1. Cho hàm số f(x) = ax^– 2(a +1)x+a+2(a + 0). | a) Chứng tỏ rằng phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó.
2. b) Tính tổng S và tích P của các nghiệm của phương trình f(x) = 0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của S và P theo a.

Giải . a) Với mọi a + 0 phương trình f(x) = 0 là phương trình bậc hai có biệt thức A =(a + 1)^-a(a +2)=1>0 nên phương trình luôn có hai

a+2 nghiệm x1 =1 và x = -.

1. b) Tổng và tích các nghiệm của phương trình f(x) = 0 lần lượt là: .. S = x,+x, =1+ a +2 _ 2(a+:)

а а ?

a+2 P = x,.X2=

* Khảo sát hàm số S(a), ta có: Tập xác định D = – limS(a)=00

+Tiệm cận đứng là a = 0 – lim S(a)=2

* Tiệm cận ngang là S = .. S'(a) = –

<0 Va 0

X+

.

1

2

.

.

a

Bảng biến thiên:

too

SL

SI

+

.-00

Đồ thị (hình trang trên). * Khảo sát hàm số P(a) = 4*, ta có:

a

Tập xác định D = R \ {0}

limP== a = 0 là tiệm cận đứng lim P =1= P = là tiệm cận ngang

X

>0

-2 Vo

2

. rs

P'(a) = -5<0 varo

а Bảng biến thiên:

-o

Pl.

P

1

Đồ thị (hình trên).

2. Cho hàm số y = -x+(a -1)x +(a +3)x-4 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a = 0 b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường thẳng: y = 0, x = -1; x = 1.

Giải

d)

1. a) Với a = 0 ta có: y = -2x -x^+3x – 4

X

+

.

Tập xác định D = R

lim y = tos, lim y=-00

y’= -x?-2x+3 = 0 x=-3 vx=1 Bảng biến thiên: x -00

– 0 + 0 y too .13

-3

too

Đồ thị (hình bên). b) Diện tích hình phẳng:

X

$= (x+x2–3x +4 ]dx

U

1

1

– (12+*+2+4)-612 2-4)

1 +-

3

3 +-

2

) +4.

–

–

–

–

4

12

12

3

2

26 (dvdt)

3. Cho hàm số y = x + ax + bx +1
4. a) Tìm a và b để đồ thị của hàm số đi qua hai điểm:

A(1; 2) và B(2; -1). b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với các giá trị tìm được của a và b.

| c) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0, x = 1 và đồ thị (C) xung quanh trục hoành.

Giải a) Đồ thị đi qua A(1; 2) và B(2; -1) khi và chỉ khi: 12 = 2+a+b

1-1=-8+4a – 2b+1 $a = 1, b=-1

1. b) Khảo sát hàm số: y = x +x2–x+1, ta có: Tập xác định D = R

| lim y =-go, lim y =+

X-→

y’ = 3×2 + 2x – 1=0

x=-1 Vx==

.

3

Bảng biến thiên:

..

.

..

to

-00 .

– 0

y|

+

+

2

too

–

–

Đồ thị (hình bên). c) Thể tích của vật thể là:

V = [[x’+x°-x+1]

= 1347 (dvtt)

105

4. Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình:

s(t) = -=-34

2

Trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét.

1. a) Tính v(2), a(2), biết vít), a(t) lần lượt là vận tốc, gia tốc của chuyển động đã cho.
2. b) Tìm thời điểm t mà tại đó vận tốc bằng 0.

Giải

1. a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm ta có:

v(t) = s'(t)= t – 3t+t-3

= v(2) = 2? – 3.22 +2-3=-5 (m/s) a(t) = v'(t)=s”(t)= 3to -60 +1.

a(2) = 3.22 – 6.2 +1 =1 (m/s). b) v(t) = t’ – 3t’ +t-3=0)

=(1-3)(t? +.1)=0 t=3 Vậy tại thời điểm to = 3s thì vận tốc bằng 0. 5. Cho hàm số y = x + ax^ + b a) Tính a, b để hàm số có cực trị bằng khi x = 1. b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi:

á = -1, 6=1

… c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có tung độ bằng

..

Giải

1. a) Ta có: y = 4x + 2ax = 2x(2x+a)=0

..x=0.x == céu a < 0)

Hàm số đạt cực trị tại x =

11

(với a < 0).

Hàm số có cực trị hàng

khi x = 1, khi đó ta có:

1. b) Với – ,=1. Ta có: y x +1

Khi đó y = 4x – 1 = 0 = X = 0 v2 =>

Bảng biến thiên:

too

+

0

–

0

+

yl – y|-0-

too

415-

15

.

16

Đồ thị (hình dưới). c) Ta có:

yo =f(xo)=1<x-}x+1=1

**-}x=0

0

03151

****(*: -5)=0-x

Do đó, ba tiếp điểm là 0, 1, 5 ( 5 )

Ta có các phương trình tiếp tuyến sau:

* y = 1

*y-tal* tatt hay sa mga ose to ( * * a )+t hay y = –

X

6. Cho hàm số y = x^

x+m-1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2.

