Câu 1.

Cho hai biểu thức:

| 15 – vx

41 VX + 1)

25- X

và B =

x + 1

– VX-5

với x > 0, x + 25.

| X – 25

VX + 5

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9. 2) Rut gọn biểu thức B.

3) Tìm tất cả giá trị nguyên của x để biểu thức P = AB đạt giá trị nguyên lớn nhất. Câu 2.

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: | Hai đội công nhận cùng làm chung một việc thì sau 15 ngày làm xong. Nếu đội thứ nhất làm riêng trong 3 ngày rồi dừng lại và đội thứ hai làm tiếp công việc đó trong 5 ngày thì cả hai đội hoàn thành được 25% công việc. Hội nếu mỗi đội làm riêng thì trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên? | 2) Một bồn nước inox có dạng hình trụ với chiều cao 1,75 m và diện tích đáy là 0,32 m Hoi bồn nước này đựng được bao nhiêu mét khối nước? (B) qua bề dày của bồn nước). Câu 3.

1) Giải phương trình: x – 7x – 18 = 0

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2mx – m + 1 và parabol (P): y = x

1. a) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. b) Tìm tất cả các giá trị của số thực m để (d) cắt (P) tại hai điểm phan

biệt có hoành độ X, X, thỏa mãn 4- + – = — + 1

X X X X Câu 4.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp thường tròn (()). Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểni H.

1) Chứng minh bộn tiêm B, C, E, F cùng thuộc một đường tron. 2) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF.

3) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng AD cắt đường thẳng BC tại điểm I, đường thẳng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P. Chứng minh tam giác APE đồng dạng với tam giác AIB và đường thẳng KH song song với đường thẳng IP. Câu 5. | Cho biểu thức: P = a + b^ – ab với a, b là các số thực thỏa mãn a + b + ab = 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

Chỉ dẫn Câu 1.

1) A = 4(V x + 1)

? (x20, X 25)

25 – X

4(3+1)

16

= 1

Thay x = 9 vào biểu thức A ta có: A = .

4019 +1)

25 – 9 Vậy khi x = 9 thì A = 1. 2) B- 15 – VX 2 ) Vx+1

(x > 0, x 7 25) 1 x – 25 Vx+5) VX-5

15 – Vx

2

VX + 1

BB=

– B = a 2 57 5, Mats

(V x – 5)(V x + 5)

VX

+5

V x – 5

OB =

+

OB =

11

15 – Vx + 2(V x – 5) Vx – 5 (Vx – 5)(4x + 5). Vx + 1 (x + 5) VX-5

OB = – (Vx – 5)(Vx + 5) VX + 1 VX + 1

4(V x + 1) 1 3) P = A.B =

25 –

X Vx+1 25 – P nhận giá trị nguyên khi x + Z và 25 – x là ước nguyện của 4 (hay 4 chia hết cho 25 – x, với x + Z)

=> (25 – X) e U(4) = -4; –2; -1; 1; 2; 4; Ta có kết quả như sau:

25 – x -4 -2 -1 1 2 4

X | 29 | 27 | 26 | 24 | 23 | 21 р | -1 -2 -4 | 4 | 2 | 1

–

Giá trị lớn nhất của P bằng 4 khi x = 24.

Câu 2.

1) Gọi x là thời gian để đội thứ nhất làm riêng xong công việc (x > 15; ngày)

y là thời gian để đội thứ hai làm riêng xong công việc (y > 15; ngày)

Vậy 1 ngày đội thứ nhất và đội thứ hai sẽ làm được lần lượt là A và 2

công việc.

1 1 Hai đội làm chung trong 1 giờ được = + = (công việc)

–

+

–

=

Theo đề bài ra ta có phương trình:

1.1.1

x y 15 Đội thứ nhất chỉ làm 3 ngày và đội thứ hai làm trong 5 ngày thì chỉ được 25% công việc, nên ta có phương trình: 7 + 8 = 25%

3 5

–

1 +

+

=

—-

I cox 1or +

1

1

1

I co 107 +

?+ = 2501

Vậy ta có hệ phương trình:

1 1 1 5 5 1 2 1 x y 15 x y 3 x 12 x = 24 13 5

1 1 ly = 40 (nhận) | x y

Ą y 40 Vậy đội thứ nhất làm riêng trong 24 ngày; đội thứ hai làm riêng trong 40 ngày thì xong công việc. | 2) Ta có: V = Sh = 0,32 . 1,75 = 0,56 (m). Câu 3. 1) x4 -7×2 – 18 = 0 (*)

Đặt t = x^ (t > 0), ta có phương trình:

t? – 7t – 18 = 0 (**) a = 1; b = -7; C = -18 = A = (-7,2 – 4.1.(-18) = 121 > 0 = Vi = 11

7 +11 t=a I 2

It = 9 (nhận) | 7 – 11 t = -2 (loại)

[ 2 Vậy: x^ = 9 + x = 3 Tập hợp nghiệm: S = {–3; 3;

(**)

2) a) Phương trình hoành độ giao điểm cua (P) và (-1):

x = 2mx – m”+1 x – 2mx + m’ – 1 = 0 (*) a = 1; b = -2m; c = m2 – 1

1 = b? – 4ac = (-2m)2 – 4.1.(m2 – 1) = 4mo – 4m2 + 1 = 1 0 m Vậy phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt, m = (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

1. b) Theo câu a), phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2; 8m.

