1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian | Góc giữa hai vectơ trong không gian

Trong không gian, cho hai vectơ khác vectơ – không ữ và . Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho AB = , AC = v. .

Khi đó ta gọi góc BAC (0° < BAC = 180°) là góc giữa hai vectơ tử và ý trong không gian, kí hiệu là (ũ, v). | Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Trong không gian, cho | hai vectơ ủ và ý đều khác vectơ – không. .

Biểu thức: ..ū. v = lūl. lūl.cos(ů, v) được gọi là tích vô hướng của hai vectơ ủ và ở. – Tích vô hướng là một số.

Nếu u = 0 hoặc $ = 0 thì ta quy ước u. v = 0. 2. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

| Vectơ 4 khác vectơ – không được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ 4 song song hoặc trùng với đường thẳng d.

– Nếu ý là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì mọi vectơ kể với k + 0 cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

– Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn được xác định nếu | biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phươngã của nó.

– Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng phương. 3. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.

Chú ý:

– Điểm O có thể lấy trên một trong hai đường thẳng a và b.

– Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 900.

– Nếu u, u, lần lượt là vectơ chỉ phương của a, b và (u, uy) = a thì góc (a; b):

(= a nếu 0° < a < 90° |= 180° – a nếu 90° < a <180°

– Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0°. 4. Hai đường thẳng vuông góc

Định nghĩa

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°.

Khi đó, ta kí hiệu alb hoặc bla. Nhận xét: – Nếu u, ở lần lượt là hai vectơ chỉ phương của a, b thì a l be ủ. v = 0.

– Nếu a song song với b và c vuông góc với một trong hai đường thẳng a, b thì c vuông góc với đường thẳng còn lại.

– Nếu a và b vuông góc với nhau thì a và b có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. .

Phương pháp tính

– Để chứng minh hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau, ta chỉ cần chứng minh: AB, CD = 0.

– Để tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a, b trong không gian, ta có thể áp dụng một trong hai cách sau đây: | + Tìm một góc giữa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng a, b, đưa vào một tam giác, sử dụng các hệ thức trong tam giác (hay sử dụng nhất là định lí Cô-sin).

+ Lấy các vectơ u, ở cùng phương với a, b, biểu diễn ủ, ỷ qua các vectơ đã biết độ dài và góc, tính cos(u,v) rồi suy ra góc (a; b) bằng công thức cos(a; b) = cos(u, v).

1. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK) Bài 1 (Trang 97, SGK)
2. a) Vi EG = AC nên ta có: (AB, EG) = (AB, AC) = 45°. b) Vì AACF đều nên ta có: (AF, EG) = (AF, AC) = 60°. c) Ta có:

(AB, DII) = (AB, AE) = 90°. Bài 2 (Trang 97, SGK)

1. a) Ta có: AB. CD = AB. (AD – AC) AC. DB = AC. (AB – AD) AD. BC = AD. (AC – AB). Suy ra AB, CD + AC, DB + AD, BC = AB. (AD – AC) + AC. (AB – AD) + AD. (AČ – AB) = AB. AD – AB. AČ + AC. AB – AC. AD + AD. AC – AD. AB = (AB. AD – AD. AB) + (AC. AB – AB.AC) + (AD. AC – AC. AD) = 0. b) Nếu AB 1CD và AC 1 BD thì AB, CD = AC. DB = 0. Theo a) ta có AB, CD + AC. DB + AD, BC = 0.

Suy ra khi đó AD, BC = 0. Vậy AD 1 BC. Bài 3 (Trang 97, SGK)

1. a) a và b nói chung không song song. . b) a và c nói chung không vuông góc. Bài 4 (Trang 98, SGK).
2. a) Ta có: CC”. AB = (AC – AC). AB = AC’. AB – AC. AB Đặt AB = x. Tam giác ABC và tam giác ABC là hai tam giác đều nên AC = AB AC = x. Do đó: AC, AB = x x cos60°; AC, AB = x.x. cos60°.

1

Suy ra: CC’. AB = (AC – AC). AB = AC’. AB – AC. AB

= x.x.cos60° — X.x.cos60o = 0). Vậy cái AB. | b) Bởi vì MN // AB và PQ | AB. nên MN // PQ.

Mà MQ | CC và PN || CC nên MQ // PN.

Suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành. | Mặt khác MN 1 PN

(vì AB I CC’).

Như vậy hình bình hành MNPQ là một hình chữ nhật. Bài 5 (Trang 98, SGK)

Theo giả thiết: SA = SB = SC; ASB = BSC = CSA nên COS ASB = cos BSC = cos CSA. Ta có: SẢ. BỎ = SA. (SC – SB) = SA, SC – SA SB

E SA. SC. COSASC – SA. SB.COSASB = 0. . Suy ra SA 1 BC

Hoàn toàn tương tự ta có SB 1 AC và SC 1 AB. Bài 6 (Trang 98, SGK)

Ta có: AB. 00′ = AB. (AO? – AO) = AB. AO – AB.AO = AB. AO’.cos45° — AB. A0.cos45°. It = 0.

– AK-tSuy ra AB 100′.

Lại có CD // C’D’ và CD = C’D’ nên tứ giác CDD’C’ là hình bình hành.

Mà CC || 00 nền CC 1 AB hay CC’ ICD.

A

АВ.АС Bởi vì cos A==

Bài 7 (Trang 98, SGK)

Ta có: SAB = AB. AC. sinA = AB. ACv1- cos2A. Bởi vì cos A = AB.AC nên v1-cos2A ABAC -(ABAC “” ^ AB.AC nên co

AB”.AC Do đó: SAB = AB. AC – (AB. AC). Bài 8 (Trang 98, SGK)

1. a) AB. CD = AB. (AD – AC) = AB. AD – AB.AC = AB. AD.Cos60° – AB. AC. cos60° · = 0. Suy ra AB 1 CD. b) Ta có: MN = (AD + BC) = 3 (AD + AC – AB) AB. MN = _ (AB. AD + AB. AC – AB) = {(AB?cos60° + ABạcos60° – AB2)

LLL

2

= 0. Suy ra MN 1 AB. Tương tự ta có: CD. MN = AD – AC). (AD + ĀČ – AB) = 0. Vậy MN1 CD.