1. b) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ a = -1.

Giải

1. a) Với m = 2 ta có y = X^4

X+1 D = R \ {-1} lim y = +o, lim y=–00

3x = -1 là tiệm cận đứng

lim y = = y = 1 là tiệm cận

Xto

| ngang

y’ = (x + 1)”

=> 0 VX +-1

Bảng biến thiên:

-00

–

-1

–

too

too

Đồ thị (hình trên).

1. b) Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm x = a + -1 là: y= 3[x-a]+a-?

(a +1) 21* *45*a+I

7. Cho hàm số y = 2x
8. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
9. b) Tìm các giao điểm của (C) và đồ thị của hàm số y = x^ + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại mỗi giao điểm.
10. c) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng y = 0, x = 1 xung quanh trục

—-

Ox.

Giải ..

2

1. a) Xét hàm số y =

-, ta có: 2-X

D = R \ {2},

lim y = +ô, lim y ==O3 tiệm cận đứng là x = 2

.

.

+2

lim y = 08 tiệm cận ngang là y = 0

,

X

ton

7>VE2

(2-x)? Bảng biến thiên:

to

y |

+

.

too

00

0

1

-17

–

–

Đồ thị (hình bên).

1. b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong:

2

-=x? +1 .. . 2- x

2 3 4 x’ – 2×2 + x = 0 – X#2

x=0 vx=1 Tọa độ các giao điểm A(0, 1), B(1, 2) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A và B lần lượt là:

y = -x+1; y = 2x c) Thể tích khối tròn xoay là:

ZN

2

– dx = 0 – — || = 21 (dvtt) 02-X

(2-x) lo 8. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) f(x) = 2x^ – 3x12x +1 trên đoạn

1. b) f(x) = x Inx trên đoạn [1; els c) f(x) = xe” trên nửa khoảng [0; +) d) fx) = 2sinx + sin2x trên đoạn 0, “

nx +

Giải

1. a) Tập xác định D = R

Ta có: f(x) = 6×2 – 6x -12=0e x = -1vx = 2

R1-2) = -3; f( )= 3; 4(+1)=8; f(2)=-19

pay f(x)=max(4-3-8-19}=8 b) Tập xác định D = (0, +7) f(x)= x(21nx+1)= 0 x=e=te f(x)>0 với x > Vậy f(x) > 0 với xe[]; e] Hàm số f(x) đồng biến trên [1; e]nên ta có:

min f(x) = f(1) = 0, max f(x)=f(e) = e’ c) Tập xác định: D = R

f(x)=e**(1-x)=0 x=1 B . f(x)>0 với x 6(-o;1) và f(x) <0 với x 6(1; +)

lim f(x)=0 Suy ra mụn r(x)=(() = 0.max f(x)=f()==d) Tập xác định D = R, 0: cp f(x) = 2cosx + 2cos2x = 0 <>cos2x =-cos x = cos(x+ )

X-

+

=

COS X

Trên đoạn . . r(x) bằng 0 tại x = 0, x 7 và x x

 

Ta có to) = (x)=0. (5) x (3) – Suy ra min f(x) = -2; max f(x) = 343

(103

)=

–

U

:

9. Giải các phương trình sau: a) 132x+’ – 134 – 12 = 0 b) (3* + 2)(3+ 3.2) = 8.6* c) log5 (x – 2). log; x = 2.log: (x-2) d) logź x – 5log, x+6=0

Giải a) 132x+1 – 134 – 12 = 0 Đặt 13* => 0 ta được:

:

.

(13t’ – 1-12=0

TElox=0

{t>o .. b) (3* + 2*)(3* +3.2%) = 8.6*

32x +3.22 +4.24.3* = 8.6%

32x +3.22* – 4.6* = 0 Chia hai vế cho 6* > 0, ta được:

() +-3) —02

X

7-1′>0

>x=0 vx=1-log, 2

2. c) log 5 (x-2).log, x = 2.log; (x-2)

2log: (x – 2).log; x = 2 log; (x-2) log: (x-2)[log, x – 1] = 0

log: (x-2)=0 [x = 3 *Llog; x – 1 = 0 [x=5

1. d) Đặt log x =t ta được:

t-5t+6=0 =t=3 v t = 2 [log,x = 3 [x = 2 = 8 log, x’=

2 x = 2 = 4. 10. Giải các bất phương trình sau:

2x

log2 (x2-1)

3. a) 3.2252

( **”>1

1.

VE

4

1- logx

X c) logo x + 3 log x 24

1. d) –

1+ log, x

Giải a) Ta có: 3* – 2* = 0 => x = 0

3* – 2* <0 với x < 0 . và 3* -2* >0 với x > 0 Do đó bất phương trình đã cho tương đương với:

3t-2

3.2

– 2.3x

| 1-1

322-250637″-2.9″500″

3

-24

3* – 2*

1-(+)’>0

3t-2

Lập bảng xét dấu của phân thức

x le.

3t-2

1-t

+

.