Theo hệ thức Vi-et, ta có. X + x = 2m

*xx, = m* — 1

–2

Xét 1. 1

— + – = – + 1 (X1, Xy 0 m- 10m +1) x x. xx* *, + X, – -2

2m

–2 X,X, , XN m – 1 m – 1

| m = 3 (nhận) 2m = -2 + m – 1 In” — 2m – 3 = 0)

m = -1 (loại) ( các hệ số a, b, c của phương trình trên thoa a – b + c = 1 – (-2}} – 3 = ( )

Vậy m = 3. Câu 4. 1) Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn

Ta có BEC = BF = 90° (BE và CF là hai đường cao

cua \ABC) – tứ giác BCEF nội tiếp hay

bốn điểm B, C, E, F cùng

thuộc nột đường tròn. 2) Chứng minh đường thẳng 02

k vuông góc với đường thẳng EF Kể tiếp tuyến Ax với đường tròn (O) tại A Ta có xAB = ACB (góc giữa tiếp tuyển một dây và góc nội tiếp cùng chắn cung AB) (1)

Lại có tứ giác BCEF nội tiếp (cmt) ACB = AFE (2) Từ (1) và (2) => xAB = AFE – Ax || FE (cặp góc so le trong bằng nhau) Mà Ax ! OA (tính chất tiếp tuyến)

= EF 10A 3) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng AC cắt đường

thẳng BC tại điểm a, đường thẳng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P. Chứng minh tam giác APE đồng dạng với tam giác AIB và đường thẳng KH song song với đường thẳng IP. Ta có tứ giác BCEF nội tiếp (cm) => AEF = ABC (3) Gọi M là giao điểm của AO và EF Ta có: AOI EF (cmt) hay \AME vuông tại M

– ÉAD + ÁEF = 90° Gọi D là giao điểm của AH và BC Ta có: AH 1 BC (vì H là trực tâm của AABC) hay \ADB vuông tại 1) => BAD + ABC = 90°

(5) Từ (3), (4) và (5) = EAỒ = BAH (cùng phụ với AB = AFF

– EAD + SAH = BAH + JAH hay EAH – BAI Lại có: AEF = ABC => NAPE <> \AIB (g-g) => AR AP

(6! Gọi Q là giao điểm của đường thẳng AC và đường tròn (O) Ta có: AB = 90° Xét SAEH và 1ABQ có: AEH = AB = 90° và AEM = BAQ => AAEH «AABQ (g-g) :WOLAE AH

(7) ABAQ AP AH APAI Tư (6) và (7) – .

14 – PI!/ HQ ALAQ AH AQ Ta có: BE : AC (giả thiết )

QC : AC (AQ là đường kính của (0) -> BE // QC) Chứng minh tương tự có (H / QB Do đó tứ giác BHCQ là huìh bình hành Mà K là trung điểm của BC (giá thiết ) -{Q phải qua K hay ba điểm H, K, Q thẳng hàng “Từ (*) và (*) % KH / IP.

Câu 5.

Ta có: Mà

P = a + b4 – ab P = (a + b2)2 – 2ab- ab a + b^ – ab = 3 nên P = (3 – ablo – 2ab – ab

o

P = -a’b? – 7ab +9

P=- ab +

Theo trên: a + b + ab = 32 a? + b + 2ab = 3 + ab

= (a + b)2 = 3 + ab Mà (a + b) > 0 nên 3 + ab > 0 = ab 2-3 Lại có: a2 + b^ > 2ab + 3 = a2 + b^ + ab > 3ab + ab < 1 Vậy <3 < ab < 1

A

-3

+

ab +

Nov

in

–

<lab + —

–

>-

ab + —

>

–

1 —

85 =

85

o

+

+

ab7)?

> -1 ab + –

2)

4

81 4

85 + – hay 21 > P > 1 . 4

– .

4

4

Giá trị lớn nhất của P bằng 21 Dấu “=” xảy ra a ab = -3 . a = 3 và b = -3

a + b = 0 a = -3 và b = 3 Giá trị nhỏ nhất của P bằng 1. Dấu “=” xảy ra – a = b = 1.