Câu 1:

1. a) Giải hệ phương trình

.

_ 2 4x – -2

X

1. b) Giải phương trình (3x – 4x + 3)(4 + 3×2 + 8x = 16(x – 1). Câu 2:

x + y + z = 6 a) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn

(x – 1): +(y – 2) + (2-3) = 0 Tính giá trị biểu thức P = (x – 10^015 b) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn + = 2.

Chứng minh x – 4xy + 6y + 2x > 6.

a – b15

Câu 3: Tìm các số nguyên dương a, b, c mà

là số hữu tỉ và

la b-cs5 a + b^ + c” là số nguyên tố.

 Câu 4: Cho AABC có AB = AC = a và BAC = 120°. Cho đường tron (A, AB) có

các tiếp tuyến tại B, C cắt nhau tại D. Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ BC của (A, AB). Tiếp tuyến tại M của đường tròn này cắt DB tại E, cắt DC tại F. Gọi P, Q là giao điểm của AE, AF với BC. a) Chứng minh ABEQ nội tiếp được và các đường thẳng AM, EQ, FP

đồng quy. . b) Xác định vị trí của M trên cung nhỏ BC của (A, AB) để diện tích L\APQ nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo a.

Câu 5: Từ một đa giác đều 15 đỉnh, ta chọn ra 7 đỉnh bất kì. Chứng minh

rằng có 3 điểm trong số 7 đỉnh đã chọn là 3 đỉnh của một tam giác cân.

Câu 1: a) ĐK: y = (). Hệ phương trình có thể viết:

2

2

2 X — …

X

–

+

– 2

=

0

2

4x

X –

– —– –

-2

(2)

Đặt x – 5

= t, ta có tỏ + t – 2 = 0 =>

NOEING IN

–

= –2

* Với x = =

= 1 = xy – y = 2

+ y(x – 1) == 2

+ y

Thay vào (1), 4X = 3 = 2x(x – 1) = 3 = 2x – 2x – 3 = 0

3

X., -=

2

927-1

.

* Với x = = = -2 – xy – 2 = −2y = y(x + 2) = 2 = y = …..

*+2 Thay vào (1) (hoặc (2)) ta có 6 = 8x(x + 2) = 8x + 16x – 6 = 0

4x + 8x – 3 = 0 HS giải tiếp b) ĐK x > 0, đặt 3 x = a > 0, 1x + 8 = b > (). Phương trình trở thành (a – b)(4 + ab) = 2(a – b)

a = b . sla – bla — 2)(b − 2) = 0) = (vì b > 2v2).

a = 2 • Với a = 2 ta được phương trình 3 x = 2 e x = 3

X

–

• Với a = b, ta được phương trình 3

x =

x +8

-9x = x + 3+

x = 1.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S =

Câu 2: a) Ta dễ dàng chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì a + b^ + = 3abc Ta đặt a = x – 1, b = y 2, c = z – 3

a + b + c = 0 Ta có:

theo nhận xét ở trên a + b + c = 3abc = (0) – a + b = 0 abc = 0.

Suy ra a = b+ c = 0, b = a + c = 0, c = a + b = 0

Vậy P = a2015 + b2015 + c2015 = 0 b) x” – 4xy + 4y” + 2y2 + 2x > 60 (x – 2y)2 + 2(y2 + x) > 6 (1)

4 1 4 m Từ gia thiết –+– = 2 suy ra — + . (theo BÐT Cauchy)

X y

suy ra ,2

xy

=> xy > 2 >x> ^ (do y > 0)

->> y2 + x = y2 +

= = y^ + = + − > 3 (theo bất đẳng thức cosi cho 3 số y

y y

dương y, 1, 1

Iy2y

Vậy y + x − 3 = 2(y + x) > 6 Từ đó rõ ràng (x – 2y + 2(y + x) > 6 (đpcm)

2. T. — a – b 5 m Câu 3: Ta có : – = “” trong đó m, n + Z, m, n = 0 và (m, n) = 1

b-cv5n Suy ra na – mb = (nb – mc) 45 Vì v5 là số vô tỉ nên nb – mc = 0 và na – rub = 0 = m.nac = mnbo Vì mn + 0 nên ac = b. Suy ra a2 + b^ + c^ = (a + c)? – b2 = (a + b + c)(a – b + c) Theo giá thiết a + b^ + c” là số nguyên tố nên a − b + c = 1 và a + b + c là số nguyên tố Mà a – b + c = 1, a – b + c 22 Vac – b = b >1> b = 1

Do do Ja + c = 2

oa = c = 1. ac = 1 Vậy a = b = c = 1. Câu 4:

1. a) QAE = -CAB = 60°

Mặt khác QBE = CBD CMB = 60° Do đó QAE = QBE Suy ra ABEQ nội tiếp Từ đó AQE = ABÈ = 90°. Z

EQ 1 AF Tương tự, ACFB nội tiếp và FPT AE AAFE có các đường cao AM, FM, EQ đồng quy (đpcm).

1. b) LAPQ – SAFE (g.g) tỉ số 4

= sin AFP = sin30° = 4. Suy ra tỉ số

AF .

đồng dạng là A. Vậy SAPQ nhỏ nhất khi SAFE nhỏ nhất, tức FE nhỏ

DAFE nh

nhất.

Kẻ đường thẳng qua A vuông góc với AD cắt DC, DB tại X, Y. Ta có FE = FX + EY – (CX + BY) 2 2 VFX.EY – 2CX (1) Ta lại có AXFA ro AYAE (cùng đồng dạng với AAFE) suy ra FX.EY = AY.AX = AX^ (2). Từ (1) và (2) suy ra EF> 2(AX – CX) = AX = 1. Đẳng thức xảy ra khi FX = EY 9 M là trung điểm của

SUY

cung nhỏ BC Lúc đó SaPa = SAFE = 1.AM.EF = a* 13

JAFE =

A

12

Câu 5: Trong một ngũ giác đều ba đỉnh bất kì đều làm thành một tam giác

cận. Trong đa giác đều 15 cạnh sẽ có 3 ngũ giác đều rời nhau. Vì 7 = 3.2 + 1 nên theo nguyên lí Dirichlet luôn tồn tại 3 ngũ giác đều chứa ít nhất 3 trong 7 đỉnh đã chọn. Từ đó suy ra đpcm.