3x + 5

(V x + 1)

Câu 1. Cho A =

– -1

với (x > 0, x = 1

X-1

XV X – X-VX + 1

tvx

1. a) Rút gọn A.
2. b) Đặt B = (x – 4x + 1 A. Chứng minh B > 1 với x > 0, x = 1. Câu 2. Trong nhặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P): y = x^ và đường

thẳng (d): y = 2mx + 2m + 8 (với m là tham số). a) Khi m = -1, tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P). b) Chứng minh rằng đường thẳng (d) và Parabol (P) luô11 cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ XL, X. Tìm m để x1 + 2x) = 2.

xy + y’ – 2 = x + 3x Câu 3. Giải hệ phương trình :

x + y – 4V’y-1-0) Câu 4. Cho quảng đường AB dài 300km Cùng một lúc xe ôtô thứ nhất xuất

phát từ A đến B, xe oto thứ hai từ B về A. Sau khi xuất phát được 3 giờ thì hai xe gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe, biết thời gian di cà quàng đường

AB cua xe thứ nhất nhiều hơn xe thứ hai là 2 giờ 30 phút. Câu 5. Cho đường tròn (O. R) có đường kính AB. Điểm C là điểm bất kì trên (O), C không trùng với A, B. Tiếp tuyến tại C của ((). R) cắ: tiep tuyen tạ! A, B cua ((), R) cắt tiếp tuyến tại A, B cua {0, R) lần lượt tại P, Q. Gọi I li giao điểm của OP và AC, N là giao điềm của (O) với BC. a) Chứng minh: Tứ giác CMON là hình chữ nhật và AP.BC) = VIN. b) Chứng minh: AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính 2. c; (Chứng minh: PVINQ là tứ giác nội tiếp. Xác định vị ví điểm ( (i

lường tròn ngoại tiếp tứ giác PVN có bán kính nhỏ nhất.

Câu 6. Cho 3 số thực (lương , y, z thoa màn: + + — ::

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

– y z zx

x(y2 + z ́) (z” + x)

x?v=

P=

21x” + y)

43

Chỉ dẫn

Câu 1.

li

3Vx+ 5

(Vx + 1)2

]

–11 với x > 0, x + 1.

X-1

XV X – X – VX + 1/

4vx

X

__417x + 1)_(Vx – 1)” 1

(Vx – 1)(Vx + 1)’ 4V To b) B = (x – VX + 1 JA = (x – Vx + 1) == V8 + = = -1

X

= VX

Bởi vì x > 0, x + 1 nên vx +

VX

x2, x 1 = 2 = B > 1

Câu 2. a) Với m = -4 thì (d) có phương trình y = −8x.

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) khi đó là x = −8x – x = 0, x = -8

Các giao điểm là A(0; 0), B(-8; 64) b) Trường hợp tổng quát, giao điểm của (d) và (P) có hoành độ là các

nghiệm của x” – 2mx – 2m – 8 = 0 (1) Phương trình (1) có biệt thức y = m + 2m + 8 = (m + 1) + 7 > 0. vm nên luôn có hai nghiệm phân biệt

X1 = m + VA’, X2 — m – Hệ thức: x + 2x) = 2a 2m + m – 1 = 2

om? – 7m – 2 = 0)

m = 2 hay m =

X

. xy+ y – 2 = xo + 3x ((x + 1)y = (x + 1)(x + 2) Câu 3. .

* (x + y – 4 Vy – 1 = 0 x + y – 4Vy – 1 = 0 + Điều kiện y >1. Với y = 1, x = -1 là 1 nghiệm cua hệ. + Với x = -1, y > 1 ta có: y? = x + 2

x = y’ – 2 ly? – 1 + y -1-4Vy – 1 = 0 Vy-1[Vy – 1(y + 2) – 4) = 0

Sx = y2 – 2 y + 3y – 20 = 0) y

Tóm lại hệ có hai nghiệm x = -1, y = 1 và x = 2, y = 2.

44

Câu 4. Gọi vận tốc của xe đi từ A đến B là x km/h, của xe đi từ B về A là y

km/h (x > 0, y > 0) ta có:

x + y = 100 300 300 50 | X y 2

x – 40 y = 60

Vận tốc của các xe theo thứ tự là 40km/h và 60km/h. Câu 5. a) Ta có AC 1. BC, AC I OP = OM // CN

Tương tự (ON || CM, lại có MCN = 90 CMON là hình chữ nhật. Ta có MN là đường trung bình của SCAB, do đó MN = 9c2. Do OC và PQ, OC là đường cao của tam giác vuông OPQ nên

AP.BQ = CP.CQ = 0C2 = MN? b) Gọi I là trung điểm của PQ.

Tam giác (PQ nội tiếp đường tròn đường kính PQ (vì PO) = 90°)

OI là đường trung bình của hình | thang APQB nên OI !! AP

– IO AB = AB là tiếp tuyến tại 0 của đường tròn đường kính P. c) Ta có CMN = MNC = ABN = 0QB = ORP

– PMNQ là tứ giác nội tiếp. Gọi S là trung điểm của PM, T là trung điểm của QN. Giao điểm của đường vuông góc với QN tại T và đường thẳng vuông góc với PM tại S là J là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác PMNQ. Bán kính đường tròn ngoại tiếp PMNQ là r = JM = TN? +TJ”.

r = JM nhỏ nhất khi TJ = TN. Ta chứng minh điều này xảy ra khi C là điểm chính giữa cua nữa đường tròn đường kính AB và r = f , với AB = 2R.

Đặt ABC = 2 thì BC = 2Rcos, AC = 2Rsing.

45

TJ = (BC + PM), QN = Rosa, PM = Rsinac

sin a

COS a

Sau khi biến đổi ta có:

R?!

+ TJ-1=

-14 + —-

cosa sina) sin a cota

t

đạt giá trị nhỏ nhất khi sinx = cosa, tức 0 = 45° khi đó C là điểm

– Rv5

chính giữa nửa đường tròn đường kính AB và C = .

Câu 6.

1

1

z

yo

x

2

T +

z

Đặt a =

, b =

x

y

, c = – bài toán có dang sau:

z

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

=

–

a(3 – a)

b(3 – b^) c(3-c”)

Ta có: a/3 – *

Ta có:

1 2a” + 3-a+ 3-iza [a(3 – a)] => 2a (3 – a^3 – a^) < –

2 3 – 4 N3 –

24 33 3

4

— 1

2

Tương tự ta có M

,

,

2

3

P>

a? + b2 + ca

2

= P có giá trị nhỏ nhất minP =

NIC

khi x = y = z = 1.

46