079
Ấn tiếp được X2 = -0, 412 6. Giải các phương trình a) (3x – 2) = 2x + 3;
- b) 2x – 11 = -5x – 21; C) 2x – 3° Tx+11.
- d) 2x + 5) = x2 + 5x +1;
Giải a) |3x – 2 = 2x + 3 Cách 1: • Tập xác định: 2x + 3 2 0
- Loại bỏ dấu ||
c) *-1 = -3x+1 :
. 3x -2 khi x 23 Ta có : 3x – 2 = . .
–3x + 2 khi x Có hai trường hợp: • Khi x >ở thì (1) + 3x – 2 = 2x + 3 + x = 5 (nhận, do (*) • Khi x < 2 thì (1) = -3x + 2 = 2x + 3
2
5x = -1
(nhận, do (*)) .
Tóm lại, (1) có tập nghiệm: T = 5
Cách 2:
- Tập xác định : x 2
- Bình phương hai vế : (3x – 2) = (2x + 3)^
5x– 24x – 5 = 0 => x = 5 vx=– thử lại : |3x – 2 = 3.5 – 2 = 131 .
>> x= 5 (nhận) 2x + 3 = 2.5 + 3 = 13
:
.
.
2
X
=
(nhận) . . . .
13x – 2 = (3-(-3) -21 -1671 2x +3 = 2(-1)+ 3 = -2 * 15 – 13 Vậy ,T–
1
- b) |2x – 1= 1-5x – 2 2x – 1 = (5x + 2)
x = -1
x-1 = 5x + 2 x-1= -5x – 2
. Vậy, T = {
x-1 2x – 3
-3x + 1 x + 1
X
+
– Tập xác định : + 2x – 3 + 06 x +; •x + 1 + 06 x = -1 | Vậy, x = 3 và x = -1 • Khi x > -1, ta có :
1ox- 1 = (2x – 3)(-3x + 1) 44
X-1 2x – 3
-3x +1 x + 1
e 7×2 – 11x + 2 = 0 x 2 = (nhận, do thỏa x> -1)
. –
Khi x < -1, ta có: X-1 -3x + 1
(x – 1)(-1 – x) = (2x – 3)(-3x + 1) 2x -3 -1-x -xx2 +1+x = -6×2 + 2x + 9x – 3
11+ ✓ 5x + 11x + 2 = 0 X3,4 = – (loại, do không thỏa x < -1
10
..
.
Vậy: T = 11+ 465 ]
*
)
B
14s d) (2x + 5) = x2 + 5x +1 (1) Khi x2-, ta có: +2x+ 5 = x + 5x + 12×2 + 3x – 4 = 0 – 31 = 1
x = -4 (loại) Khi x < 5 , ta có :
(x = -1 (loại) -2x – 5 = x2 + 5x +1 XP + 7x + 6 = 0
[X2 = -6 | Thử lại ta thấy phương trình (1) đã cho có hai nghiệm là x =1; x = -6 7. Giải các phương trình a) V5x + 6 = x – 6;
- b) 13- X = x+2 +1; c) V2x2 + 5 = x+2;
d)/4×2 + 2x + 10 = 3x+1.
Giải a) 45x + 6 = x – 6. Điều kiện: x > 6
5x + 6 = (x – 6)2 = x – 17x + 30 = 0 ex = 15 v x = 2 (loại) = T = {15) b) 13-x = Vx+2+1 (1) (1) ► 13 – x – Vx+ 2 =1= 3-X+X+2 – 2/(3 – x)(x + 2) = 1
>> 2 = 1(3 – x)(x + 2) = 4 = -x2 + x + 6
=> x2 – x – 2 = 0 = x=-1 V x = 2 Thử lại: • x = -1: vế trái 3 – x = 4 = 2
vế phải 4x + 2 + 1 = 1 + 1 = 2
VX
Vậy, x = -1 nhận được • x = 2 : vế trái (3 – x = 1 =1
vế phải x + 2 +1= 2+1 = 3 Vậy x = 2 bị loại
Tóm lại, tập nghiệm của (1): T ={-1} c) V2x2 + 5 = x + 2
(1) Tập xác định : x 2 -2 (*) (1) 2×2 + 5 = x2 + 4x + 4 x2 – 4x + 1 = 0
+ X1,2 = 2 + 3 (thỏa (1). Vậy, T = {2}{3} d) V4x2 + 2x + 10 = 3x +1 (1)
Tập xác định: 3x + 1 > 0 x 2-3 3. (1) 4×2 + 2x + 10 = 9×2 + 6x +1 5x + 4x – 9 = 0 .
e x = 1 + x = 0 (loại, do (1). Vậy T = {1} 8. Cho phương trình 3×2 – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0.
Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.
Giải Theo định lí Vi-ét, ta có:
.
IV
x 1*2 =
3m – 5
3
Theo giả thuyết ta có : X = 3×2 • Để có x1 và X2, điều kiện là :
A’ = (m + 1)2 + 15 – 9m = m2 – 7m +16 > 0, me R • Từ (1) và (3) ta có : 4 xy = g(m + 1) + X) = “”
m
+1
Từ (3) và (4) ta có : x = “”
(5)
2
.
.
m +1 m +1 3m – 5 – Thay X và Xã ở (5) và (4) vào (2) , ta có: ” x””
6 2
3 (m + 1)2 = 4(3m – 5) m – 10m + 21 = 0 m = 3 v m = 7 • Khi m = 3 thì x = 2; X2 =
CIA CON
- Khi m = 7 thì x = 4; X2 = 3