Câu 1. Cho biểu thức A =

3 20 – 21 x 2 và B =

+7 -, với x > 0, x + 25. Vx-5 Vx + 5 x – 25 1. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.

2. Chứng minh B =

VX-5

3. Tìm tất cả các giá trị của x để A = B.x – 4. Câu 2. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một xe ôtô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10km/h nên xe ôtô đến B sớm hơn xe | máy 36 phút. Tính vận tốc của mỗi xe. Câu 3.

Vx + 27y – 1 = 5 1. Giải hệ phương trình

14VX – Vy – 1 = 2 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = mx + 5. a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn đi qua điểm A(0; 5) với mọi giá

trị của m.

20

1. b) Tìm tất cả giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P): y = x tại | hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là X1, X2 (với x < X9) sao cho

1xıl > xul. Câu 4. Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N lần

lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I. Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K. 1. Chứng minh bốn điểm C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn. 2. Chứng minh NB2 = NKNM. 3. Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi. 4. Gọi P, Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK,

tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ. Và đường kính ND của

đường tròn (O). Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng. Câu 5. Cho các số thực a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn: a > 1, b > 1, c > 1 và

ab + bc + ca = 9. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P = a? + b2 + c?

Chỉ dẫn Câu 1.

B

=

–

+

–

1. Với x = 9 thỏa mãn điều kiện x > 0, x + 25 ta có: A =

Vx+2

“

Vx – 5 2 2 B 3 20 – 21x 3(Vx – 5) + 20 – 21 x Vx+ 5 X – 25

X – 25

Vx + 5

(x + 5)(x –5) Vx – 5 3. A = B X – 41

x + 2 = x – 4 với x > 4 |x – 4x – 6 = 0 với x > 4 |x + 2 = 4 – x với 0 < x < 4 x + x – 2 = 0 (loại x = -2) Phương trình (1) có các nghiệm x = 3 = x = 9 (loại x = -2)

Phương trình (2) có các nghiệm x = 1 và x = 9. Câu 2. Đặt x (km/h) là vận tốc xe ôtô, thì vận tốc xe máy là (x – 100 km/h. Thời gian đi từ A đến B của xe ôtô và xe máy lần lượt là 120 120

X-10

120 120 3 Ta có phương trình

— = -.h (1) X — 10 X 5

+ VX

X

h.

21

Với x > 0, x + 10, ta có:

(1) 5 x 120(x – (x – 10)) = 3x(x – 10)

e x” – 10x – 2000 = 0, x > 0 => x = 50 (loại x = -40) Vận tốc ôtô là 50km/h, vận tốc xe máy là 40km/h. Câu 3. 1. Điều kiện xác định x > 0, y >1. Đặt /x = u, y -1 = y

u +2v — 5 2 Vy – Ta có hệ:

6 8u – 2v = 4 4VX – Vy – 1 = 2 (u, v 20

ou = Vx = 1, v = Vy – 1 = 2 => x = 1, y = 5 2. Tọa độ điểm A(0; 5) luôn nghiệm đúng phương trình đường thẳng (d):

y = mx + 5 (vì 5 = m x 0 + 5 với mọi giá trị của m) nên (d) luôn đi qua điểm A(0; 5). Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình xo = mx + 5 x – mx – 5 = 0 (1) Biệt thức của phương trình (1) là A = mo + 20 > 0, Vm. Các nghiệm

m + m2 – 20 của (1) lần lượt là v, – m – Vmo + 20

2 |x,/>{x,

1 m -val>m + va

8 m + 1 – 2m VA > m + 1 + 2m VA

e -m > m (vì VA > 0) + m < 0 Vậy mọi giá trị của m < 0 thỏa mãn yêu cầu.

D Câu 4.

2

, X2 = –

> im

+

1. Ta có: INR – 3 sdAM = saBM = ICK

2

> CNKI nội tiếp. 2. ANKB CS ANBM | Vgốc N chung

NKB = 1 (sđBN + sđCAM + ACI)

BK KH

N + sd(AM + AC) – NBM

22

NK NB

NB – NM > NBP = NKNM

3. Kẻ đường thẳng BI cắt đường tròn (O) tại F.

ABMN = AIMN vì cạnh MN chung

BMN = dBN = 1 sdCN = IMN, BNM = sdBM = – sd ÁM = INM

> BM = IM, BN = IN = MN là đường trung trực của BI, do đó

MN IBI và HB = HI, KB = KI. Xét ABHK là tam giác cân vì

BHK = 1 [sdAM + sdBN) = (sđBM + sdCN] = BKH → HB = KB = KI = HI – BHIK là hình thoi. 4. + Theo câu 2) NBP = NK.NM

suy ra NB là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp AMBK, do đó: NB 1 PB Lại có DBN = 90′ nên DB INB suy ra B, P, D thẳng hàng. + Tương tự như trên, ta chứng minh BT được C, Q, K thẳng hàng. Tam giác BPK cân tại P, ADBC cân tại D, do đó PK // DQ.

N Chứng minh tương tự, ta có QK || DB nên DPKQ là hình bình hành, do đó trung điểm E của đường chéo PQ nằm trên đường chéo DK,

tức D, E, K thẳng hàng. Câu 5. Từ a > 1, b > 1, c > 1 suy ra a – 1 > 0, b – 2 > 0, c − 1 > 0

(a – b)(b − 1) = ab – a – b + 1 0 = ab + 1 + a + b Tương tự ta có: bc + 1 > b + c, ca + 1 > a + c ab + bc + ca + 3

> a + b + c 2 Thay ab + bc + ca = 9 ta có:

62 = ab + bc + ca + 3)2

I

a? + b2 + c? + 2(ab + bc + ca)

1

2

SP = a2 + b2 + c < 36 – 18 = 18 = Giá trị lớn nhất của P là Pmax = 18 chẳng hạn khi a = 3, b = 2 /2, c = 2.

+ Ta có: a” + b^ > 2ab dấu “=” xảy ra khi a = b. | Tương tự: bỏ + c = 2bc = b = c, c + a = 2ac a c = a

2P = a + b2 + c đạt giá trị nhỏ nhất bằng 9 khi a = b = c =

–

a

3.