A. KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG
1. Căn bậc hai của một số thực âm Căn bậc hai của số thực a < 0 là 2. Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình ax² + bx + c = 0 với a, b, c ∈ R, a ≠ 0. Biệt thức Δ = b² – 4ac, nếu: – Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm được xác định bởi công thức:
– Δ < 0 thì phương trình có hai nghiệm là hai số thực (liên hợp với nhau) được xác định bởi công thức: |
B. Giải bài tập
Nguồn website giaibai5s.com
- Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: –7; -8; -12; -20; -121
– Ao thi,
2a
X,=-2a
La
| Giải
Các căn bậc hai của -7 là fi/7
-8 là ti2/2 -12 là fi2/3 –20 là ti2/5
-121 là +1 li 2. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức: a) -32? + 22 – 1 = 0
- b) 7z? + 32 + 2 = 0 c) 5z2 – 72 + 11 = 0
Giải a) Ta có: 2, -1+2 1+i12 a) Ta có: Z2 =
_-311 47 b) Ta có: 2 y ==
;
-1+i
-3
14
- c) Ta có: 2, 7+i171
10
- Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức: a) z* + 2? – 6 = 0 . :. b) z* + 7z? + 10 = 0
Giải a) Đặt t = do ta được:
to t – 6 = 0 t = -3, t2 = 2 . . • Với t = -3 ta được do = -3 42 , fi/3 • Với t = 2 ta được z^ = 2 +2,4 =+2 Phương trình đã cho có các nghiệm là fi/3, 12 b) Đặt t = do ta được:
t? + 7t + 10 = 1 t=-5 v t=-2 . Phương trình đã cho có các nghiệm là fi/5 và ti/2
- Cho a, b, c + R, a + 0, Z1, Z2 là hai nghiệm phân biệt (thực hoặc phức) của phương trình ax^ + bx + c = 0. Hãy tính z1 + Z2 và Z1Zg theo các | hệ số a, b, c.
Giải
Ta có: A = b^ – 4ac
.
.
- Nếu A = 0 phương trình có nghiệm thực z=
2a • Nếu A > 0 phương trình có hai nghiệm thực: 7.–b-vos ,–b+vo
. 2a Khi đó:
, Z,
2a.
.
2, +2 = -b-17—V2__b
21.22 =?
2,29 = (0)2 = a_ b?=16* = 4ac) _ • Nếu A < 0 phương trình có hai nghiệm phức
2, 2-b-iva, z = -b+iva
-b
h
.
.
2
=
2a
2a
.
Khi đó: 2, +2, —b-i/A, -b+i/A__b
2a2aa 22. b* +41_b’+ 4ac – b? c
4.42-4a 4 a Như vậy, nếu Z1, Z2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình ax2 + bx + c = 0 với a, b, c = R, a + 0.
7
.
N
Khi đó 2, +2, = — ; z-Z,
a
- Cho z = a + bị là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z và z làm nghiệm.
Giải Cho z = a + bị thì x= a – bi, khi đó: : .
z + z = 2a, z. z = a + b2 và z và z là hai nghiệm của phương trình: (x – 2) (x – 2) = 0
x- (2 + Z)x + z2 = 0 ox- 2ax + a2 + b2 = 0
27