3t-2

1-t Từ bảng xét dấu suy ra các nghiệm của (1) là:

0<{}<hope (1) >={}}* *x21 hoße < < o

ac

>|

x21 hoặc x < 0

Tập nghiệm của bất phương trình là:

(-00;0)4[1 ; too)

{x?-120 Slx>1

» (*)**; 0()* – [* :(=)<0

x-1<1 *{12<x<i2 exe(-12;-1)(1:12) c) log2x +3 log x 24 = x +3t-420

logx 5-4v logx21 e xe(-9;10″] [10; +)

t = log x

.

.

.

.

(31-t

1

-30

–

V

V

–

1-log,

X 1+ log, x

4

1+ log, x

4

{1+t It = log2 X

= logy x < -1 hoặc logy x >1.

oxe (0:4)+(2:40)

11. Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần:
12. a) ŚVäinxdx
13. c) }(x-x)sin xdx a) (2x+3)e*dx

Giải a) Đặt u = nữ, dv = (xdx = du = do, váy Elna: – ? xnxt la

3 (-21-20

120

1. b) Đặt u = x, dv = – *9

dx sin’x

du = dx, v=-cotx

x

..

1

COS X

TC

=[-ncet x = lokin 1 – 2 45,4 m 2 o fix-x)sin xax = f(x ==)+(cosx)

=(x-)cosa[ – ]cos xax == -sinx/ – * 2) }(2x + 1)e “dx = = {2x+ 3)dle”)

==(2x + 3)e=x[, +2je dk =e-3-[22*1 = 3e-5

1

12. Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:

=

Jam (3-os Jaw (as cu-com (3-ox)) Đ 9. (đạt tan)

!

wie

=

(

1. e) sin’xcos xdx (đặt u = cosx) dj+ạn xex (đặt u = 41 Hanx)

| Giải

1. a) Dęt u = cos( * – * )= du = sin(-as Jack

dx

LIMIN

1. fi) Đạt x-game đa sát,
2. c) Ta có: cos^xsinox = sinx(1 – cos^x}cos^x

Đặt u = cosx = du = -sinxdx; x = 0 = u = 1; x=

U

=

0

1. d) Đặt u =

. . dx 1 + tan x = du = >

2 cos? x V1 + tan x

1. a) Đặt t= 1 + tanx = du =

– coe n = 2udu

0 ans

dx .

= 2udu; cos’ x

u

13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) y = x + 1, x = -1, x = 2 và trục hoành.
14. b) y = lnx, x = -, x = e và trục hoành.

Giải

5) s= }(x+1)x={* ** b) sa jumalaw — Fim sex a finals

= X(1 – In x)+ x(inx=1/2–

X

| 14. Tìm thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x^ và y = xo xung quanh trục Ox.

Giải

Ta có: 2x^ = x^ = x^(2 – x)= 08 x = 0 v x = 2 Hoành độ giao điểm của hai đường cong là: x = 0 và x = 2

Bởi vì 2×2 – x = x^ (2 – x) > 0 với x < 2 nên đường cong y = 2x nằm trên đường cong y = xo trong khoảng (0; 2). Do đó thể tích cần tính là:

v == }(2x*y*dx ==}(*%*dx==( 90 235

.

15. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) (3 + 2i)2 – (4 + 7i) = 2 – 5i b) (7 – 3i)2 + (2 + 3i) = (5 – 41)z c) z’ – 22 + 13 = 0 d) z* – z2 – 6 = 0

Giải à) (3+2i)2-(4 + 7i) = 2 –5i

(3+2i)2 = (4+7i)+(2-5i)=6+2i

..

>2=6+21 _ (6+2:)(3–2i) 226

3+27 ~ 32 +22 =13 1zí

7

7

4

4

5

1. b) (7 – 3i)2+(2+3i) = (5-4i)z.

(7-3i)2-(5-4i)2 = -2 – 3i 2=-2-3i_ _(2+ 3i)(2-1) 7

2+i 2? + 1 C) 2, = 1+273i, 22 = 1 +273i d) z = -2 hoặc z=3

=>2,2=313, 234 = 1/2

16. Trên mặt phẳng tọa độ, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn từng bất đẳng thức: a) (2/<2
17. b) z-i151 c) 12-1-i[<1

Giải a) Tập hợp các điểm M(x; y) của mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện:

12/<2 vx+y? <2>x?+y<4 Các điểm M(x; y) như vậy nằm trong đường tròn tâm O bán kính bằng 2 không kể các điểm trên đường tròn. b) Giả sử z = x + y) = z – i = z + (y – 1)

12-1151Vx?(y-1) si ox’ +(y-1) si Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn z-1<1 là các điểm của hình tròn tâm (0; 1) bán kính bằng 1 kể cả biên.

1. c) z = x + yi → 2-1-i = (x – 1) + (y – 1)i 12-1-il<1 (x-1){ +(y-1)” <1

Tập hợp các điểm đang xét là các điểm của hình tròn (không kể biên) tâm (1; 1), bán kính bằng 1.