1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa | Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

Kí hiệu AB chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B. Vectơ còn được kí | hiệu là a, b, x, y,… . 2. Các quy tắc về vectơ trong không gian

Phép cộng và phép trừ vectơ trong không gian

Phép cộng và phép trừ hai vectơ trong không gian được định nghĩa | tương tự như phép cộng và phép trừ hai vectơ trong mặt phẳng. Phép cộng

vectơ trong không gian cũng có các tính chất giống như phép cộng vectơ trong mặt phẳng. Khi thực hiện phép cộng vectơ trong không gian, ta vẫn có thể áp dụng các quy tắc về vectơ như trong hình học phẳng.

– Quy tắc ba điểm: AC = AB+ BC. Hoặc AC= BC – BA. – Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD: AC = AB+ AD. – Quy tắc trung tuyến: AM là đường trung tuyến của tam giác ABC thì:

AM = (AB+ AC). – Quy tắc trọng tâm: G là trọng tâm của tam giác ABC thì:

GA+GB+GC =Ö. – Quy tắc hình hộp:

Nếu hình hộp ABCD.A’B’C’D \ có ba cạnh xuất phát từ đỉnh A là

• A’

D’ . AB, AD, AA’ và có đường chéo là AC’ thì khi đó ta có quy tắc hình hộp như sau:

AB+AD + AA’ = AC’.

Sao

Phép nhân vectơ với một số

Trong không gian, tích của vectơ a với một số k+ 0 là vectơ ka được định nghĩa tương tự như trong hình học phẳng và có các tính chất giống như các tính chất đã được xét trong hình học phẳng. 3. Sự đồng phẳng của các vectơ, điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

Định nghĩa

Trong không gian, ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng – Định lí 1: Trong không gian, cho hai vectơ a, b không cùng phương và vectơ c.

Khi đó ba vectơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho c= a + nb. Ngoài ra cặp số m, n là duy nhất. | – Định lí 2: – Trong không gian, cho ba vectơ không đồng phẳng a, b, c. Khi đó với

mọi vectơ Ý ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho x = a + nh+pc. Ngoài ra bộ ba số m, n, p đó là duy nhất. B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK) Bài 1 (Trang 91, SGK)

1. a) Những vectơ cùng phương với IA là: TA’, KB, KB’, LC, LC’, MD và MD’. b) Những vectơ cùng hướng với IA là: KB, LC và MD. c) Những vectơ ngược hướng với IA là:

JA, KB, LC và MD. Bài 2 (Trang 91, SGK)

1. a) Theo quy tắc hình hộp, ta có: Cách 1: AB + B’C’ + DD’ = AB + AD + AA’ = AC’.

AL

Cách 2: AB + B’C’ + DD’ = AB + BC + CC’ = AC’. b) Ta có: BD-D’D – B’D’ = BD + DD’ + D’B’ = BB’. c) Ta có:

AČ + BA’ + DB + C’D = AČ + CD’ + D’B’ + B’A = AA = 7. Bài 3 (Trang 91, SGK)

Cách 1: Lấy I là tâm của hình bình hành ABCD. Khi đó: SA + SĆ = 251) aidiaco

S! SA + SC = SB + SD. SB + SD = 251) Cách 2:

SA + SC = (SB + BA) + (SD + DC)

= SB + SD + (BA + DC) = SB + SD. Bài 4 (Trang 92, SGK) | a) Ta có:

MN = MA + AD + DN MN = MB + BC + CN = 2MN = (MA + MB) + (AD + BC) + (DN + CN) = AD + BC. Suy ra MN = (AD + BC). b) Tương tự câu a) MN = MA + AĆ + CN MN = MB + BD + DN = 2MN = AC + BD

Suy ra MN = (AC + BD). Bài 5 (Trang 92, SGK)

1. a) Gọi G là định thứ tư của hình bình hành ABGC. Ta có: AE = AB + AC + AD.

MI

Mặt khác (AB + AC) = AC. . . = AE = AG + AD..

Vậy AE = AC + AD khi E là đỉnh thứ tư của hình bình hành ADEG.

1. b) Ta có: AF = (AB + AC)- AD. Mặt khác (AB + AC) = AC. = AF = AG – AD = DG.

Vậy AF = AC – AD = DG khi F là định thứ tư của hình bình hành ADGF. . D. Bài 6 (Trang 92, SGK)

Vì G là trọng tâm của AABC nên GẢ + GB + G = 0. Ta có: DA + DB + DC = (DG + GA) + (DG + GB) + (DG + GC)

= 3DG + (GA + GB + GC) = 3DG. Bài 7 (Trang 92, SGK)

7. a) Ta có: IA + IC = 2IM và IB + ID = 2IN. → (IA + IC) + (TB + ID) = 2(IM + IN). Mà IM + IN = 7. Suy ra īA + ĪB + C + ID = 7. b) Với điểm P bất kì trong không gian ta có: PÅ +ĀŤ = P1, PB + BỈ = PỈ, PC + CH = PỈ, PD+ DH = PỈ. Cộng các vế lại ta có: PA + PB+ PC + PD+ (A + BỈ + Cỉ + Di) = 4PỈ .

PA + PB + PC + PD – (TA + 1B + TČ + ID) = 4P| A PA + PB + PC + PD = 4PÍ (ViTA + IB + IC + ID = 7 theo câu a)) BPI = (PA + PB + PC + PD).

AG

Bài 8 (Trang 92, SGK)

Ta có: B’C = AČ – AB = AČ – (AA’ + AB).

B’C = č – à -. BC’ = AC – AB = (AA’ + AC) – AB.

+ BC = 4+. – 6 | Bài 9 (Trang 92, SGK)

Ta có: MS + SC + CN = MN (1) MA + AB + BN = MN

► 2MÄ + 2AB + 2BN = 2MN. (2) A —– | Cộng (1) với (2) ta có:

(MŠ + 2MA) + SĆ + 2AB + (CŃ + 2BN) = 3MN 6 7 + SC + 2AB + = 3MN – SC + 2AB = 3MN OMN – – SC + AB.

Vì thế ba vectơ MN, SC và AB đồng phẳng. Bài 10 (Trang 92, SGK)

| Vi KI || EF // AB nên KI || mp (ABC).

Ta có: FG || BC và AC c mp . (ABC).

Mặt phẳng (a) là một mặt phẳng Ỗ Song song với mp (ABC). ,

Khi đó ba vectơ KỈ, FG và AC có giá cùng song song với mặt phẳng (d).

Vậy ba vectơ KỈ, FG và AC đồng phẳng.